离散型随机变量均值与方差优秀教案docxWord文档格式.docx

1、X1X2XiPP1PiX2，Xa，-， 取每一个值Xi （i =1，2，）的概 率为PC =X）=Pi ,则称表为随机变量的概率分布， 简称的分布列4分布列的两个性质： Pi 0，i = 1，2,; P+B+ =1.某事件发生的概率是 P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生 k次的概率是Pn（ =k） =CfpkqZ , （k= 0,1,2,，n, q=1-p ）.于是得到随机变量的概率分布如下：称这样的随机变量 服从二项分布，记作 B（n, P）,其中n, P为参数，并记 Ck PkqnA = b（k； n, P）.6离散型随机变量的几何分布：在独立重复试验中，某事件第一次发生时，所作

2、试验 的次数也是一个正整 数的离散型随机变量. “ =k”表示在第k次独立重复试验时事件第一次发生如果把k次试验时事件A发生记为Ak、事件A不发生记为Ak , P（Ak）=P , P（Ak）=q（q=1-p）,那么PC =k） =P（AAA3 I叭二A）=P（AI）P（A2）P（A3）II）P（Ak）P（A）= qkp （k = 0,1,2,， q =1 一 p ）.于是得到随机变量的概率分布如 1 2 3 k 下：PPPq q2 P qkp 称这样的随机变量 服从几何分布记作 g（k, P）= qkp ,其中 k= 0,1,2,，q =1 - P .离散型随机变量的均值问题：某商场为满足市场

3、需求要将单价分别为 18元/kg , 24元/kg , 36元/kg的3种糖果按3:2:1的比例混合销售，其中混合糖果中每一颗糖果的质量都相等，如何对每千克 混合糖果定价才合理？价格定为（18+24+36）/3=26（元/千克）；合理吗？如何体现三种的比例？平均在每1kg的混合糖果中，3种糖果的质量分别为12kg, 13kg, 16kg,所以价格 应定为卫3 24 2 36 1 =23 （元/千克）.6它是三种糖果价格的加权平均，其中 1/2, 1/3, 1/6 权数，在计算平均数时，权数可以表示总体中的各种成分所占的比例，权数越大的数据在总体中所占的比例越大，它对加 权平均数的影响也越大.加

4、权平均数是不同比重数据的平均数，加权平均数就是把原始数据按照合理的比例来计算 .1/2表示价格为18元/千克的糖果在混合糖果中所占比例，1/3表示价格为24元/千克 的糖果在混合糖果中所占比例，1/6表示价格为36元/千克的糖果在混合糖果中所占比例.“在搅拌均匀的混合糖果中，如果每一颗糖果的质量都相等，”那么在混合糖果中任取 一颗糖果，取到每颗糖果的可能性相等，这样在混合糖果中任取一颗，取到的糖果恰好是 价格为18元/千克的糖果的概率是多少？恰好是价格为 24元/千克的糖果的概率是多少？ 恰好是价格为36元/千克的糖果的概率是多少？在混合糖果中任取一颗，取到的糖果恰好是价格为 18元/千克的概

5、率是1/2 ,恰好是价格为24元/千克的概率是1/3 ,恰好是价格为36元/千克的概率是1/6.假如从这种混合糖果中随机选取一颗，记 X为这颗糖果的原来单价（元/千克），则X的分布列为：因此权数恰好是随机变量 X取每种 价格的概率。这样，每千克混合糖果的合理价格应为：X1824361/21/31/618 P（X=18）+24 P（X=24）+36 P（X=36）=23（元/千克）.一般地，右离散型随机变量 X的概率分布为：则称 E（X）= XiPi +X2P2 +X3P3 + + Xi Pi + + XnPnXnP2Pn为X的均值或数学期望，简称期望.均值或数学期望是离散型随机变量的一个特征数

6、，它反映了离散型随机变量取值的平均 水平.均值或期望的一个性质：若Y=aX+l? a, b是常数，X是随机变量，则Y也是随机变量，因为：ax1+bax2+baxi+bP（Y=axi+b）=P（X=xi）, i=1,2,n.所以Y的分布列为：于是 E（Y） = （ax +b） +（ax? +b）p2 十十（ax： +b）Pi + （axll +b）Pn=a（x1 Pi + X2 P2 + + XnPn + ）+b（ p1 + P2 + + Pn + ）=aE（X ） + b ,由此，我们得到了期望的一个性质：E（aX +b）=aE（X）+b思考：如果其他班级参赛选手的射击成绩都在 9环左右，本班

7、应该派哪一名选手参赛？ 如果其他班级参赛选手的射击成绩都在 7环左右，又应该派哪一名选手参赛？冋题的本质：选择方差大的好还是方差小的好？如果其他班级选手的射击成绩都在 9环左右，本班候选人成绩只有 8环，要想取胜或 不输，选手必须超常发挥。一般来讲，方差大的，超常发挥的可能性越大，因此，应该派 甲去；并且通过发布列可以计算甲取胜或不输的概率 （大于等于9环）。如果其他班级选手的射击成绩都在 7环左右，要想取胜或不输，本班选手的射击成绩 稳定在8环比较好，因此，选择派乙去；他的成绩的方差比较小，成绩更集中于 8环，取胜的可能性更大；通过发布列可以计算乙取胜或不输的概率 （大于等于7环）。例1在篮

8、球比赛中，罚球命中得1分，不中得O分。如果某运动员罚球命中的概率为0.7,那么他他罚球1次得分X的均值（期望）是多少。解：因为 P（X=1） =0.7,P（X=O） =0.3，所以 E（X）=I KP（X= 1） + 0汉 P（X=O） =1 汉0.7+0汉0.3 = 0.7一般地，如果随机变量 X服从二点分布，那么 E（X）=I p+O （1-P）=P 于是有若X服从二点分布，则E（X）=P.如果 XB（n,p）,那么由 ken； = k，n= n 1）! =nZjl ,可得k!（n k）! （k 1）!（n 1） （k 1）!n n n-1P kkn-k 亍 kj1kXnX-（k4） 寸亠

9、 k k n-kE（X）=无 kCnP q =无 npCn/P q =npCnPq =npk Za k=1 k=0即: V P（x =k）=cnkpk（1-p）Z =C：pkqZ,E（X）= 0 Cp0qn + 1 CnPIq + 2 Cn2p2qn + k CrkPkqZ + + n CnIPnqO . E（X） = n p（ Cn0APOqn- + CndPIqn + + CpAq+ CniPnjq0）=n p（p+q）nJL =np .故若 X B（n, P）,则 E（X） = np.随机变量的均值与样本的平均值有什么联系与区别？随机变量的均值是一个常数，而样本的平均值是随着样本的不同而

10、变化的，因此，样 本的平均值是随机变量；对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本的平均值越老越 接近于总体的均值，因此，我们常用样本的平均值来估计总体的均值。例2. 一次单兀测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个 选项止确。每题选对得 5分，不选或选错不得分，满分 100分。学生甲选对任一题的概率 为0.9,学生乙则在测验中对每题都从各个选项中随机地选择一个， 求学生甲和乙在这次测 验中的成绩的均值。设学生甲和乙在这次单元测验中选对的题数分别为Xi, X2，贝UXi B （20, 0.9） , X2B（20, 0.25）,. E（XI） = 20X0.9 =18, E

11、（X2） = 20X0.25 =5 *由于答对每题得5分，学生甲和乙在这次测验中的成绩分别是 5 Xi和5 X2，所以，他 们在测验中的成绩的均值分别是：E（5X1）=5E（X1）=5M8 = 90, E（5X 2） = 5E（ X2） = 5汉 5 = 25,学生甲在这次单元测试中的成绩一定是 90分吗？他的成绩均值90分的含义是什么？90表示随机变量X的均值；甲的成绩是一个随机变量，比如取值可能为 0, 5, 10,95, 100;他的均值为90分的含义是：在多次类似的考试中，他的平均成绩大约是 90分。例3.根据气象预报，某地区近期有小洪水的概率为 0.25,有大洪水的概率为0. 01.

12、该 地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60 000元，遇到小洪水时要损失10 000 兀.为保护设备，有以下3种方案：方案1:运走设备，搬运费为3 800元.方案2:建保护围墙，建设费为2 OOO元但围墙只能防小洪水.方案3:不米取措施，布望不发生洪水.试比较哪一种方案好用Xi、X2和X3分别表示方案1, 2, 3的损失.米用第1种方案，无论有无洪水，都损失 3 800元，即 Xi = 3 800 .米用第2种方案，遇到大洪水时，损失2 000 + 60 000=62 000元；没有大洪水时，损 失2 000元，即 X2= !62000，有大洪水；2000,无大洪水.60000 ,

13、有大洪水；同样，米用第3种方案，有X3=J10000,有小洪水；0,无洪水于是，E（XI）= 3 800 ,E（X2）= 62 000 P （X2 = 62 000 ） + 2 00000 P （X2 = 2 000）=62000 0. 01 + 2000 （1-0.01） = 2 600 ,E（X3）=60000 P（X3 =60000）+10 000 P（X3=10 000）+0 P（X3=0）=60 000 0.01 + 10000 0.25=3100 .米取方案2的平均损失最小，所以可以选择方案 2.值得注意的是，上述结论是通过比较“平均损失”而得出的.一般地，我们可以这样 来理解“平均损失”：假设问题中的气象情况多次发生，那么采用方案 2将会使损失减到最 小.由于洪水是否发生以及洪水发生的大小都是随机的，所