湖北省黄冈市黄冈中学学年高一数学下学期期中试题理.docx
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湖北省黄冈市黄冈中学学年高一数学下学期期中试题理
湖北省黄冈中学2016年春季期中联考高一数学试题（理）
考试时间：
4月27日上午8:
00—10:
00 试卷满分：
150分
一、选择题：
本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1、下列关于x的不等式解集是实数集R的为（ ）
A． B．4x2＋4x＋1＞0
C．3x－1＞0 D．
2、在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C对应的边，若，则角C等于（ ）
A．60° B．45°
C．120° D．30°
3、等比数列{an}各项均为正数，且a5a6＋a4a7＝54，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝（ ）
A．8 B．10
C．15 D．20
4、在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C对应的边，则满足A＝45°，c＝8，a＝6的△ABC的个数为m，则am的值为（ ）
A．36 B．6
C．1 D．不存在
5、已知数列{an}首项，则a2016＝（ ）
A．－2 B．
C． D．3
6、对任意实数x，不等式2kx2＋kx－3＜0恒成立，则实数k的取值范围是（ ）
A．－24＜k＜0 B．－24＜k≤0
C．0＜k≤24 D．k≥24
7、数列{an}满足a1＝1，，且，则an等于（ ）
A． B．
C． D．
8、在300米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是30°，45°，则塔高为（ ）
A． B．
C． D．
9、若等差数列{an}中，|a5|＝|a11|，公差d＜0，则使前n项和Sn取得最大值的n是（ ）
A．8 B．7或8
C．8或9 D．7
10、设实数x，y满足约束条件，若目标函数z＝ax＋by（a＞0，b＞0）的最大值为1，则的最小值为（ ）
A． B．49
C．35 D．
11、两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家们曾经在沙滩上研究数学问题．他们在沙滩上画点或用小石子表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类．如下图中实心点的个数5，9，14，20，……为梯形数．根据图形的构成，记此数列的第2016项为a2016，则a2016－5＝（ ）
A．2023×2016 B．2015×2022
C．2023×1008 D．2015×1011
12、己知等差数列{an}的公差d≠0，且a1，a3，a13成等比数列，若a1＝1，Sn为数列{an}的前n项和，则的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
第Ⅱ卷 非选择题
二、填空题：
本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13、已知a＞0，b＞0，2a＋b＝16，则ab的最大值为__________．
14、中国古代数学巨著《九章算术》中有“分钱问题”：
现有5人分五钱，5人所得数依次成等差数列，前两人分的数与后三人分的数相等，问第二人分__________钱．
15、在△ABC中，已知A＝60°，b＝1，其面积为，则__________．
16、设a＞0，b＞0，称为a，b的调和平均数．如图，线段AC过⊙O的圆心与圆交于点C，E，AB为圆的切线，B为切点，BD⊥OA于D，F在圆上且FO⊥OA于O．AC＝a，AE＝b，线段__________的长度是a，b的几何平均值，线段__________的长度是a，b的调和平均值．
三、解答题：
本大题共6小题，共70分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17、（本小题满分10分）求下列关于实数x的不等式的解集：
（1）－x2＋5x－6≤0；
（2）．
18、（本小题满分12分）在等差数列{an}中，a2＝4，a3＋a8＝15．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设，求b1＋b2＋b3＋…＋b10的值．
19、（本小题满分12分）已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C的对边，．
（1）求角B的大小；
（2）求函数的值域．
20、（本小题满分12分）某市人民广场立有一块巨大的电子显示屏，如图，为测量它的上下宽度（即AB的长度）．一名学生站在如图C处测得A，B的仰角分别为60°，45°，从C点出发，沿着直线OC再前进20米到达D点，在D点测得A的仰角为30°．不考虑测角仪的高度和人的高度（即C，D视为测角仪所在的位置，E视为人的眼睛所在位置）
（1）求电子显示屏的上下宽度AB；
（2）该生站在E点观看电子显示屏，为保证观看节目的视觉效果最佳，即人的眼睛与A，B连线所成角最大，求O，E两点间的距离．（第二问结果保留一位小数，参考数据：
）
21、（本小题满分12分）定义：
在平面直角坐标系中落在坐标轴上的整点（即横坐标和纵坐标均为整数的点）称为“轴点”．设不等式|x|＋|y|≤n（n∈N＋）所表示的平面区域为Dn，记Dn内的“轴点”个数为an．
（1）求a1，a2，a3，并猜想an的表达式（不需要证明）；
（2）利用
（1）的猜想结果，设数列{an－1}的前n项和为Sn，数列的前n项和为Tn，若对一切n∈N＋，恒成立，求实数m的取值范围．
22、（本小题满分12分）若数列{an}的前n项和Sn满足：
Sn＝2an－2，记bn＝log2an．
（1）求数列{bn}的通项公式；
（2）若c1＝1，，求证：
cn＜3；
（3）记，求的值．（注：
[x]表示不超过x的最大整数，例：
[2.1]＝2，[－1.3]＝－2）
答案与解析：
1、C
解析：
A中的解集是{x|x＞1或x＜－1}，B中的解集是，C中的解集是R，D中的解集是{x|x≠－1}，故答案为C．
2、D
解析：
由余弦定理得，又0°＜C＜180°，∴C＝30°，故答案为D．
3、C
解析：
{an}是等比数列，∴a5a6＝a4a7＝27，
log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3（a1a2…a10）
＝log3（a1a10）5＝5log3a1a10＝5log3a5a6＝5log327＝5×3＝15，故答案为C．
4、A
解析：
∵csinA＜a＜c，∴这样的三角形有2个，即m＝2，∴am＝62＝36．
5、C
解析：
故数列{an}是周期数列且周期T＝4，，故选择C．
6、B
解析：
当k＝0时不等式即为－3＜0，不等式恒成立，当k≠0时，若不等式恒成立，则，即，即－24＜k＜0，综合知－24＜k≤0，故选择B．
7、D
解析：
由题知是等差数列，又，∴公差为．，故答案为D．
8、A
解析：
如图，山高为AB＝300m，塔高为CD．
∴BC＝300，∵∠EAB＝60°，．
Rt△ECD中，，
，故选择A．
9、B
解析：
∵|a5|＝|a11|，∴a5＋a11＝0，又a5＋a11＝a8＋a8，∴a8＝0．
又公差d＜0，∴a7＞0，a9＜0，∴Sn中S7＝S8最大，故选择B．
10、A
解析：
画出可行域，如图，
可知z＝ax＋by在A（3，4）处取得最大值，故3a＋4b＝1．
，
当时取最小值，故选A．
11、D
解析：
……
归纳出．
．
，故选D．
12、A
13、32
14、
15、
16、AB，AD
17、解：
（1）不等式变形为：
（x－2）（x－3）≥0，所以不等式解集为（－∞，2]∪[3，＋∞）．（5分）
（2）不等式等价于2（x－a）（x－a2－1）＜0，，
所以不等式解集为（a，a2＋1）．（10分）
18、解：
（1）由a2＝a1＋d＝4，a3＋a8＝2a1＋9d＝15得a1＝3，d＝1．
∴an＝a1＋（n－1）d＝n＋2（6分）
（2）bn＝2n＋2n＋1
（12分）
19、解：
（1）由正弦定理得：
20、解：
（1）设OB＝x，则由∠OCB＝45°，∠OCA＝60°，∠ODA＝30°，
得OC＝x，，OD＝3x．
则由OD＝OC＋CD，得3x＝x＋20，所以x＝10
所以电子屏的宽度．（6分）
（2）设OE＝y，则，
当且仅当即y≈13.2时，tan∠AEB最大，即∠AEB最大．
答：
（1）电子屏的宽度为米．
（2）当OE为13.2米时，观看节目的视觉效果最佳．（12分）
21、解：
（1）a1＝5，a2＝9，a3＝13，故猜想an＝4n＋1．（4分）
22、解：
（1）当n＝1时，S1＝2a1－2，解得a1＝2
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝（2an－2）－（2an－1－2）＝2an－2an－1
即an＝2an－1
所以数列{an}是以a1＝2为首项，公比为2的等比数列
∴an＝2·2n－1＝2n，从而bn＝log2an＝n． （3分）
（2）由
（1）知
∴cn＝（cn－cn－1）＋（cn－1－cn－2）＋…＋（c2－c1）＋c1（n≥2）
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