电子科大图论课件——第3章连通度(10.1)PPT资料.ppt

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u1e1.e2u2u3u4图图3-2定理定理1e是图是图G的割边当且仅当的割边当且仅当e不在不在G的任何圈中。

的任何圈中。

证明证明因定理的结论若在因定理的结论若在G的含的含e的连通分支中成立，则的连通分支中成立，则必在必在G中成立，所以我们不妨就假定中成立，所以我们不妨就假定G连通。

连通。

必要性必要性设设e=uv是图是图G的割边的割边,若若e含在圈含在圈C中，令中，令P=C-e。

易知。

易知P是是G-e中一条（中一条（u,v）路。

任取）路。

任取G-e中两个不中两个不同点同点x和和y，因，因G连通，故连通，故G中存在中存在（x,y）路路。

若。

若不含不含e，则，则也是也是G-e中一条中一条（x,y）路；

若路；

若含含e，用，用P替换替换e后后也可得到也可得到G-e中一条中一条（x,y）路，以上表明路，以上表明G-e连通，这与连通，这与e是割边矛盾，所以是割边矛盾，所以e不在不在G的任何圈中。

充分性充分性设设e=uv，若，若e不是不是G的割边，则的割边，则G-e仍连通，从仍连通，从而在而在G-e中存在中存在（u,v）路路P，这样，这样P+e便是便是G中含中含e的圈的圈,这这与假设与假设“e不在不在G的任何圈中矛盾的任何圈中矛盾”。

所以。

所以e是是G的割边的割边推论推论设设e是连通图是连通图G的任意一条边，若的任意一条边，若e含在含在G的某圈中，的某圈中，则则G-e仍连通。

仍连通。

定义定义2图图G=（V,E）的顶点的顶点v称为割点，如果称为割点，如果E可划分可划分为两个非空子集为两个非空子集E1和和E2，使得，使得GE1和和GE2恰有一恰有一个公共顶点个公共顶点v。

u1e1.e2u2u3u4图图3-2例例图图3-2中中,点点u1,u2,u3和和u4是割点是割点,其余点均不为割点。

其余点均不为割点。

说明：

（1）若若（G-v）（G）,则则v必为必为G的割点；

的割点；

定理定理2设设v是树的顶点，则是树的顶点，则v是是G的割点当且仅当的割点当且仅当d（v）1。

定理定理3设设v是无环连通图是无环连通图G的一个顶点，则的一个顶点，则v是是G的割的割点当且仅当点当且仅当V（G-v）可划分为两个非空顶点子集可划分为两个非空顶点子集V1与与V2，使使xV1，yV2，点，点v都在每一条都在每一条（x,y）路上。

路上。

（2）若若G无环且非平凡，则无环且非平凡，则v是是G的割点当且仅当的割点当且仅当（G-v）（G）（3）若无环图若无环图G连通，则割点是指删去该点使连通，则割点是指删去该点使G不不连通的点。

连通的点。

证明证明必要性必要性因因v是是G的割点，故的割点，故G-v至少含两个连通分至少含两个连通分支，设支，设V1是其中一个连通分支的顶点集，是其中一个连通分支的顶点集，V2为其余分支为其余分支的顶点集。

对的顶点集。

对xV1，yV2，因在，因在G-v中中x与与y不连通，不连通，而在而在G中中x与与y连通（因连通（因G连通）所以连通）所以v在每一条在每一条（x,y）路路上。

上。

充分性充分性取取xV1，yV2，由假设，由假设G中所有中所有（x,y）路均路均含点含点v，从而在，从而在G-v中不存在从中不存在从x到到y的路，这表明的路，这表明G-v不连通，所以不连通，所以v是割点。

是割点。

定义定义3没有割点的连通图称为块。

若图没有割点的连通图称为块。

若图G的子图的子图B是块，是块，且且G中没有真包含中没有真包含B的子图也是块，则称的子图也是块，则称B是是G的块。

的块。

例例图图G如图（如图（a）所示，）所示，G的所有块如图（的所有块如图（b）所示。

）所示。

（a）（b）由定义由定义3可推知：

若可推知：

若e是图是图G的割边或的割边或e是一个环，则是一个环，则Ge是是G的块；

的块；

G的仅含一个点的块或是孤立点的仅含一个点的块或是孤立点,或是环导出的或是环导出的子图；

至少两个点的块无环，至少三个点的块无割边。

子图；

定理定理4设图设图G的阶至少为的阶至少为3，则，则G是块当且仅当是块当且仅当G无环并且无环并且任意两点都位于同一个圈上。

任意两点都位于同一个圈上。

证明证明充分性充分性此时此时G显然连通。

若显然连通。

若G不是块，则不是块，则G中存在中存在割点割点v，于是由定理，于是由定理3，V（G-v）可划分为两个非空顶点子可划分为两个非空顶点子集集V1与与V2，使，使xV1，yV2，并且点，并且点v在每一条在每一条（x,y）路路上。

这表明上。

这表明x与与y不可能位于同一个圈上不可能位于同一个圈上,这与假设矛盾这与假设矛盾,所以所以G是块。

是块。

必要性必要性G无环是显然的。

下证无环是显然的。

下证G中任意两点都位于同中任意两点都位于同一个圈上。

我们对任意两点一个圈上。

我们对任意两点u和和v的距离的距离d（u,v）用归纳法。

用归纳法。

当当d（u,v）=1时，因时，因G是至少三个点的块，故边是至少三个点的块，故边uv不是不是割边。

由定理割边。

由定理1，边，边uv位于某一圈中，于是位于某一圈中，于是u和和v也位于此也位于此圈中。

圈中。

设对满足设对满足d（u,v）k的任意两点的任意两点u和和v结论成立。

结论成立。

对对d（u,v）=k2的的u和和v，取一条长为，取一条长为k的（的（u,v）路）路P，设设w是是v前面的那一点。

因此有前面的那一点。

因此有d（u,w）=k-1，由归纳假，由归纳假设知设知u与与w位于同一个圈位于同一个圈C中。

若中。

若v也在也在C中，则已得到中，则已得到证明。

证明。

下设下设v不在不在C中。

因中。

因G是块，无割点，故是块，无割点，故G-w仍连通，仍连通，于是存在一条于是存在一条（u,v）路路Q。

设点。

设点x是是Q与与C的最后一的最后一个公共点（因个公共点（因u本身就是本身就是Q与与C的公共点，故这样的的公共点，故这样的x存在）。

这样，存在）。

这样，x将将C划分为两条划分为两条（u,x）路路P1和和P2，不妨设不妨设w在在P2上，如下图所示。

于是上，如下图所示。

于是P1，Q的的x到到v段，段，边wv以及以及P2的的u到到w段共同构成一个圈段共同构成一个圈C*且且u与与v均均在在C*上。

xuwvCP2P1Q推论推论设设G的阶至少为的阶至少为3，则，则G是块当且仅当是块当且仅当G无孤立点且无孤立点且任意两条边都在同一个圈上。

任意两条边都在同一个圈上。

证明证明设设G无孤立点且任意两条无孤立点且任意两条边边都在同一个圈上。

此时都在同一个圈上。

此时G无环且任意两个无环且任意两个点点也在同一个圈上，由定理也在同一个圈上，由定理4知知G是块。

定理定理5点点v是图是图G的割点当且仅当的割点当且仅当v至少属于至少属于G的两个不同的两个不同的块。

反之，设反之，设G是块。

任取是块。

任取G中两条边中两条边e1和和e2。

在。

在e1和和e2的边的边上各插入一个新的顶点上各插入一个新的顶点v1和和v2，使，使e1和和e2均成为两条边，记均成为两条边，记这样得到的图为这样得到的图为G。

显然。

显然G是阶大于是阶大于4的块，由定理的块，由定理4，G中中v1和和v2位于同一个圈上，于是在位于同一个圈上，于是在G中中e1和和e2位于同一个圈位于同一个圈上。

3.2连通度连通度定义定义1给定图给定图G，V是是V（G）的顶点子集，若的顶点子集，若G-V不连通，则称不连通，则称V为为G的顶点割，含有的顶点割，含有k个顶点的顶点个顶点的顶点割称为割称为G的的k-顶点割。

顶点割。

G中点数最少的顶点割称为最小中点数最少的顶点割称为最小点割。

点割。

易知，若易知，若G是非平凡连通图，则是非平凡连通图，则v是是G的割点，当且仅的割点，当且仅当当v是是G的的1-顶点割。

完全图没有顶点割，实际上也只顶点割。

完全图没有顶点割，实际上也只有以完全图为生成子图的图没有顶点割。

有以完全图为生成子图的图没有顶点割。

本节及后几节所讨论的图均指无环图。

所以所以V是是2顶点割顶点割;

同时同时,v5,v6是割点是割点。

v1v2v3v6v5v4e1e2e3e4e5e6例例11设图设图G如下图所示如下图所示.取取V=v3,v6.则则GV如下如下:

v1v2v5v4e1e3GV定义定义2对对n阶连通图阶连通图G，若，若G存在顶点割，则称存在顶点割，则称G的最小的最小顶点割中的点数为顶点割中的点数为G的连通度；

否则称的连通度；

否则称n-1为其连通度。

为其连通度。

G的连通度记为的连通度记为（G），简记为，简记为；

对非连通图；

对非连通图G定义定义（G）=0。

连通度也可描述为连通度也可描述为“删去图中删去图中k（k可为可为0）个点，使）个点，使图不连通或成为单点图的最小图不连通或成为单点图的最小k值值”。

例例2

（1）（Kn）=n-1；

（Cn）=2，其中，其中Cn为为n圈，圈，n2。

例例22

（2）

（2）若一个图的连通度至少为若一个图的连通度至少为k，则称该图是，则称该图是k连通的连通的。

于。

于是，非平凡连通图均是是，非平凡连通图均是1连通的；

图连通的；

图G是是2连通的当且仅连通的当且仅当当G连通、无割点且至少含有连通、无割点且至少含有3个点。

个点。

定义定义3

（1）设设G为连通图，称使为连通图，称使G-E不连通的不连通的G的边子的边子集集E为为G的边割，含有的边割，含有k条边的边割称为条边的边割称为k边割。

边数最边割。

边数最少的边割称为最小边割。

少的边割称为最小边割。

（2）设设G是非平凡连通图，若是非平凡连通图，若M是是G的最小边割，则的最小边割，则称称|M|为为G的边连通度。

记为的边连通度。

记为（G）,简记为简记为。

对非连通。

对非连通图或平凡图图或平凡图G，定义，定义（G）=0。

e1e2G1G2G3G4例例3

（1）对如下所示的四个图，对如下所示的四个图，G1的每条边均可构成的每条边均可构成1边边割；

割；

e1,e2为为G3的的2边割边割;

（2）（G1）=1（非平凡树的边连通度均为（非平凡树的边连通度均为1）（G2）=3，（G3）=2，（G4）=3。

对连通图对连通图G，由定义易知，由定义易知,e是是G的割边当且仅当的割边当且仅当e是是G的的1边割。

边割。

若一个图的边连通度至少为若一个图的边连通度至少为k，我们也称该图是，我们也称该图是k边连边连通的通的。

易知,非平凡连通图均是非平凡连通图均是1边连通的边连通的;

图图G是是2边连边连通的当且仅当通的当且仅当G连通、无割边且至少含有两个点。

连通、无割边且至少含有两个点。

定理定理6对任意的图对任意的图G，有，有（G）（G）（G）（2.1）证明证明若若G平凡或不连通，则平凡或不连通，则（G）=（G）=0，（，（2.1）式）式成立