数列求和7种方法方法全例子多Word格式文档下载.docx
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∴当，即n＝8时，
题1.等比数列的前ｎ项和Sｎ＝2ｎ－１，则＝
题2．若12+22+…+（n-1）2=an3+bn2+，则a=,b=,c=
.
原式=答案：
二、错位相减法求和
这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an·
bn}的前n项和，其中{an}、{bn}分别是等差数列和等比数列.
[例3]求和：
………………………①
由题可知，{}的通项是等差数列{2n－1}的通项与等比数列{}的通项之积
设……………………….②（设制错位）
①－②得（错位相减）
再利用等比数列的求和公式得：
∴
[例4]求数列前n项的和.
由题可知，{}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{}的通项之积
设…………………………………①
………………………………②（设制错位）
①－②得（错位相减）
练习题1已知，求数列｛an｝的前n项和Sn.
答案：
练习题2的前n项和为____
三、反序相加法求和
这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个.
[例5]求证：
证明：
设…………………………..①
把①式右边倒转过来得
（反序）
又由可得
…………..……..②
①+②得（反序相加）
[例6]求的值
设………….①
将①式右边反序得
…………..②（反序）
又因为
①+②得（反序相加）
＝89
∴S＝44.5
题1已知函数
（1）证明：
；
（2）求的值.
（1）先利用指数的相关性质对函数化简，后证明左边=右边
（2）利用第
（1）小题已经证明的结论可知，
两式相加得：
所以.
练习、求值：
四、分组法求和
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.
[例7]求数列的前n项和：
，…
设
将其每一项拆开再重新组合得
（分组）
当a＝1时，＝（分组求和）
当时，＝
[例8]求数列{n（n+1）（2n+1）}的前n项和.
∴＝
将其每一项拆开再重新组合得
Sn＝（分组）
＝
＝（分组求和）
＝
五、裂项法求和
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.通项分解（裂项）如：
（1）
（2）
（3）（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
[例9]求数列的前n项和.
设（裂项）
则（裂项求和）
[例10]在数列{an}中，，又，求数列{bn}的前n项的和.
∵
∴（裂项）
∴数列{bn}的前n项和
（裂项求和）
＝＝
[例11]求证：
∵（裂项）
∴（裂项求和）
＝＝＝
∴ 原等式成立
练习题1.
.
练习题2。
=
六、分段求和法（合并法求和）
针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求Sn.
[例12]求cos1°
+cos2°
+cos3°
+·
·
+cos178°
+cos179°
的值.
设Sn＝cos1°
∵（找特殊性质项）
∴Sn＝（cos1°
）+（cos2°
）+（cos3°
+cos177°
）+·
+（cos89°
+cos91°
）+cos90°
（合并求和）
＝0
[例13]数列{an}：
，求S2002.
设S2002＝
由可得
……
∵（找特殊性质项）
∴ S2002＝（合并求和）
＝
＝5
[例14]在各项均为正数的等比数列中，若的值.
由等比数列的性质（找特殊性质项）
和对数的运算性质得
（合并求和）
＝10
练习、求和：
练习题1设，则＝___
答案：
2.
练习题2．若Sn=1-2+3-4+…+（-1）n-1·
n，则S17+S33＋Ｓ50等于（）
A.1B.-1C.0D.2
对前n项和要分奇偶分别解决，即：
Sn=答案：
A
练习题31002-992+982-972+…+22-12的值是
A.5000B.5050C.10100D.20200
并项求和，每两项合并，原式=（100+99）+（98+97）+…+（2+1）=5050.答案：
B
七、利用数列的通项求和
先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n项和，是一个重要的方法.
[例15]求之和.
由于（找通项及特征）
∴
＝（分组求和）
[例16]已知数列{an}：
∵（找通项及特征）
＝（设制分组）
＝（裂项）
∴（分组、裂项求和）
提高练习：
1．已知数列中，是其前项和，并且，
⑴设数列，求证：
数列是等比数列；
⑵设数列，求证：
数列是等差数列；
2．设二次方程x-+1x+1=0（n∈N）有两根α和β，且满足6α-2αβ+6β=3．
（1）试用表示a；
3．数列中，且满足
⑴求数列的通项公式；
⑵设，求；
说明：
本资料适用于高三总复习，也适用于高一“数列”一章的学习。
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