全国高中数学联赛一试试题及参考答案版Word文件下载.doc
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又所以故
2.设的内角的对边分别为,且满足,
则的值是.
由题设及余弦定理得
即
故.
3.设,则的最大值是.
不妨设则
因为
所以
当且仅当时上式等号同时成立.
故
4.抛物线的焦点为,准线为l,是抛物线上的两个动点,且满足.设线段AB的中点在l上的投影为,则的最大值是.
由抛物线的定义及梯形的中位线定理得在中,由余弦定理得
当且仅当时等号成立.故的最大值为1.
5.设同底的两个正三棱锥和内接于同一个球.若正三棱锥的侧面与底面所成的角为,则正三棱锥的侧面与底面所成角的正切值是.
如图.连结,则平面,垂足为正的中心,且过球心,连结并延长交于点,则为的中点,且,易知分别为正三棱锥的侧面与底面所成二角
的平面角,则,从而,
所以即
所以,故
6.设是定义在上的奇函数,且当时,.若对任意的,不等式恒成立,则实数的取值范围是.
由题设知,则
因此,原不等式等价于
因为在上是增函数,所以即
又所以当时,取得最大值
因此,解得
故的取值范围是
7.满足的所有正整数的和是.
由正弦函数的凸性,有当时,
由此得
所以
故满足的正整数的所有值分别为它们的和为.
8.某情报站有四种互不相同的密码,每周使用其中的一种密码,且每周都是从上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种.设第1周使用A种密码,那么第7周也使用A种密码的概率是.(用最简分数表示)
用表示第周用种密码的概率,则第周末用种密码的概率为
.于是,有,即
由知,是首项为,公比为的等比数列。
所以,即,故
二、解答题:
本大题共3小题,共56分.解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤.
9.(本小题满分16分)
已知函数
(1)若对任意,都有,求的取值范围;
(2)若,且存在,使得,求的取值范围.
(1)
令则分
对任意,恒成立的充要条件是
分
(2)因为所以
所以分
因此
于是,存在,使得的充要条件是
故的取值范围是分
10.(本小题满分20分)
已知数列的各项均为非零实数,且对于任意的正整数,都有
(1)当时,求所有满足条件的三项组成的数列;
(2)是否存在满足条件的无穷数列,使得若存在,
求出这样的无穷数列的一个通项公式;
若不存在,说明理由.
(1)当时,,由得.
当时,,由得或………………5分
当时,
若得或;
若得;
综上,满足条件的三项数列有三个:
1,2,3或1,2,-2或1,-,1………………………………………10分
(2)令则
从而
两式相减,结合得
当时,由
(1)知;
所以或……………………………………15分
又所以…………20分
11.(本小题满分20分)
如图5,在平面直角坐标系中,菱形的边长为,且.
(1)求证:
为定值;
(2)当点A在半圆()上运动时,求点的轨迹.
所以山的共线………………………………………5分
如图,连结,则垂直平分线段,设垂足为,于是有
(定值)……………………………10分
(2)设其中
则.
所以…………………………………………15分
由
(1)的结论得
故点的轨迹是一条线段,其两个端点的坐标分别
为…………………………………………………20分
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