高中数学必修15习题经典题5第五章三角函数最新Word文件下载.docx

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0，y＝－1；

当x为第三象限角时，sinx<

当x为第四象限角时，sinx<

0，y＝－1.答案：

{－1,3}

5．若一个α角的终边上有一点P（－4，a），且sinα·

cosα＝，则a的值为________．

依题意可知α角的终边在第三象限，点P（－4，a）在其终边上且sinα·

cosα＝，易得tanα＝或，则a＝－4或－.答案：

－4或－

6．已知角α的终边上的一点P的坐标为（－，y）（y≠0），且sinα＝y，求cosα，tanα的值．

解：

因为sinα＝y＝，所以y2＝5，

当y＝时，cosα＝－，tanα＝－；

当y＝－时，cosα＝－，tanα＝.

B组

1．已知角α的终边过点P（a，|a|），且a≠0，则sinα的值为________．

当a>

0时，点P（a，a）在第一象限，sinα＝；

当a<

0时，点P（a，－a）在第二象限，sinα＝.答案：

2．已知扇形的周长为6cm，面积是2cm2，则扇形的圆心角的弧度数是_____．

设扇形的圆心角为αrad，半径为R，则

，解得α＝1或α＝4.答案：

1或4

3．如果一扇形的圆心角为120°

，半径等于10cm，则扇形的面积为________．

S＝|α|r2＝×

π×

100＝π（cm2）．答案：

πcm2

4．若角θ的终边与168°

角的终边相同，则在0°

～360°

内终边与角的终边相同的角的集合为__________．答案：

{56°

，176°

，296°

}

5．若α＝k·

180°

＋45°

（k∈Z），则α是第________象限．

当k＝2m＋1（m∈Z）时，α＝2m·

＋225°

＝m·

360°

，故α为第三象限角；

当k＝2m（m∈Z）时，α＝m·

，故α为第一象限角．

答案：

一或三

6．设角α的终边经过点P（－6a，－8a）（a≠0），则sinα－cosα的值是________．

∵x＝－6a，y＝－8a，∴r＝＝10|a|，

∴sinα－cosα＝－＝＝＝±

.答案：

±

7．若点A（x，y）是300°

角终边上异于原点的一点，则的值为________．

＝tan300°

＝－tan60°

＝－.答案：

－

8．已知点P（sin，cos）落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π），则θ的值为________．

由sin>

0，cos<

0知角θ在第四象限，∵tanθ＝＝－1，θ∈[0,2π），∴θ＝.答案：

9．已知角α的始边在x轴的非负半轴上，终边在直线y＝kx上，若sinα＝，且cosα<

0，则k的值为________．

设α终边上任一点P（x，y），且|OP|≠0，∴y＝kx，

∴r＝＝|x|.又sinα>

0，cosα<

0.∴x<

0，y>

0，

∴r＝－x，且k<

0.∴sinα＝＝＝－，又sinα＝.

∴－＝，∴k＝－2.答案：

－2

10．已知一扇形的中心角是α，所在圆的半径是R.若α＝60°

，R＝10cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积．

设弧长为l，弓形面积为S弓，∵α＝60°

＝，R＝10，∴l＝π（cm），

S弓＝S扇－S△＝·

π·

10－·

102sin60°

＝50（－）（cm2）．

11．扇形AOB的周长为8cm.

（1）若这个扇形的面积为3cm2，求圆心角的大小；

（2）求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB.

设扇形AOB的半径为r，弧长为l，圆心角为α，

（1）由题意可得解得或

∴α＝＝或α＝＝6.

（2）∵2r＋l＝2r＋αr＝8，∴r＝.∴S扇＝αr2＝α·

＝≤4，

当且仅当α＝，即α＝2时，扇形面积取得最大值4.此时，r＝＝2（cm），

∴|AB|＝2×

2sin1＝4sin1（cm）．

12．

（1）角α的终边上一点P（4t，－3t）（t≠0），求2sinα＋cosα的值；

（2）已知角β的终边在直线y＝x上，用三角函数定义求sinβ的值．

（1）根据题意，有x＝4t，y＝－3t，所以r＝＝5|t|，

①当t＞0时，r＝5t，sinα＝－，cosα＝，所以2sinα＋cosα＝－＋＝－.

②当t＜0时，r＝－5t，sinα＝＝，cosα＝＝－，

所以2sinα＋cosα＝－＝.

（2）设P（a，a）（a≠0）是角β终边y＝x上一点，若a＜0，则β是第三象限角，r＝－2a，此时sinβ＝＝－；

若a＞0，则β是第一象限角，r＝2a，

此时sinβ＝＝.

第二节正弦函数和余弦函数的定义及诱导公式

A组

1．若cosα＝－，α∈（，π），则tanα＝________.

cosα＝－，α∈（，π），所以sinα＝，∴tanα＝＝－.

2．若sinθ＝－，tanθ>

0，则cosθ＝________.

由sinθ＝－<

0，tanθ>

0知，θ是第三象限角，故cosθ＝－.

3．若sin（＋α）＝，则cos（－α）＝________.

cos（－α）＝cos[－（＋α）]＝sin（＋α）＝.答案：

4．已知sinx＝2cosx，则＝______.

∵sinx＝2cosx，∴tanx＝2，∴＝＝.

5．若cos2θ＋cosθ＝0，则sin2θ＋sinθ＝________.

由cos2θ＋cosθ＝0，得2cos2θ－1＋cosθ＝0，所以cosθ＝－1或cosθ＝，当cosθ＝－1时，有sinθ＝0，当cosθ＝时，有sinθ＝±

.于是sin2θ＋sinθ＝sinθ（2cosθ＋1）＝0或或－.答案：

0或或－

6．已知sin（π－α）cos（－8π－α）＝，且α∈（，），求cosα，sinα的值．

由题意，得2sinαcosα＝.①又∵sin2α＋cos2α＝1，②

①＋②得：

（sinα＋cosα）2＝，②－①得：

（sinα－cosα）2＝.

又∵α∈（，），∴sinα>

cosα>

0，即sinα＋cosα>

0，sinα－cosα>

∴sinα＋cosα＝.③sinα－cosα＝，④

③＋④得：

sinα＝.③－④得：

cosα＝.

1．已知sinx＝2cosx，则sin2x＋1＝________.

由已知，得tanx＝2，所以sin2x＋1＝2sin2x＋cos2x＝＝＝.答案：

2．cos＝________.

cos＝cos＝－cos＝－.答案：

3．已知sinα＝，且α∈（，π），那么的值等于________．

cosα＝－＝－，＝＝＝＝－.

4．若tanα＝2，则＋cos2α＝_________________.

＋cos2α＝＋＝＋＝.答案：

5．已知tanx＝sin（x＋），则sinx＝___________________.

∵tanx＝sin（x＋）＝cosx，∴sinx＝cos2x，∴sin2x＋sinx－1＝0，解得sinx＝.答案：

6．若θ∈[0，π），且cosθ（sinθ＋cosθ）＝1，则θ＝________.

由cosθ（sinθ＋cosθ）＝1⇒sinθ·

cosθ＝1－cos2θ＝sin2θ⇒sinθ（sinθ－cosθ）＝0⇒sinθ＝0或sinθ－cosθ＝0，又∵θ∈[0，π），∴θ＝0或.答案：

0或

7．已知sin（α＋）＝，则cos（α＋）的值等于________．

由已知，得cos（α＋）＝cos[（α＋）＋]＝－sin（α＋）＝－.

8．若cosα＋2sinα＝－，则tanα＝________.

由

将①代入②得（sinα＋2）2＝0，∴sinα＝－，cosα＝－，∴tanα＝2.

2

9．已知f（α）＝，则f（－）的值为________．

∵f（α）＝＝－cosα，∴f（－π）＝－cos＝－.答案：

10．求sin（2nπ＋）·

cos（nπ＋）（n∈Z）的值．

（1）当n为奇数时，sin（2nπ＋）·

cos（nπ＋）＝sin·

cos[（n＋1）π＋]

＝sin（π－）·

cos＝sin·

cos＝×

＝.

（2）当n为偶数时，sin（2nπ＋）·

cos＝sin（π－）·

cos（π＋）＝sin·

（－cos）＝×

（－）＝－.

11．在△ABC中，若sin（2π－A）＝－sin（π－B），cosA＝－cos（π－B），求△ABC的三内角．

由已知，得

①2＋②2得：

2cos2A＝1，即cosA＝±

.

（1）当cosA＝时，cosB＝，又A、B是三角形内角，∴A＝，B＝，∴C＝π－（A＋B）＝π.

（2）当cosA＝－时，cosB＝－.又A、B是三角形内角，∴A＝π，B＝π，不合题意．综上知，A＝，B＝，C＝π.

12．已知向量a＝（，1），向量b＝（sinα－m，cosα）．

（1）若a∥b，且α∈[0,2π），将m表示为α的函数，并求m的最小值及相应的α值；

（2）若a⊥b，且m＝0，求的值．

（1）∵a∥b，∴cosα－1·

（sinα－m）＝0，∴m＝sinα－cosα＝2sin（α－）．

又∵α∈[0,2π），∴当sin（α－）＝－1时，mmin＝－2.

此时α－＝π，即α＝π.

（2）∵a⊥b，且m＝0，∴sinα＋cosα＝0.∴tanα＝－.

∴＝＝tanα·

2sinα·

cosα

＝tanα·

第三节正弦函数与余弦函数的图像与性质A组

1．已知函数f（x）＝sin（x－）（x∈R），下面结论错误的是．

①函数f（x）的最小正周期为2π②函数f（x）在区间[0，]上是增函数

③函数f（x）的图象关于直线x＝0对称④函数f（x）是奇函数

∵y＝sin（x－）＝－cosx，y＝－cosx为偶函数，

∴T＝2π，在[0，]上是增函数，图象关于y轴对称．答案：

④

2．函数y＝2cos2（x－）－1是________．

①最小正周期为π的奇函数　②最小正周期为π的偶函数　③最小正周期为的奇函数　④最小正周期为的偶函数

y＝2cos2（x－）－1＝cos（2x－）＝sin2x，∴T＝π，且为奇函数．

3．若函数f（x）＝（1＋tanx）cosx，0≤x<

，则f（x）的最大值为________．

f（x）＝（1＋·

）·

cosx＝cosx＋sinx＝2sin（x＋），

∵0≤x<

，∴≤x＋<

，∴当x＋＝时，f（x）取得最大值2.答案：

4．已知函数f（x）＝asin2x＋cos2x（a∈R）图象的一条对称轴方程为x＝，则a的值为________．

∵x＝是对称轴，∴f（0）＝f（），即c