离散型随机变量均值与方差优秀教案docxWord文档格式.docx
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X1
X2
…
Xi
P
P1
Pi
X2，…，Xa，-，ξ取每一个值Xi（i=1，2，・・・）的概率为PC=X）=Pi,则称表为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列•
4分布列的两个性质：
⑴Pi≥0，i=1，2,∙∙∙;
⑵Pι+B+∙∙∙=1.
某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是
Pn（=k）=CfpkqZ,（k=0,1,2,…，n,q=1-p）.
于是得到随机变量ξ的概率分布如下：
称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ〜B（n,P）,其中n,P为参数，并
记CkPkqnA=b（k；
n,P）.
6离散型随机变量的几何分布：
在独立重复试验中，某事件第一次发生时，所作试验的次数ξ也是一个正整数的离散型随机变量.“ξ=k”表示在第k次独立重复试验时
事件第一次发生•如果把k次试验时事件A发生记为Ak、事件A不发生记为Ak,P（Ak）=P,P（Ak）=q（q=1-p）,那么
PC=k）=P（AAA3I叭二A）=P（AI）P（A2）P（A3）II）P（Ak」）P（A）=qk」p（k=0,1,2,…，q=1一p）.于是得到随机变量ξ的概率分布如
ξ123…k…
下：
PPPqq2P…qk'
p…
称这样的随机变量ξ服从几何分布•
记作g（k,P）=qk'
p,其中k=0,1,2,…，q=1-P.
离散型随机变量的均值
问题：
某商场为满足市场需求要将单价分别为18元/kg,24元/kg,36元/kg的3种
糖果按3:
2:
1的比例混合销售，其中混合糖果中每一颗糖果的质量都相等，如何对每千克混合糖果定价才合理？
价格定为（18+24+36）/3=26（元/千克）；
合理吗？
如何体现三种的比例？
平均在每1kg的混合糖果中，3种糖果的质量分别为1∕2kg,1∕3kg,1∕6kg,所以价格应定为卫3242361=23（元/千克）.
6
它是三种糖果价格的加权平均，其中1/2,1/3,1/6权数，在计算平均数时，权数可
以表示总体中的各种成分所占的比例，权数越大的数据在总体中所占的比例越大，它对加权平均数的影响也越大.加权平均数是不同比重数据的平均数，加权平均数就是把原始
数据按照合理的比例来计算.
1/2表示价格为18元/千克的糖果在混合糖果中所占比例，1/3表示价格为24元/千克的糖果在混合糖果中所占比例，1/6表示价格为36元/千克的糖果在混合糖果中所占比例.
“在搅拌均匀的混合糖果中，如果每一颗糖果的质量都相等，”那么在混合糖果中任取一颗糖果，取到每颗糖果的可能性相等，这样在混合糖果中任取一颗，取到的糖果恰好是价格为18元/千克的糖果的概率是多少？
恰好是价格为24元/千克的糖果的概率是多少？
恰好是价格为36元/千克的糖果的概率是多少？
在混合糖果中任取一颗，取到的糖果恰好是价格为18元/千克的概率是1/2,恰好是
价格为24元/千克的概率是1/3,恰好是价格为36元/千克的概率是1/6.
假如从这种混合糖果中随机选取一颗，记X为这颗糖果的原来单价
（元/千克），则X的分布列为：
因此权数恰好是随机变量X取每种价格的概率。
这样，每千克混合糖果的合理价格应为：
X
18
24
36
1/2
1/3
1/6
18×
P（X=18）+24×
P（X=24）+36×
P（X=36）=23（元/千克）.
一般地，右离散型随机变量X的概率分布为：
则称E（X）=XiPi+X2P2+X3P3+…+XiPi+…+XnPn
Xn
P2
Pn
为X的均值或数学期望，简称期望.
均值或数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平.
均值或期望的一个性质：
若
Y=aX+l?
a,b是常数，X是随机变量，
则Y也是随机变量，因为：
η
ax1+b
ax2+b
axi+b
P（Y=axi+b）=P（X=xi）,i=1,2,∙∙∙,n.
所以Y的分布列为：
于是E（Y）=（axι+b）"
+（ax?
+b）p2十…十（ax：
+b）Pi+…+（axll+b）Pn
=a（x1Pi+X2P2+…+XnPn+…）+b（p1+P2+…+Pn+…）=aE（X）+b,
由此，我们得到了期望的一个性质：
E（aX+b）=aE（X）+b
思考：
如果其他班级参赛选手的射击成绩都在9环左右，本班应该派哪一名选手参赛？
如果其他班级参赛选手的射击成绩都在7环左右，又应该派哪一名选手参赛？
冋题的本质：
选择方差大的好还是方差小的好？
如果其他班级选手的射击成绩都在9环左右，本班候选人成绩只有8环，要想取胜或不输，选手必须超常发挥。
一般来讲，方差大的，超常发挥的可能性越大，因此，应该派甲去；
并且通过发布列可以计算甲取胜或不输的概率（大于等于9环）。
如果其他班级选手的射击成绩都在7环左右，要想取胜或不输，本班选手的射击成绩稳定在8环比较好，因此，选择派乙去；
他的成绩的方差比较小，成绩更集中于8环，取
胜的可能性更大；
通过发布列可以计算乙取胜或不输的概率（大于等于7环）。
例1在篮球比赛中，罚球命中得1分，不中得O分。
如果某运动员罚球命中的概率为
0.7,那么他他罚球1次得分X的均值（期望）是多少。
解：
因为P（X=1）=0.7,P（X=O）=0.3，
所以E（X）=IKP（X=1）+0汉P（X=O）=1汉0.7+0汉0.3=0.7
一般地，如果随机变量X服从二点分布，那么E（X）=I×
p+O×
（1-P）=P于是有
若X服从二点分布，则E（X）=P.
如果X〜B（n,p）,那么由ken；
=k，—n—=n1）!
=nZjl,可得
k!
（n—k）!
（k—1）!
[（n—1）—（k—1）]!
nnn-1
Pkkn-k亍k~j1kXnX-（k~4）寸亠kkn∕-k
E（X）=无kCnPq=无npCn/Pq=np^Cn∕Pq=np
kZak=1k=0
即:
VP（x=k）=cnkpk（1-p）Z=C：
pkqZ,
E（X）=0×
Cθp0qn+1×
CnPIq^^+2×
Cn2p2qn^+…+k×
CrkPkqZ+…+n×
CnIPnqO.
∙∙∙E（X）=np（Cn0APOqn-+CndPIqn'
+…+C^p"
Aq+…+CniPn"
jq0）
=np（p+q）nJL=np.故若X〜B（n,P）,则E（X）=np.
随机变量的均值与样本的平均值有什么联系与区别？
随机变量的均值是一个常数，而样本的平均值是随着样本的不同而变化的，因此，样本的平均值是随机变量；
对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本的平均值越老越接近于总体的均值，因此，我们常用样本的平均值来估计总体的均值。
例2.一次单兀测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项止确。
每题选对得5分，不选或选错不得分，满分100分。
学生甲选对任一题的概率为0.9,学生乙则在测验中对每题都从各个选项中随机地选择一个，求学生甲和乙在这次测验中的成绩的均值。
设学生甲和乙在这次单元测验中选对的题数分•别为Xi,X2，贝U
Xi~B（20,0.9）,X2〜B（20,0.25）,
.∖E（XI）=20X0.9=18,E（X2）=20X0.25=5*
由于答对每题得5分，学生甲和乙在这次测验中的成绩分别是5Xi和5X2，所以，他们在测验中的成绩的均值分别是：
E（5X1）=5E（X1）=5>
M8=90,E（5X2）=5E（X2）=5汉5=25,
学生甲在这次单元测试中的成绩一定是90分吗？
他的成绩均值90分的含义是什么？
90表示随机变量X的均值；
甲的成绩是一个随机变量，比如取值可能为0,5,10,…
95,100;
他的均值为90分的含义是：
在多次类似的考试中，他的平均成绩大约是90分。
例3.根据气象预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25,有大洪水的概率为0.01.该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60000元，遇到小洪水时要损失10000兀.为保护设备，有以下3种方案：
方案1:
运走设备，搬运费为3800元.
方案2:
建保护围墙，建设费为2OOO元•但围墙只能防小洪水.
方案3:
不米取措施，布望不发生洪水.
试比较哪一种方案好•
用Xi、X2和X3分别表示方案1,2,3的损失.
米用第1种方案，无论有无洪水，都损失3800元，即Xi=3800.
米用第2种方案，遇到大洪水时，损失2000+60000=62000元；
没有大洪水时，损失2000元，即X2=!
62000，有大洪水；
2000,无大洪水.
「60000,有大洪水；
同样，米用第3种方案，有X3=J10000,有小洪水；
0,无洪水•
于是，
E（XI）=3800,
E（X2）=62000×
P（X2=62000）+200000×
P（X2=2000）
=62000×
0.01+2000×
（1-0.01）=2600,
E（X3）=60000×
P（X3=60000）+10000×
P（X3=10000）+0×
P（X3=0）
=60000×
0.01+10000×
0.25=3100.
米取方案2的平均损失最小，所以可以选择方案2.
值得注意的是，上述结论是通过比较“平均损失”而得出的.一般地，我们可以这样来理解“平均损失”：
假设问题中的气象情况多次发生，那么采用方案2将会使损失减到最小.由于洪水是否发生以及洪水发生的大小都是随机的，所
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