最新人教版高中数学必修2模块综合测试题附解析Word格式.docx

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A．16＋8πB．8＋8π

C．16＋16πD．8＋16π

由三视图可知，该几何体是一个长方体和一个半圆柱组成的几何体，

所以体积为π×

22×

4＋2×

2×

4＝16＋8π.

4．已知点Q是点P（3，4，5）在平面xOy上的射影，则线段PQ的长等于（　　）

A．2B．3

C．4D．5

由题意，得Q（3，4，0），故线段PQ的长为5.

D

5．如图①所示，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE、AF及EF把这个正方形折成一个四面体，使B、C、D三点重合，重合后的点记为H，如图②所示，那么，在四面体AEFH中必有（　　）

图①　　　　　图②　　

A．AH⊥△EFH所在平面

B．AG⊥△EFH所在平面

C．HF⊥△AEF所在平面

D．HG⊥△AEF所在平面

折成的四面体中有AH⊥EH，AH⊥FH，

所以AH⊥面HEF.

6．已知直线l：

x＋ay－1＝0（a∈R）是圆C：

x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴．过点A（－4，a）作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|＝（　　）

A．2B．4

C．6D．2

由题设得圆C的标准方程为（x－2）2＋（y－1）2＝4，知圆C的圆心为（2，1），半径为2，因为直线l为圆C的对称轴，所以圆心在直线l上，则2＋a－1＝0，解得a＝－1，所以|AB|2＝|AC|2－|BC|2＝[（－4－2）2＋（－1－1）2]－4＝36，所以|AB|＝6.

C

7．一个球的内接正方体的表面积为54，则球的表面积为（　　）

A．27πB．18π

C．9πD．54π

设正方体的棱长为a，球的半径为r，

则6a2＝54，所以a＝3.

又因为2r＝a

所以r＝a＝，

所以S表＝4πr2＝4π×

＝27π.

8.已知高为3的直棱柱ABCA′B′C′的底面是边长为1的正三角形（如图所示），则三棱锥B′ABC的体积为（　　）

A.B.

C.D.

VB′ABC＝·

S△ABC·

h＝×

×

3＝.

9．若圆（x－3）2＋（y＋5）2＝r2上有且只有两个点到直线4x－3y＝2的距离为1，则半径r的取值范围是（　　）

A．（4，6）B．[4，6）

C．（4，6]D．[4，6]

因为圆心到直线的距离为＝5，所以半径r的取值范围是（4，6）．

10．直线x＋ky＝0，2x＋3y＋8＝0和x－y－1＝0交于一点，则k的值是（　　）

A.B．－

C．2D．－2

解方程组得则点（－1，－2）在直线x＋ky＝0上，得k＝－.

11．在四面体ABCD中，棱AB，AC，AD两两互相垂直，则顶点A在底面BCD上的投影H为△BCD的（　　）

A．垂心B．重心

C．外心D．内心

因为AB⊥AC，AB⊥AD，AC∩AD＝A，

因为AB⊥平面ACD，所以AB⊥CD.

因为AH⊥平面BCD，所以AH⊥CD，AB∩AH＝A，

所以CD⊥平面ABH，所以CD⊥BH.

同理可证CH⊥BD，DH⊥BC，则H是△BCD的垂心．

12.如图所示，点P在正方形ABCD所在平面外，PA⊥平面ABCD，PA＝AB，则PB与AC所成的角＝（　　）

A．90°

　　　　　　　B．60°

C．45°

　　　　　　　D．30°

将其还原成正方体ABCDPQRS，连接SC，AS，则PB∥SC，

所以∠ACS（或其补角）是PB与AC所成的角．

因为△ACS为正三角形，

所以∠ACS＝60°

，

所以PB与AC所成的角是60°

.

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上）

13．若点P在直线x＋y－4＝0上，O为原点，则|OP|的最小值是________．

|OP|的最小值即为点O到直线x＋y－4＝0的距离，d＝＝2.

2

14．若函数y＝ax＋8与y＝－x＋b的图象关于直线y＝x对称，则a＋b＝________．

直线y＝ax＋8关于y＝x对称的直线方程为x＝ay＋8，

所以x＝ay＋8与y＝－x＋b为同一直线，

故得所以a＋b＝2.

15．圆x2＋（y＋1）2＝3绕直线kx－y－1＝0旋转一周所得的几何体的表面积为________．

由题意，圆心为（0，－1），又直线kx－y－1＝0恒过点（0，－1），所以旋转一周所得的几何体为球，球心即为圆心，球的半径即是圆的半径，所以S＝4π（）2＝12π.

12π

16．设a，b，c是空间的三条直线，下面给出四个命题：

①若a⊥b，b⊥c，则a∥c;

②若a、b是异面直线，b、c是异面直线，则a、c也是异面直线；

③若a和b相交，b和c相交，则a和c也相交；

④若a和b共面，b和c共面，则a和c也共面．

其中真命题的个数是________________．

因为a⊥b，b⊥c，

所以a与c可以相交、平行、异面，故①错．

因为a、b异面，b、c异面．

则a、c可能导面、相交、平行，故②错．

由a、b相交，b、c相交，

则a、c可以异面、平行，故③错．

同理④错，故真命题个数为0.

三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

17.（本小题满分10分）如图所示，在正三棱柱ABCA1B1C1中，AA1＝6，异面直线BC1与AA1所成角的大小为30°

，求该三棱柱的体积．

解：

因为CC1∥AA1.

所以∠BC1C为异面直线BC1与AA1所成的角，即∠BC1C＝30°

.

在Rt△BCC1中，

BC＝CC1·

tan∠BC1C＝6×

＝2，

从而S△ABC＝BC2＝3，

因此该三棱柱的体积V＝S△ABC·

AA1＝3×

6＝18.

18．（本小题满分12分）已知一个几何体的三视图如图所示．

（1）求此几何体的表面积；

（2）如果点P，Q在正视图中所处的位置为：

P为三角形的顶点，Q为四边形的顶点，求在该几何体的侧面上，从点P到点Q的最短路径的长．

（1）由三视图可知，此几何体是一个圆锥和一个圆柱的组合体，其表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积与圆柱的一个底面积之和．

S圆锥侧＝（2πa）·

（a）＝πa2，S圆柱侧＝（2πa）·

（2a）＝4πa2，S圆柱底＝πa2，所以此几何体的表面积S表＝S圆锥侧＋S圆柱侧＋S圆柱底＝πa2＋4πa2＋πa2＝（＋5）πa2.

（2）分别沿点P与点Q所在的母线剪开圆柱的侧面，并展开铺平，如图所示，

则|PQ|＝＝＝a.

所以P，Q两点在该几何体的侧面上的最短路径的长为a.

19．（本小题满分12分）如图，已知在平行四边形ABCD中，边AB所在直线方程为2x－y－2＝0，点C（2，0）．求：

（1）直线CD的方程；

（2）AB边上的高CE所在直线的方程．

（1）因为四边形ABCD为平行四边形，所以AB∥CD，

所以kCD＝kAB＝2.故CD的方程为y＝2（x－2），

即2x－y－4＝0.

（2）因为CE⊥AB，所以kCE＝－＝－.

所以直线CE的方程为y＝－（x－2），

即x＋2y－2＝0.

20．（本小题满分12分）已知圆x2＋y2＝4上一定点A（2，0），B（1，1）为圆内一点，P，Q为圆上的动点．

（1）求线段AP中点的轨迹方程；

（2）若∠PBQ＝90°

，求线段PQ中点的轨迹方程．

（1）设AP中点为M（x，y），

由中点坐标公式可知，P点坐标（2x－2，2y）．

因为P点在圆x2＋y2＝4上，所以（2x－2）2＋（2y）2＝4.

故线段AP中点的轨迹方程为（x－1）2＋y2＝1.

（2）设PQ的中点为N（x，y）．

在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|，

设O为坐标原点，连接ON（图略），

则ON⊥PQ，

所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，

所以x2＋y2＋（x－1）2＋（y－1）2＝4.

故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.

21．（本小题满分12分）（2015·

北京卷）如图所示，在三棱锥VABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC＝BC＝，O，M分别为AB，VA的中点．

（1）求证：

VB∥平面MOC；

（2）求证：

平面MOC⊥平面VAB；

（3）求三棱锥VABC的体积．

（1）证明：

因为O，M分别AB，VA的中点，

所以OM∥VB.

又因为VB⊄平面MOC.

所以VB∥平面MOC

（2）证明：

因为AC＝BC，O为AB的中点，

所以OC⊥AB.

又因为平面VAB⊥平面ABC，且OC⊂平面ABC，

所以OC⊥平面VAB.

又OC⊂平面MOC.

所以平面MOC⊥平面VAB.

（3）解：

在等腰直角三角形ACB中，AC＝BC＝，

所以AB＝2，OC＝1.

所以等边三角形VAB的面积S△VAB＝.

又因为OC⊥平面VAB，

所以三棱锥CVAB的体积等于OC·

S△VAB＝.

又因为三棱锥VABC的体积与三棱锥CVAB的体积相等，

所以三棱锥VABC的体积为.

22．（本小题满分12分）已知圆C过点A（1，2）和B（1，10），且与直线x－2y－1＝0相切．

（1）求圆C的方程；

（2）设P为圆C上的任意一点，定点Q（－3，－6），当点P在圆C上运动时，求线段PQ中点M的轨迹方程．

（1）圆心显然在线段AB的垂直平分线y＝6上，

设圆心为（a，6），半径为r，

则圆C的标准方程为（x－a）2＋（y－6）2＝r2，

由点B在圆上得：

（1－a）2＋（10－6）2＝r2，

又圆C与直线x－2y－1＝0相切，

则r＝.

于是（a－1）2＋16＝，

解得：

a＝3，r＝2或a＝－7，r＝4.

所以圆C的标准方程为（x－3）2＋（y－6）2＝20或（x＋7）2＋（y－6）2＝80.

（2）设点M的坐标为（x，y），点P的坐标为（x0，y0），

由M为PQ的中点，则

即：

又点P（x0，y0）在圆C上，

若圆C的方程为（x－3）2＋（y－6）2＝20，

有：

（x0－3）2＋（y0－6）2＝20，

则（2x＋3－3）2＋（2y＋6－6）2＝20，

整理得：

x2＋y2＝5，

此时点M的轨迹方程为：

x2＋y2