电子科大图论课件——第3章连通度(10.1)PPT资料.ppt

1、u1 e1 .e2 u2 u3 u4 图图3-2定理定理1 e是图是图G的割边当且仅当的割边当且仅当e不在不在G的任何圈中。的任何圈中。证明证明 因定理的结论若在因定理的结论若在G的含的含e的连通分支中成立，则的连通分支中成立，则必在必在G中成立，所以我们不妨就假定中成立，所以我们不妨就假定G连通。连通。必要性必要性 设设e=uv 是图是图G的割边的割边,若若e含在圈含在圈C中，令中，令P=C-e。易知。易知P是是G-e中一条（中一条（u,v）路。任取）路。任取G-e中两个不中两个不同点同点x和和y，因，因G连通，故连通，故G中存在中存在（x,y）路路。若。若不含不含e，则，则也是也是G-e中

2、一条中一条（x,y）路；若路；若含含e，用，用P替换替换e后后也可得到也可得到G-e中一条中一条（x,y）路，以上表明路，以上表明G-e连通，这与连通，这与e是割边矛盾，所以是割边矛盾，所以e不在不在G的任何圈中。充分性充分性 设设e=uv，若，若e不是不是G的割边，则的割边，则G-e仍连通，从仍连通，从而在而在G-e中存在中存在（u,v）路路P，这样，这样P+e便是便是G中含中含e的圈的圈,这这与假设与假设“e不在不在G的任何圈中矛盾的任何圈中矛盾”。所以。所以e是是G的割边的割边 推论推论 设设e是连通图是连通图G的任意一条边，若的任意一条边，若e含在含在G的某圈中，的某圈中，则则G-e仍

3、连通。仍连通。定义定义2 图图G=（V,E）的顶点的顶点v 称为割点，如果称为割点，如果 E 可划分可划分为两个非空子集为两个非空子集 E1 和和 E2，使得，使得GE1 和和 GE2 恰有一恰有一个公共顶点个公共顶点v。u1 e1 .e2 u2 u3 u4 图图3-2例例 图图3-2中中,点点u1,u2,u3和和 u4是割点是割点,其余点均不为割点。其余点均不为割点。说明：（1）若若（G-v）（G）,则则 v 必为必为G 的割点；的割点；定理定理2 设设 v 是树的顶点，则是树的顶点，则 v是是G 的割点当且仅当的割点当且仅当 d（v）1。定理定理3 设设v是无环连通图是无环连通图G的一个顶

4、点，则的一个顶点，则v是是G的割的割点当且仅当点当且仅当V（G-v）可划分为两个非空顶点子集可划分为两个非空顶点子集V1与与V2，使使xV1，yV2，点，点v都在每一条都在每一条（x,y）路上。路上。（2）若若G无环且非平凡，则无环且非平凡，则v是是G 的割点当且仅当的割点当且仅当 （G-v）（G）（3）若无环图若无环图G连通，则割点是指删去该点使连通，则割点是指删去该点使G不不 连通的点。连通的点。证明证明 必要性必要性 因因v是是G的割点，故的割点，故G-v至少含两个连通分至少含两个连通分支，设支，设V1是其中一个连通分支的顶点集，是其中一个连通分支的顶点集，V2为其余分支为其余分支的顶点

5、集。对的顶点集。对xV1，yV2，因在，因在G-v中中x与与y不连通，不连通，而在而在G中中x与与y连通（因连通（因 G连通）所以连通）所以v在每一条在每一条（x,y）路路上。上。充分性充分性 取取xV1，yV2，由假设，由假设G中所有中所有（x,y）路均路均含点含点v，从而在，从而在G-v中不存在从中不存在从x到到y的路，这表明的路，这表明G-v不连通，所以不连通，所以v是割点。是割点。定义定义3 没有割点的连通图称为块。若图没有割点的连通图称为块。若图G的子图的子图B是块，是块，且且G中没有真包含中没有真包含B的子图也是块，则称的子图也是块，则称B是是G的块。的块。例例 图图G如图（如图（

6、a）所示，）所示，G的所有块如图（的所有块如图（b）所示。）所示。（a）（b）由定义由定义3可推知：若可推知：若e是图是图G的割边或的割边或e是一个环，则是一个环，则Ge是是G的块；的块；G的仅含一个点的块或是孤立点的仅含一个点的块或是孤立点,或是环导出的或是环导出的子图；至少两个点的块无环，至少三个点的块无割边。子图；定理定理4 设图设图G的阶至少为的阶至少为3，则，则G是块当且仅当是块当且仅当G无环并且无环并且任意两点都位于同一个圈上。任意两点都位于同一个圈上。证明证明 充分性充分性 此时此时G显然连通。若显然连通。若G不是块，则不是块，则G中存在中存在割点割点v，于是由定理，于是由定理3

7、，V（G-v）可划分为两个非空顶点子可划分为两个非空顶点子集集V1与与V2，使，使xV1，yV2，并且点，并且点v在每一条在每一条（x,y）路路上。这表明上。这表明x与与y不可能位于同一个圈上不可能位于同一个圈上,这与假设矛盾这与假设矛盾,所以所以G是块。是块。必要性必要性 G无环是显然的。下证无环是显然的。下证G中任意两点都位于同中任意两点都位于同一个圈上。我们对任意两点一个圈上。我们对任意两点u和和v的距离的距离d（u,v）用归纳法。用归纳法。当当d（u,v）=1时，因时，因G是至少三个点的块，故边是至少三个点的块，故边uv不是不是割边。由定理割边。由定理1，边，边uv位于某一圈中，于是位

8、于某一圈中，于是u和和v也位于此也位于此圈中。圈中。设对满足设对满足d（u,v）k的任意两点的任意两点u和和v结论成立。结论成立。对对d（u,v）=k 2的的u和和v，取一条长为，取一条长为k的（的（u,v）路）路P，设设w是是v前面的那一点。因此有前面的那一点。因此有d（u,w）=k-1，由归纳假，由归纳假设知设知u与与w位于同一个圈位于同一个圈C中。若中。若v也在也在C中，则已得到中，则已得到证明。证明。下设下设 v 不在不在C 中。因中。因G 是块，无割点，故是块，无割点，故 G-w 仍连通，仍连通，于是存在一条于是存在一条（u,v）路路Q。设点。设点 x 是是 Q 与与 C 的最后一的

9、最后一个公共点（因个公共点（因 u 本身就是本身就是 Q 与与 C 的公共点，故这样的的公共点，故这样的 x 存在）。这样，存在）。这样，x 将将 C 划分为两条划分为两条（u,x）路路 P1 和和P2，不妨设不妨设 w 在在P2 上，如下图所示。于是上，如下图所示。于是P1，Q 的的 x到到 v 段，段，边 wv 以及以及P2 的的 u 到到 w 段共同构成一个圈段共同构成一个圈C*且且u 与与 v 均均在在 C*上。x u w v C P2P1 Q 推论推论 设设G的阶至少为的阶至少为3，则，则G是块当且仅当是块当且仅当G无孤立点且无孤立点且任意两条边都在同一个圈上。任意两条边都在同一个圈

10、上。证明证明 设设G无孤立点且任意两条无孤立点且任意两条边边都在同一个圈上。此时都在同一个圈上。此时G无环且任意两个无环且任意两个点点也在同一个圈上，由定理也在同一个圈上，由定理4知知G是块。定理定理5 点点v是图是图G的割点当且仅当的割点当且仅当v至少属于至少属于G的两个不同的两个不同的块。反之，设反之，设G是块。任取是块。任取G中两条边中两条边e1和和e2。在。在e1和和e2的边的边上各插入一个新的顶点上各插入一个新的顶点v1和和v2，使，使e1和和e2均成为两条边，记均成为两条边，记这样得到的图为这样得到的图为G。显然。显然G是阶大于是阶大于4的块，由定理的块，由定理4，G中中v1和和v

11、2位于同一个圈上，于是在位于同一个圈上，于是在G中中e1和和e2位于同一个圈位于同一个圈上。3.2 连通度连通度 定义定义1 给定图给定图G，V 是是 V（G）的顶点子集，若的顶点子集，若G-V 不连通，则称不连通，则称 V 为为G 的顶点割，含有的顶点割，含有k 个顶点的顶点个顶点的顶点割称为割称为G 的的 k-顶点割。顶点割。G中点数最少的顶点割称为最小中点数最少的顶点割称为最小点割。点割。易知，若易知，若G是非平凡连通图，则是非平凡连通图，则v是是G的割点，当且仅的割点，当且仅当当 v是是G的的1-顶点割。完全图没有顶点割，实际上也只顶点割。完全图没有顶点割，实际上也只有以完全图为生成子

12、图的图没有顶点割。有以完全图为生成子图的图没有顶点割。本节及后几节所讨论的图均指无环图。所以所以 V 是是2顶点割顶点割;同时同时,v5,v6 是割点是割点。v1v2v3v6v5v4e1e2e3e4e5e6例例1 1 设图设图G 如下图所示如下图所示.取取 V=v3,v6.则则 G V 如下如下:v1v2v5v4e1e3G V定义定义2 对对n阶连通图阶连通图G，若，若G存在顶点割，则称存在顶点割，则称G的最小的最小顶点割中的点数为顶点割中的点数为G的连通度；否则称的连通度；否则称n-1为其连通度。为其连通度。G的连通度记为的连通度记为（G），简记为，简记为；对非连通图；对非连通图G定义定义（

13、G）=0。连通度也可描述为连通度也可描述为“删去图中删去图中k（k可为可为0）个点，使）个点，使图不连通或成为单点图的最小图不连通或成为单点图的最小k值值”。例例2（1）（Kn）=n-1；（Cn）=2，其中，其中Cn为为n圈，圈，n2。例例2 2（2）（2）若一个图的连通度至少为若一个图的连通度至少为k，则称该图是，则称该图是k连通的连通的。于。于是，非平凡连通图均是是，非平凡连通图均是1连通的；图连通的；图G是是2连通的当且仅连通的当且仅当当 G 连通、无割点且至少含有连通、无割点且至少含有3个点。个点。定义定义3 （1）设设G为连通图，称使为连通图，称使G-E不连通的不连通的G的边子的边子

14、集集E为为G的边割，含有的边割，含有k条边的边割称为条边的边割称为k 边割。边数最边割。边数最少的边割称为最小边割。少的边割称为最小边割。（2）设设G是非平凡连通图，若是非平凡连通图，若M是是G的最小边割，则的最小边割，则称称|M|为为G的边连通度。记为的边连通度。记为（G）,简记为简记为。对非连通。对非连通图或平凡图图或平凡图G，定义，定义（G）=0。e1 e2G1 G2 G3 G4例例3 （1）对如下所示的四个图，对如下所示的四个图，G1的每条边均可构成的每条边均可构成1边边 割；割；e1,e2为为G3的的2边割边割;（2）（G1）=1（非平凡树的边连通度均为（非平凡树的边连通度均为1）（G2）=3，（G3）=2，（G4）=3。对连通图对连通图G，由定义易知，由定义易知,e是是G的割边当且仅当的割边当且仅当e是是G的的1边割。边割。若一个图的边连通度至少为若一个图的边连通度至少为k，我们也称该图是，我们也称该图是k边连边连通的通的。易知,非平凡连通图均是非平凡连通图均是1边连通的边连通的;图图G是是2边连边连通的当且仅当通的当且仅当G连通、无割边且至少含有两个点。连通、无割边且至少含有两个点。定理定理6 对任意的图对任意的图G，有，有 （G）（G）（G）（2.1）证明证明 若若G平凡或不连通，则平凡或不连通，则（G）=（G）=0，（，（2.1）式）式成立