平行四边形性质提高练习及答案汇编Word文件下载.docx

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8在□ABCD中，∠ADC的平分线交直线BC于点E、交AB的延长线于点F，连接AC．

（1）如图1，若∠ADC=90°

，G是EF的中点，连接AG、CG．

①求证：

BE=BF．

②请判断△AGC的形状，并说明理由；

（2）如图2，若∠ADC=60°

，将线段FB绕点F顺时针旋转60°

至FG，连接AG、CG．那么△AGC又是怎样的形状．（直接写出结论不必证明）

答案

【考点】平行四边形的性质．

【分析】根据平行四边形的性质得出OD=OB，DC∥AB，推出∠FDO=∠EBO，证出△DFO≌△BEO即可；

（2）由平行四边形的性质得出AB=CD，AD=BC，OA=OC，由线段垂直平分线的性质得出AE=CE，由已知条件得出BC+AB=10，即可得出?

ABCD的周长．

【解答】

（1）证明：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OD=OB，DC∥AB，

∴∠FDO=∠EBO，

在△DFO和△BEO中，∠FDO＝∠EBOOD＝OB∠FOD＝∠EOB，

∴△DFO≌△BEO（ASA），

∴OE=OF．

（2）解：

∴AB=CD，AD=BC，OA=OC，

∵EF⊥AC，

∴AE=CE，

∵△BEC的周长是10，

∴BC+BE+CE=BC+BE+AE=BC+AB=10，

∴?

ABCD的周长=2（BC+AB）=20．

【点评】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，全等三角形的性质和判定、线段垂直平分线的性质；

熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．

2在面积为15的□ABCD中，过点A作AE垂直于直线BC于点E，作AF垂直于直线CD于点F，若AB=5，BC=6，求CE+CF的值

2平行四边形的性质和面积，勾股定理。

依题意，有如图的两种情况。

设BE=x，DF=y。

如图1，由AB＝5，BE=x，得。

由平行四边形ABCD的面积为15，BC＝6，得，

解得（负数舍去）。

由BC＝6，DF=y，得。

由平行四边形ABCD的面积为15，AB＝5，得，

∴CE＋CF=（6－）＋（5－）=11－。

如图2，同理可得BE= 

，DF=。

∴CE＋CF=（6＋）＋（5＋）=11＋。

故选C。

【分析】影阴部分S2是三角形CDF与三角形CBE的公共部分，而S1，S4，S3这三块是平行四边形中没有被三角形CDF与三角形CBE盖住的部分，故△CDF面积+△CBE面积+（S1+S4+S3）-S2=平行四边形ABCD的面积，而△CDF与△CBE的面积都是平行四边形ABCD面积的一半，据此求得S的值．

【解答】解：

设平行四边形的面积为S，则S△CBE=S△CDF=S，

由图形可知，△CDF面积+△CBE面积+（S1+S4+S3）-S2=平行四边形ABCD的面积

∴S=S△CBE+S△CDF+2+S+3-12，

即S=S+S+2+S+3-12，

解得S=7，

故选（D）．

【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，解决问题的关键是明确各部分图形面积的和差关系：

平行四边形ABCD的面积=△CDF面积+△CBE面积+（S1+S4+S3）-S2．

【考点】平行四边形的性质；

三角形的面积；

勾股定理的逆定理．

【专题】压轴题；

转化思想．

【分析】求?

ABCD的面积，就需求出BC边上的高，可过D作DE∥AM，交BC的延长线于E，那么四边形ADEM也是平行四边形，则AM=DE；

在△BDE中，三角形的三边长正好符合勾股定理的逆定理，因此△BDE是直角三角形；

可过D作DF⊥BC于F，根据三角形面积的不同表示方法，可求出DF的长，也就求出了BC边上的高，由此可求出四边形ABCD的面积．

作DE∥AM，交BC的延长线于E，则ADEM是平行四边形，

∴DE=AM=9，ME=AD=10，

又由题意可得，BM=12BC=12AD=5，则BE=15，

在△BDE中，∵BD2+DE2=144+81=225=BE2，

∴△BDE是直角三角形，且∠BDE=90°

，

过D作DF⊥BE于F，

则DF=BD?

DEBE=365，

∴S?

ABCD=BC?

FD=10×

365=72．

故选D．

【点评】此题主要考查平行四边形的性质和勾股定理的逆定理，正确地作出辅助线，构造直角三角形是解题的关键．

5.（2012?

淄博模拟）则在?

ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F．若∠ABC=120°

，FG∥CE，FG=CE，分别连接DB、DG、BG，∠BDG的大小是（　　）A．30°

B．45°

C．60°

D．75°

全等三角形的判定与性质．

【专题】压轴题．【分析】分别连接GB、GC，求证四边形CEGF是平行四边形，再求证△ECG是等边三角形．由AD∥BC及AF平分∠BAD可得∠BAE=∠AEB，则可证得△BEG≌△DCG，然后即可求得答案．

延长AB、FG交于H，连接HD．

∵AD∥GF，AB∥DF，

∴四边形AHFD为平行四边形，

∵∠ABC=120°

，AF平分∠BAD，

∴∠DAF=30°

，∠ADC=120°

，∠DFA=30°

∴△DAF为等腰三角形，

∴AD=DF，

∴平行四边形AHFD为菱形，

∴△ADH，△DHF为全等的等边三角形，

∴DH=DF，∠BHD=∠GFD=60°

∵FG=CE，CE=CF，CF=BH，

∴BH=GF，

在△BHD和△GFD中，

BH＝GF∠BHD＝∠GFDDH＝DF，

∴△BHD≌△GFD（SAS），

∴∠BDH=∠GDF，

∴∠BDG=∠BDH+∠HDG=∠GDF+∠HDG=60°

．

故选C．

【点评】此题主要考查平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，菱形的判定与性质等知识点．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．

6.如图，E、F分别是平行四边形ABCD的边AB、CD上的点，AF与DE相交于点P，BF与CE相交于点Q，若S△APD=15cm2，S△BQC=25cm2，求阴影部分的面积．

【专题】压轴题．

【分析】作出辅助线，因为△ADF与△DEF同底等高，所以面积相等，所以阴影图形的面积可解．

如图，连接EF

∵△ADF与△DEF同底等高，

∴S△ADF=S△DEF

即S△ADF-S△DPF=S△DEF-S△DPF，

即S△APD=S△EPF=15cm2，

同理可得S△BQC=S△EFQ=25cm2，

∴阴影部分的面积为S△EPF+S△EFQ=15+25=40cm2．

故答案为：

40．

【点评】本题综合性较强，主要考查了平行四边形的性质，解答此题关键是作出辅助线，找出同底等高的三角形．

【考点】三角形中位线定理；

直角三角形斜边上的中线；

勾股定理．

【分析】

（1）根据三角形中位线定理得MN=AD，根据直角三角形斜边中线定理得BM=1

AD，根据直角三角形斜边中线定理得BM=AC，由此即可证明．

首先证明∠BMN=90°

，根据BN2=BM2+MN2即可解决问题．

在△CAD中，∵M、N分别是AC、CD的中点，

∴MN∥AD，MN=12AD，

在RT△ABC中，∵M是AC中点，

∴BM=12AC，

∵AC=AD，

∴MN=BM．

∵∠BAD=60°

，AC平分∠BAD，

∴∠BAC=∠DAC=30°

由

（1）可知，BM=12AC=AM=MC，

∴∠BMC=∠BAM+∠ABM=2∠BAM=60°

∵MN∥AD，

∴∠NMC=∠DAC=30°

∴∠BMN=∠BMC+∠NMC=90°

∴BN2=BM2+MN2，

由

（1）可知MN=BM=12AC=1，

∴BN=2

【点评】本题考查三角形中位线定理、直角三角形斜边中线定理、勾股定理等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，属于中考常考题型．

8.（2013?

沈阳模拟）在?

ABCD中，∠ADC的平分线交直线BC于点E、交AB的延长线于点F，连接AC．

全等三角形的判定与性质；

等边三角形的判定；

等腰直角三角形．

（1）①先判定四边形ABCD是矩形，再根据矩形的性质可得∠ABC=90°

，AB∥DC，AD∥BC，然后根据平行线的性质求出∠F=∠FDC，∠BEF=∠ADF，再根据DF是∠ADC的平分线，利用角平分线的定义得到∠ADF=∠FDC，从而得到∠F=∠BEF，然后根据等角对等边的性质即可证明；

②连接BG，根据等腰直角三角形的性质可得∠F=∠BEF=45°

，再根据等腰三角形三线合一的性质求出BG=FG，∠F=∠CBG=45°

，然后利用“边角边”证明△AFG和△CBG全等，根据全等三角形对应边相等可得AG=CG，再求出∠GAC+∠ACG=90°

，然后求出∠AGC=90°

，然后根据等腰直角三角形的定义判断即可；

（2）连接BG，根据旋转的性质可得△BFG是等边三角形，再根据角平分线的定义以及平行线的性质求出AF=AD，平行四边形的对角相等求出∠ABC=∠ADC=60°

，然后求出∠CBG=60°

，从而得到∠AFG=∠CBG，然后利用“边角边”证明△AFG和△C