第三章多维随机变量及其分布.docx
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第三章多维随机变量及其分布
第三章多维随机变量及其分布
第二章基本内容与学习要求
内容提要：
1二维随机变量及其联合分布。
2二维随机变量的边缘分布和条件分布。
3随机变量的独立性。
4多维随机变量函数的分布。
5介绍n维随机变量。
重点难点：
重点：
二维随机变量联合分布与概率密度。
难点：
两个随机变量的函数的分布：
Z=x+y分布、M=Max（x,y）及N=Min（x,y）分布。
学习要求：
1了解二维随机变量的概念及其实际意义，理解二维随机变量的分布函数的定义及性质。
2理解二维随机变量的边缘分布以及与联合分布的关系，了解条件分布。
3掌握二维均匀分布和二维正态分布。
4理解随机变量的独立性。
5会求二维随机变量的和、商分布及多维随机变量的极值分布。
6了解n维随机变量的概念及其分布。
§3.1二维随机变量的分布
1.二维随机变量的分布函数和边缘分布
定义3.1.1设（X，Y）是二维随机变量，对于任意的实数x，y，称
F（x，y）=P（X≤x，Y≤y）
为二维随机变量（X，Y）的联合分布函数或分布函数。
若将二维随机变量（X，Y）的取值看成是平面上随机点的坐标,则F（x，y）
的值表示为（X，Y）落在图中阴影部分内的概率（见图3-1）。
Y
（ｘ，ｙ）
0x
图3.1.1
而（X，Y）落在区域x1＜X≤x2,y1＜Y≤y2内的概率为（见图3.1.2）
P｛x1＜X≤x2,y1＜Y≤y2｝=F（x2，y2）-F（x1，y2）-F（x2，y1）+F（x1，y1）
ｙ
（x1,y2） （x2,y2）
（x1,y1） （x2,y1）
x
0
图3.1.2
与一维随机变量的分布函数类似，F（x，y）有下列性质
（1）F（x，y）为有界函数，即对任意的x，y有
0≤F（x，y）≤1
且有F（＋∞，＋∞）=
F（x，y）=1
F（－∞，－∞）=
F（x，y）=0
F（x，－∞）=
F（x，y）=0
F（－∞，y）=
F（x，y）=0
（2）F（x，y）对x或y是单调不减函数。
即：
若x1F（x1，y）
F（x2,y），F（x,y1）
F（x,y2）
（3）F（x，y）对x或y是右连续的。
即F（x+0，y）=F（x，y），F（x，y+0）=F（x，y）。
随机变量X与Y的分布函数
和
分别可由F（x，y）求得.事实上,
我们称
或
分别为F（x，y）边缘分布函数,也称为二维随机变量（X，Y）关于X或Y的边缘分布函数.
2.二维离散型随机变量
（1）联合分布
定义3.1.2设X，Y是同一个样本空间Ω上的两个离散型随机变量，且X，Y的所有取值分别为：
x1，x2，…和y1，y2，…，则称（X，Y）为二维离散型随机变量，并称
P（X=xi，Y=yj）=pij,i，j=1，2，…
为二维离散型随机变量（X，Y）的分布或X，Y的联合分布。
X，Y的联合分布列也可以用概率分布表来表示
Yy1，y2，…yj,…
X
x1p11p12…p1j…
x2p21p22…p2j…
┇┇┇┇
xipi1pi2…pij…
┇┇┇┇
X，Y的联合分布列有下列性质
（i）pij≥0,i，j=1，2，…,…
（ii）
pij=1.
由联合分布，可得二维离散型随机变量（X，Y）的联合分布函数为
F（x，y）=
pij,－∞＜x＜＋∞，－∞＜y＜＋∞.
例3.1.1一批产品，其中一等品5个、二等品3个、次品2个。
从中任取两个，用X，Y分别表示取出的一等品、二等品的个数，试求（X，Y）的联合分布列.
解由题可知X，Y的取值范围都为0，1，2。
且
P（X=i，Y=j）=
，0
当i+j>2时，P｛X=ｉ，Ｙ＝ｊ｝＝０.
于是（Ｘ，Ｙ）的联合分布列为
Y
X ０ １ ２
０
１
０
２
０ ０
（2）边缘分布
P{X=xi}=
P{X=xi，Y=yj}=
pij＝ｐi·ｉ＝１，２，…,
P{Y=yj}=
P{X=xi，Y=yj}=
pij=p·j（ｊ＝１，２，…）
X
Y y1，y2，┅ pi·
ｘ1p11p12┅p1·
ｘ2p21p22┅p2·
┇┇┇┇┇
p•jp•1p•2┅
例3.1.2由例3.1.1求得关于X的边缘分布列.
解
=
=
用表格表示为（见分布表3.1.1最后一列）
表3.1.1
Y
X ０ １ ２
０
１
０
２
０ ０
同理,可求得关于Y的边缘分布列（见分布表3.1.1最后一行）.
3二维连续型随机变量
（1）联合概率密度
定义3.1.3对于二维随机变量（X,Y），其分布函数为F（x,y），如果存在非负可积函数p（x,y）,对任意实数x,y有
p（u,v）dudv
则称（X,Y）为二维连续型随机变量，F（X,Y）为二维连续型随机变量的联合分布函数，p（x,y）称为（X,Y）的联合概率密度函数或联合概率密度或简称概率密度。
由定义知，（X,Y）的联合概率密度p（x,y）有如下性质
（i）p（x,y）≥0 ;
（ii）
p（x,y）dxdy=1 ;
（iii）若p（x,y）在点（x,y）处连续，则
p（x,y）=
;
（iv）若G是平面上的某一区域，则
P｛（X,Y）∈G｝＝
p（x,y）dxdy;
特别的有P｛x1＜X≤x2,y1＜Y≤
}＝
p（x,y）dxdy
例3.1.3设二维随机变量（X,Y）具有联合概率密度
p（x,y）=
试求
（1）常数C；
（2）分布函数F（x,y）；（３）求（X,Y）落在图3-3中区域G内的概率。
Ｇ
ｏ ｘ
图3.1.3
解
（1）由
p（x,y）dxdy=1，故
1＝
ｃｅ
dxdy=C
e-2xdx·
e-2ydy＝C·
·
所以C＝4
（2）由F（x,y）＝
p（u,v）dudv 得
当x≥0,y≥0时
F（x,y）＝
4e-2（u+v）dudv＝4
e-2udu·
e-2vdv
＝（1－e-2x）（1-e-2y）
其它情况,F（x,y）均为零，故
F（x,y）=
（3）P｛（X,Y）∈G｝＝
p（x,y）dxdy
＝
4e-2（x+y）dｙ）dｘ=1-3e-2
（2）两种常用二维随机变量的分布
（i）二维均匀分布
设G为平面区域,G的面积为A（A>0）,若（X,Y）的联合概率密度为
P（x,y）=
则称（X,Y）在G上服从均匀分布。
（ii）二维正态分布
如果（X,Y）的联合概率密度为
p（x,y）=
其中
为五个常数，且
，
＜１,
则称（X,Y）服从二维正态分布，记作N（
）。
（3）边缘概率密度
设二维连续型随机变量（X,Y）的联合概率密度为p（x,y）,则分量
X与Y的概率密度分别为
px（x）＝
p（x,y）dy
ｐY（y）＝
p（x,y）dｘ
我们称FX（x）,FY（y）为二维连续型随机变量（X,Y）的边缘分布函数，px（x），ｐY（y）为二维连续型随机变量（X,Y）的边缘概率密度。
例3.1.4设G为由抛物线y=x2和y=x所围成的区域，（X,Y）在区域G上服从均匀分布，试求X和Y的联合概率密度及边缘概率密度。
Yy=x2
解如图3.1.5，G的面积为y=x
A＝
（x-x2）dx=
o
所以X和Y的联合概率密度为图3.1.5
p（x,y）=
而当0≤x≤1时有
pX（x）=
p（x,y）dy=
6dy=6（x-x2）,
当0≤y≤1时有
pY（y）=
p（x,y）dx=
6dx=6（
-y）,
所以，X,Y的边缘概率密度分别是
pX（x）＝
pY（y）＝
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§3.2二维随机变量的独立性与条件分布
1`二维随机变量的独立性
定义3.2.1设
依次为
的分布函数,若对任意实数
都有
则称两个随机变量
与
相互独立.
（1）离散型随机变量的独立性
定义3.2.2如果（X,Y）是二维离散型随机变量，如果对于它们的任意一对取值xi及yj，对（X，Y）的任意一对取值（xi，yj），都有
P{X=xi，Y=yj}=P{X=xi}P{Y=yj}i，j=1，2，…（3.2.2）
则称离散型随机变量X和Y是独立的。
例3.2.1例3.1.1中两个随机变量X与Y是相互独立吗?
解由例3.1可得
显见
因此X与Y不独立.
（2）连续型随机变量的独立性
定义3.2.3如果（X,Y）是二维连续型随机变量，其联合概率密度为p（x,y）,则X与Y也都是连续型随机变量，它们的概率密度分别为pX（x）,pY（y）,若对任意实数
都有
p（x,y）＝pX（x）·pY（y）
则称连续型随机变量X和Y是独立的。
例3.2.2本章第一节例3.2中随机变量X,Y的边缘概率密度分别为
pX（x）=
p（x,y）dy=
pY（y）＝
p（x,y）dx=
显然有p（x,y）＝pX（x）·pY（y），所以X,Y相互独立。
而例3.3中的X,Y显然是不独立的。
例3.2.3求二维正态随机变量的边缘概率密度.
解设（X,Y）
N（μ1，μ2，
）,对任意
pX（x）＝
p（x,y）dy
记
并对积分变量
作变换
于是,由
得到
=
=
其中,
上式表明
类似地,可以推得
例3.2.4若二维随机变量（X,Y）服从正态分布N（μ1，μ2，
），证明:
X与Y相互独立充分必要条件为
=0.
证明必要性若X与Y相互独立，则对任意实数
都有
p（x,y）＝pX（x）·pY（y）
特别令
则有
即
于
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