共点力平衡教案Word格式.docx

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（4）解方程，进行讨论和计算。

四、处理共点力平衡问题的常见方法

1、平行四边形法：

对于三力平衡问题，一般可根据“任意两个力的合力与第三个力等大反向”的关系，即利用平衡条件的“等值、反向”原理解答。

[例1]如图1所示，一小球在纸面内来回振动，当绳OA和OB拉力相等时，摆线与竖直方向的夹角为（ 

）

A.15°

B.30°

C.45°

D.60°

图1

解析：

（A）对O点进行受力分析，O点受到OA绳和OB绳的拉力和及小球通过绳子对O点的拉力F三个力的作用，在这三个力的作用下O点处于平衡状态，由“等值、反向”原理得，和的合力与F是等值反向的，由平行四边形定则，作出和的合力，如图2所示，由图可知，故答案是A。

图2

2、正交分解法：

正交分解法在处理四力或四力以上的平衡问题时非常方便，将物体所受各个力均在两互相垂直的方向上分解，然后分别在这两个方向上列方程。

此时平衡条件可表示为

应用正交分解法解题的优点：

①将矢量运算转变为代数运算，使难度降低；

②将求合力的复杂的解三角形问题，转化为正交分解后的直角三角形问题，使运算简便易行；

③当所求问题有两个未知条件时，这种表达形式可列出两个方程，通过对方程组求解，使得求解更方便。

注意：

对、方向选择时，要尽可能使落在、轴上的力多，且被分解的力尽可能是已知力，不宜分解待求力。

[例2]（20XX年广东）如图

（1）所示，在倾斜角为的固定光滑斜面上，质量为m的物体受外力F1和F2的作用，F1方向水平向右，F2方向竖直向上，若物体静止在斜面上，则下列关系正确的是

A.

B.

C.

D.

对物体进行受力分析如图

（2）所示，物体可能受重力G、支持力FN和两个外力F1、F2这四个力作用，分别沿斜面方向和垂直于斜面方向正交分解。

因物体静止，合外力为零，所以，若，则物体不可能静止，沿斜面方向有，所以选项B正确。

答案：

B

[例3]如图

（1）所示，重40N的物体与竖直墙间的动摩擦因数为0.2。

若受到与水平线成45°

角的斜向上的推力F作用而沿竖直墙匀速上滑，则F多大？

取物体为研究对象，其受力情况如图

（2）所示，取沿墙面方向为y轴，垂直于墙面为x轴，由平衡条件可知

，①

，②

另外考虑到滑动摩擦力与弹力之间有③

由①②③式可解得，

即当推力F大小为71N时，物体沿墙面匀速上滑。

点评：

用正交分解法求解时，坐标轴的建立应尽量减少力的分解。

[例4]在机械设计中亦常用到下面的力学原理，如图8所示，只要使连杆AB与滑块m所在平面间的夹角大于某个值，那么，无论连杆AB对滑块施加多大的作用力，都不可能使之滑动，且连杆AB对滑块施加的作用力越大，滑块就越稳定，工程力学上称之为“自锁”现象。

为使滑块能“自锁”，应满足什么条件？

（设滑块与所在平面间的动摩擦因数为）

图8

滑块的受力分析如图9所示，将力F分别在水平和竖直两个方向分解，则：

在竖直方向上，在水平方向上由以上两式得：

因为力F可以很大，所以上式可以写成：

故应满足的条件为

例：

风筝是借助于均匀的风对其的作用力和牵线对其其的拉力，才得以在空中处于平衡状态的，如图所示。

若风筝平面与水平方向成30°

，与牵线成53°

，风筝的质量为300g，求风对风筝的作用力的大小（设风对风筝的作用力与风筝平面相垂直）。

本题是一个共点的平衡问题，风筝平衡时共受到三个力（重力mg、风对它的作用力Ｆ和绳对它的拉力Ｔ）作用。

如图所示，取AB方向为x轴、Ｆ方向为y轴，建立直角坐标系，将重力mg和拉力Ｔ正交分解，即能求出风力Ｆ的大小

在x方向上有：

Ｔsin37°

＝mgsin30°

.解出Ｔ＝.

在y方向上有Ｔy＝Ｔcos37°

＝2.5×

0.8N＝2N,Ｇy＝mgcos30°

＝1.5N.

所以　　Ｆ＝Ｔy＋Ｇy＝（2+1.5）Ｎ≈4.6N

通常线放出越多，风筝将放飞得越远、越高。

线太长，线的自重增大，线受到风的作用力也增大，这时即使再放线，风筝也不会再升高

3、相似三角形法

[例5]如图

（1）所示，固定在水平面上的光滑半球，球心O′的正上方固定一小定滑轮，细线一端拴一小球A，另一端绕过定滑轮，今将小球从图中所示的初位置缓慢地拉至B点，在小球到达B点前的过程中，小球对半球的压力FN及细线的拉力F1的大小变化是

A.FN变大，F1变小 

B.FN变小，F1变大

C.FN不变，F1变小 

D.FN变大，F1变大

由于三力F1、FN与G首尾相接构成的矢量三角形与几何三角形AOO′相似，如图

（2）所示

所以有，

。

所以

，

由题意知当小球缓慢上移时，减小，不变，R不变，故F1减小、FN不变。

C

此题画动态中的矢量三角形无法比较大小，利用相似关系列出力的解析关系，从而分析解题。

[例6]如图将一带电小球A,用绝缘棒固于水平地面上的某处,在它的正上方L处有一悬点O,通过长度为L的绝缘细线吊一个质量为m与A球带同性电的小球B,于是悬线与竖直方向成某一夹角θ,现设法增大A球的电量,则悬线OB对B球的拉力大小为多少?

由于绳长不变，由此可知绳子的拉力大小不变，AB长度在不断增加，说明库仑力在不断增大。

[例7]轻弹簧两端各连接一个球A、B，且。

两球用等长轻绳悬于同一点，两绳与竖直方向夹角分别为、，试证，见图。

（a） 

（b）

证：

连球心AB，取竖直线b与AB连线相交把AB分为x、y。

做AB受力情况，对A球与F合力沿悬线方向，B球受重力及F的合力也沿悬线方向，力三角形与几何三角形相似。

（1） 

（2）

（1）/

（2）式得

在中，（3） 

在中，（4）

∴ 

而 

∴

即悬重球的悬线与竖直方向夹角小，证毕。

[例8]如图5，两个质量分别为的小球A、B之间用轻杆固结，并通过长为L的轻绳挂在光滑的定滑轮上，求系统平衡时，OA、OB段绳长各为多少？

图5

解析：

分别以A、B为研究对象，作出受力图。

此题中杆子处于自由状态，故其杆子的弹力必沿杆子的方向。

由力三角形与几何三角形相似得：

，，而OA＋OB＝L，故OA＝，

图6

4.整体法与隔离法

[例9]在粗糙水平面上有一个三角形的木块，在它的两个粗糙斜面上分别放有两个质量和的小木块，，如图10所示，已知三角形木块和两个小木块都是静止的，则粗糙水平面对三角形木块（ 

A.有摩擦力的作用，摩擦力的方向水平向右

B.有摩擦力的作用，摩擦力的方向水平向左

C.有摩擦力的作用，但摩擦力的方向不能确定，因、和、的数值并未给出

D.以上结论都不对

图10

（D）因为三角形木块和两个小木块都静止，所以可将三者看成一个整体如图11所示，其在竖直方向受重力和水平面的支持力，合力为零。

在水平方向没有受其他力的作用，所以整体在水平方向上没有相对水平面的运动趋势，因此粗糙水平面对三角形木块没有静摩擦力。

引申讨论若m1，m2沿斜面匀速下滑，仍可将三个物体看成一个系统，系统仍处于平衡态，答案仍为D。

图11

[例10]如图所示，一质量为M的楔形木块放在水平桌面上，它的顶角为90°

，两底角为α和β；

a、b为两个位于斜面上质量均为m的小木块。

已知所有接触面都是光滑的。

现发现a、b沿斜面下滑，而楔形木块静止不动，这时楔形木块对水平桌面的压力等于（A）

A．Mg＋mg

B．Mg＋2mg

C．Mg＋mg（sinα＋sinβ）

D．Mg＋mg（cosα＋cosβ）

整体法的应用需要一个条件：

具有相同加速度（或平衡）

两个木块都处于失重现象，所以不可能是2mg+Mg

可以灵活运用失重结论

左边a竖直向下的压力：

mgsinα*sinα

右边b竖直向下的压力：

mgsinβ*sinβ

所有总的压力＝Mg＋mgsinα*sinα＋mgsinβ*sinβ＝Mg＋mg

[例11]有一直角支架AOB，杆AO水平放置，表面粗糙，杆BO竖直向下，表面光滑，AO上套有小环P，BO上套有小环Q，两环质量均为m，两环间由一根质量可忽略、不可伸长的细线相连，并在某一位置平衡如图（甲）所示，现将P向左移一小段距离，两环再次达到平衡，那么将移后的平衡状态和原来的平衡状态比较，AO杆对P环的支持力FN和细绳上的拉力FT的变化情况是

A.FN不变，FT变大 

B.FN不变，FT变小

C.FN变大，FT变大 

D.FN变大，FT变小

（B）解法一：

本题可以分步计算，首先利用整体法计算杆OA对P环的支持力FN，因P和Q所组成的系统在竖直方向只受到重力及杆OA对P球的支持力FN，系统又处于平衡状态，因而竖直方向的合力为零，则支持力FN的大小一直应与P和Q两环的重力相等，即FN的大小不变，第二步由环Q的受力如图（乙）可知，受的重力不变而P向左移时绳与竖直方向的夹角θ减小，由FT=mg/cosθ知，绳上的拉力FT变小，故答案为B。

乙

解法二：

把P、Q分开用隔离法，则P、Q的受力如图（乙）所示。

由Q的受力可得，减小，拉力FT变小，则Q对P的拉力，由P的受力知。

解题技巧妙法总结：

本题的创新之处在于一题多解，以及思维上的创新——整体法的灵活运用，并且把力的合成与物体平衡结合起来，特别是整体的平衡，又可分成各个方向上的平衡，再由竖直方向合力为零和水平方向合力为零计算。

[例12]如图（a）所示斜面体质量，斜面倾角为，斜面上有质量的重物。

在推力F作用下沿斜面向上匀速滑动。

已知推力F大小为30N，方向与斜面平行。

斜面体停于水平面不动，试求地面对斜面体的支持力和摩擦力大小（）。

（a） 

（b）

解：

斜面体与重物的加速度都是零，处于平衡态，取两个物体为整体作研究对象，受重力，地面支持力，摩擦力f，如图（b）所示，F分力为，。

x方向 

（1）

y方向 

（3） 

（4）

（3）代入

（1）得

（4）代入

（2）得

∴地面对斜面体支持力大小为135N，摩擦力大小为N。

[例13]如图

（1）所示，人重为G1=500N，平台重为G2=300N，人用绳子通过滑轮装置拉住平台，滑轮的重量及摩擦均不计，人与平台均处于静止状态，求人对绳子的拉力及人对平台的压力。

（200N300N）求人对绳子的拉力及人对平台的压力，可以把人隔离出来，但仅仅以人为研究对象不可能求出同一直线上的两个力的大小，同时平台也处于平衡状态，所以须同时结合人和平台的平衡条件才能求出这两个力的大小。

分别以人和平台为研究对象进行受力分析，如图

（2）所示，人受到重力G1和平台的支持力FN及绳子的拉力作用，而平台受到重力G2，人对它的压力，左边