函数极值的求法及其应用文档格式.docx

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函数极值问题是我们在中学数学和高等数学中都能常常遇见的问题，自然学科、工程技术及生产活动、生活实践中很多需要解决的问题，都与求函数极值有关，而导数和微积分的重要应用之一，就是求函数极值。

本文从参考书中的例子和生活中的实际问题入手，分别对一元函数和多元函数的极值的求法及其应用进行总结和分析。

关键词：

函数；

极值；

应用

Theextremeoffunctionofreligionanditsapplication

ZengLang

Mathematicsandappliedmathematicsprofessional，collegeofmathematicsand

information，Grade2013Instructor:

LuoJiagui

Abstract:

Extremumproblemsisthatwecanoftenmeetinthemiddleschoolmathematicsandhighermathematicsproblemsneedtosolvemanynaturalscience,engineeringtechnologyandproductionactivitiesandlifepracticeproblemsarerelatedwithextremalfunction,andtheimportantapplicationofderivativeanddifferentialcalculus,isextremalfunction.Inthispaper,westartfromtheexamplesinreferencebooksandthepracticalproblemsinlife,andsumupandanalyzethemethodsandapplicationsoftheextremumofthefunctionofonevariableandmultiplefunctions.

Keyword:

function;

theextreme;

application

第一章引言

函数极值问题在我们学习和生活中都会常常遇到。

那么什么是极值呢？

现实生活中我们常常遇到的如何使用料最省、路径最短等这样的问题，就属于极值问题。

在学习生活中，我们常常遇到这样的问题：

如证明在圆的所有外切三角形中，正三角形的面积最小；

给定某个特定的函数，求它在某个区间的极值等问题。

对极值问题的研究，在很早以前就有了痕迹。

早在古希腊时，数学家们就研究了等周问题。

在欧几里得的名著《几何原本》中，实际上已经证明了很多几何问题。

在生活中也存在很多求极值的问题。

我们都知道蜂房的构造是很吸引人的。

十八世纪初，法国学者马拉尔琪曾经测量蜂房的尺寸，发现六角形窝洞的六个角都有一致的规律：

钝角等于109º

28′，锐角等于70º

32′。

法国物理学家列奥缪拉由此得到启发：

蜂房的形状是不是用料最省，容积最大呢？

列奥缪拉去请教巴黎科学院院士数学家克尼格。

这位数学家计算的结果是，要用最少的材料，制作成容积最大的菱形容器，它的角度应该是109º

26′和70º

34′。

这与蜂房的角度仅差2′。

苏格兰数学家马克劳林又认真再计算一次，得出的结果竟然和蜂房的实际角度完全一致。

后来发现，克尼格并没有错，而是他用的对数表印错了。

一九六四年二月，著名数学家华罗庚在对北京市中学生作报告时指出，蜂窝的构造问题，正确的提法应该是：

在密峰的身长，腰围确定的情况下，尖顶六棱柱用料最省。

这样的提法不仅是纯粹的空间形式与数量关系的数学问题，而且这与生物体有机体统一起来了。

从这里我们可以看到，函数极值问题联系着我们的学习和生活。

学习中遇到的极值问题我们在学习导数和微积分相关知识后就可以解决了，生活中的碰到很多的实际问题都可以先建立起数学模型，再转变为我们数学中的问题来解决。

第二章一元函数的极值

在说函数极值之前我们先来谈谈函数。

函数的定义如下:

设给定两个变量x和y，其变动区域为M和N,如果M中的每一个x值，总有一个确定的y值（在N内）和它对应，则变量y称为变量x的函数。

我们从函数的定义我们可以看到，函数主要由三部分组成，变量x的取值范围M，我们称它为函数y的定义域，函数y的取值范围N，我们称它为函数的值域，而函数y与x之间的一一对应关系，我们一般用表示。

我们生活中的很多实际问题可以归类转化为与函数有关的问题。

那么首先我们先来了解函数极值。

什么是极值呢？

假设函数在的某领域内有定义，如果的值小于（或者大于）在附近的所有各点的函数值，那么称是函数的极小值（或极大值），记作,（或）,

在大学数学里，极值的概念就更为精密了。

若函数y=在（a,b）上有定义且连续，对于一点有某一领域（-δ，+δ）完全含于（a,b）内，对于任意的x（-δ，+δ），总存在，则称y=在处取得极大值，如果总存在，则称y=在处取得极小值。

这是最为严格意义上的极值定义即概念。

下面我们从书中的定理入手介绍函数极值的求法。

2.1极值的充分条件

我们学过费马定理知道了如何判别极值，费马定理表述如下：

如果函数在可导，且为的极值点，则。

这也告诉我们可导函数在点取极值的必要条件是。

定理2.1：

设在点连续，在某邻域上可导。

（）若当时，当时，则在点取得极小值。

（）若当时，当时，则在点取得极大值。

评价：

华东师范大学版数学分析此定理给出了简单函数的极值的求法及其判

别，下面我们举几个例子。

例1求函数的极值。

解：

因为函数在上有定义且连续，由题意可以得到，令得，当时，，函数递减；

当时，

函数递增。

所以函数在处取得极小值，

分析：

此题展示了如何求已知的一元函数的极值问题，运用到的知识有函数导数的关系，函数的单调性。

我们在求简单的函数的极值时，一般可以先求导函数，令导函数等于零，在求出稳定点，最后判断是极大值还是（极小值）。

例2如果函数既有极大值，又有极小值，a应该满足什么条件？

由题意可以得到，因为函数有两个极值。

所以方程有两个实数根，所以

，

所以求得。

既a的取值范围为.

解析：

本题在已知函数在有极值的情况下，考察它的导数的到的特性。

把极值问题转化为一元二次方程的根的判别式的问题，这样我们就跟清楚了。

例3函数，求极值。

由题意，令得稳定点，列表讨论如下：

x

-1

1

-

+

↘

极小值为-2

↗

极大值为2

由表格我们可以清楚的看到，函数的极小值为，极大值为.

对于复杂函数求极值，我们可以先求出导函数和稳定点，再列出表格，我们就可以的到极值了。

总结：

利用一元函数极值的第一充分条件求极值很简单，所对应的函数都是一阶可导的。

那么如果是二阶可导的函数呢？

我们将在下面讨论。

定理2.2：

设在某领域上可导，在出二阶可导，且，。

（i）若，则在取得极大值；

（ii）若，则在取得极小值。

例4求的极值点和极值.

解：

令，求得稳定点.

又因为.

因此由定理2.2得为的极小值点。

极小值.

此题解决了一阶导数不能求出函数极值的问题，若函数二阶可导，我们可以根据函数在某点的二阶导数的正负性，确定函数在这个点取得极大值还是极小值。

如果我们求出二阶导数仍然没有办法判别出函数的极值，那么我们可以借助更高阶的导数来判别。

定理2.3：

设在的某邻域存在直到n-1阶导函数，在处n阶可导，且（k=0,1,2…,n-1）,,则

（i）当n为偶数时，在处取得极值，且当，则在取得极大值；

，则在取得极小值；

（ii）当n为奇数时，在处不取得极值。

此定理是定理2的扩充。

教材没给出证明。

那么证明如下：

证明：

因为在处的n阶泰勒公式为:

.

由于（k=0,1,2…,n-1）,所以有：

（1）

又因为，，当时，和

是同号的。

当n为奇数时，不能判断它的正负，故不能取得极值；

当n为偶数是总是正的。

所以当时，函数取得极大值；

当时，取得极小值。

例5求函数的极值

，令得稳定点.

又，所以，不是的极值点；

故是的极大值点，

极大值，，是的极小值点，极小值为.

到这里判定极值的充分条件就说完了。

那么我们会想会不会遇到有些函数不能够用这些方法呢？

答案是肯定的。

我们看看下面的函数。

很显然，我们可以看到函数在的处任意阶倒数都等于0，所以不能用判定极值的充分条件。

2.2几种特殊函数的极值

我们中学阶段我们都学过二次函数，我们知道一元二次函数求极值的方法有很多。

我们就一起来探讨：

1.一元二次函数的一般式为，当时有极值；

当时，有极大值；

当时，有极小值。

而且我们知道一元二次函数的极值有且只有一个。

我们画出二次函数的图像就知道，二次函数的图像是一条抛物线，开口方向向上（或向下），因此它只有一个顶点，这些不难从图上看出。

图2.2.1图2.2.2

那么我们如何来求出二次函数的极值呢？

最简单的方法就是图像法，从图像中可以直观地看到。

图像的最高点就是函数的极大值，图像的最低点就是函数的极小值。

下面说说不用画出函数图像就可以求出函数的极值。

（1）配方法：

对于二