中考数学专题突破导练案第五讲三角形试题含答案.docx

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中考数学专题突破导练案第五讲三角形试题含答案

第五讲三角形

【专题知识结构】

【专题解题分析】

三角形在中考中的常见考点有三角形的边和角，三角形的重要线段；全等三角形的判定，全等三角形的性质及综合应用，角平分线的应用；等腰三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，直角三角形的性质，勾股定理，线段的垂直平分线；比例线段与黄金分割，相似三角形的性质及判定，相似多边形的性质；锐角三角函数，解直角三角形的应用等．对三角形的考查在中考中既有客观题又有主观题，考查题型多样，关于边角的基础知识一般以选择题或填空题的形式进行考查，证明三角形全等、相似，应用三角形全等、相似解决问题一般以解答题的形式进行考查；

解决三角形问题常用的数学思想是转化思想，方程思想和数形结合思想；常用的数学方法有分类讨论法和设参数法等.

【典型例题解析】

例题1:

（2017山东东营）如图，把△ABC沿着BC的方向平移到△DEF的位置，它们重叠部分的面积是△ABC面积的一半，若BC=，则△ABC移动的距离是（　　）

A．B．C．D．﹣

【分析】移动的距离可以视为BE或CF的长度，根据题意可知△ABC与阴影部分为相似三角形，且面积比为2：

1，所以EC：

BC=1：

，推出EC的长，利用线段的差求BE的长．

【解答】解：

∵△ABC沿BC边平移到△DEF的位置，

∴AB∥DE，

∴△ABC∽△HEC，

∴=（）2=，

∴EC：

BC=1：

，

∵BC=，

∴EC=，

∴BE=BC﹣EC=﹣．

故选：

D．

【点评】本题主要考查相似三角形的判定和性质、平移的性质，关键在于证△ABC与阴影部分为相似三角形．

例题2:

（2017宁夏）在△ABC中，AB=6，点D是AB的中点，过点D作DE∥BC，交AC于点E，点M在DE上，且ME=DM．当AM⊥BM时，则BC的长为　8　．

【分析】根据直角三角形的性质求出DM，根据题意求出DE，根据三角形中位线定理计算即可．

【解答】解：

∵AM⊥BM，点D是AB的中点，

∴DM=AC=3，

∵ME=DM，

∴ME=1，

∴DE=DM+ME=4，

∵D是AB的中点，DE∥BC，

∴BC=2DE=8，

故答案为：

8．

【点评】本题考查的是三角形的中位线定理的应用，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．

例题3：

（2017上海）一副三角尺按如图的位置摆放（顶点C与F重合，边CA与边FE叠合，顶点B、C、D在一条直线上）．将三角尺DEF绕着点F按顺时针方向旋转n°后（0＜n＜180），如果EF∥AB，那么n的值是　45　．

【分析】分两种情形讨论，分别画出图形求解即可．

【解答】解：

①如图1中，EF∥AB时，∠ACE=∠A=45°，

∴旋转角n=45时，EF∥AB．

②如图2中，EF∥AB时，∠ACE+∠A=180°，

∴∠ACE=135°

∴旋转角n=360°﹣135°=225°，

∵0＜n°＜180，

∴此种情形不合题意，

故答案为45

【点评】本题考查旋转变换、平行线的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．

例题4：

（2017上海）如图，一座钢结构桥梁的框架是△ABC，水平横梁BC长18米，中柱AD高6米，其中D是BC的中点，且AD⊥BC．

（1）求sinB的值；

（2）现需要加装支架DE、EF，其中点E在AB上，BE=2AE，且EF⊥BC，垂足为点F，求支架DE的长．

【分析】

（1）在Rt△ABD中，利用勾股定理求出AB，再根据sinB=计算即可；

（2）由EF∥AD，BE=2AE，可得===，求出EF、DF即可利用勾股定理解决问题；

【解答】解：

（1）在Rt△ABD中，∵BD=DC=9，AD=6，

∴AB===3，

∴sinB===．

（2）∵EF∥AD，BE=2AE，

∴===，

∴==，

∴EF=4，BF=6，

∴DF=3，

在Rt△DEF中，DE===5．

【点评】本题考查解直角三角形的应用，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

例题5：

（2017年湖南郴州）如图所示，C城市在A城市正东方向，现计划在A、C两城市间修建一条高速公路（即线段AC），经测量，森林保护区的中心P在A城市的北偏东60°方向上，在线段AC上距A城市120km的B处测得P在北偏东30°方向上，已知森林保护区是以点P为圆心，100km为半径的圆形区域，请问计划修建的这条高速公路是否穿越保护区，为什么？

（参考数据：

≈1.73）

【分析】作PH⊥AC于H．求出PH与100比较即可解决问题．

【解答】解：

结论；不会．理由如下：

作PH⊥AC于H．

由题意可知：

∠EAP=60°，∠FBP=30°，

∴∠PAB=30°，∠PBH=60°，

∵∠PBH=∠PAB+∠APB，

∴∠BAP=∠BPA=30°，

∴BA=BP=120，

在Rt△PBH中，sin∠PBH=，

∴PH=PBsin60°=120×≈103.80，

∵103.80＞100，

∴这条高速公路不会穿越保护区．

【点评】本题考查解直角三角形、等腰三角形的判定和性质、勾股定理的应用等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．

例题6：

（2017年湖南郴州）如图1，△ABC是边长为4cm的等边三角形，边AB在射线OM上，且OA=6cm，点D从O点出发，沿OM的方向以1cm/s的速度运动，当D不与点A重合时，将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，连结DE．

（1）求证：

△CDE是等边三角形；

（2）如图2，当6＜t＜10时，△BDE的周长是否存在最小值？

若存在，求出△BDE的最小周长；若不存在，请说明理由；

（3）如图3，当点D在射线OM上运动时，是否存在以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形？

若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．

【分析】

（1）由旋转的性质得到∠DCE=60°，DC=EC，即可得到结论；

（2）当6＜t＜10时，由旋转的性质得到BE=AD，于是得到C△DBE=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE，根据等边三角形的性质得到DE=CD，由垂线段最短得到当CD⊥AB时，△BDE的周长最小，于是得到结论；

（3）存在，①当点D与点B重合时，D，B，E不能构成三角形，②当0≤t＜6时，由旋转的性质得到∠ABE=60°，∠BDE＜60°，求得∠BED=90°，根据等边三角形的性质得到∠DEB=60°，求得∠CEB=30°，求得OD=OA﹣DA=6﹣4=2，于是得到t=2÷1=2s；③当6＜t＜10s时，此时不存在；④当t＞10s时，由旋转的性质得到∠DBE=60°，求得∠BDE＞60°，于是得到t=14÷1=14s．

【解答】解：

（1）证明：

∵将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，

∴∠DCE=60°，DC=EC，

∴△CDE是等边三角形；

（2）存在，当6＜t＜10时，

由旋转的性质得，BE=AD，

∴C△DBE=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE，

由

（1）知，△CDE是等边三角形，

∴DE=CD，

∴C△DBE=CD+4，

由垂线段最短可知，当CD⊥AB时，△BDE的周长最小，

此时，CD=2cm，

∴△BDE的最小周长=CD+4=2+4；

（3）存在，①∵当点D与点B重合时，D，B，E不能构成三角形，

∴当点D与点B重合时，不符合题意，

②当0≤t＜6时，由旋转可知，∠ABE=60°，∠BDE＜60°，

∴∠BED=90°，

由

（1）可知，△CDE是等边三角形，

∴∠DEB=60°，

∴∠CEB=30°，

∵∠CEB=∠CDA，

∴∠CDA=30°，

∵∠CAB=60°，

∴∠ACD=∠ADC=30°，

∴DA=CA=4，

∴OD=OA﹣DA=6﹣4=2，

∴t=2÷1=2s；

③当6＜t＜10s时，由∠DBE=120°＞90°，

∴此时不存在；

④当t＞10s时，由旋转的性质可知，∠DBE=60°，

又由

（1）知∠CDE=60°，

∴∠BDE=∠CDE+∠BDC=60°+∠BDC，

而∠BDC＞0°，

∴∠BDE＞60°，

∴只能∠BDE=90°，

从而∠BCD=30°，

∴BD=BC=4，

∴OD=14cm，

∴t=14÷1=14s，

综上所述：

当t=2或14s时，以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形．

【点评】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，三角形周长的计算，直角三角形的判定，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．

【达标检测评估】

一、选择题：

1.（2016·山东省滨州市·3分）如图，△ABC中，D为AB上一点，E为BC上一点，且AC=CD=BD=BE，∠A=50°，则∠CDE的度数为（　　）

A．50°B．51°C．51.5°D．52.5°

【考点】等腰三角形的性质；对顶角、邻补角；三角形内角和定理；三角形的外角性质．

【专题】计算题．

【分析】根据等腰三角形的性质推出∠A=∠CDA=50°，∠B=∠DCB，∠BDE=∠BED，根据三角形的外角性质求出∠B=25°，由三角形的内角和定理求出∠BDE，根据平角的定义即可求出选项．

【解答】解：

∵AC=CD=BD=BE，∠A=50°，

∴∠A=∠CDA=50°，∠B=∠DCB，∠BDE=∠BED，

∵∠B+∠DCB=∠CDA=50°，

∴∠B=25°，

∵∠B+∠EDB+∠DEB=180°，

∴∠BDE=∠BED=（180°﹣25°）=77.5°，

∴∠CDE=180°﹣∠CDA﹣∠EDB=180°﹣50°﹣77.5°=52.5°，

故选D．

【点评】本题主要考查对等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角性质，邻补角的定义等知识点的理解和掌握，熟练地运用这些性质进行计算是解此题的关键．

2.到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的（　　）

A．三条高的交点B．三条角平分线的交点

C．三条中线的交点D．三条边的垂直平分线的交点

【考点】线段垂直平分线的性质；角平分线的性质．

【分析】根据线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等解答即可．

【解答】解：

到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的三条边的垂直平分线的交点，

故选：

D．

3.（2016·山东省德州市·3分）如图，在△ABC中，∠B=55°，∠C=30°，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为（　　）

A．65°B．60°C．55°D．45°

【考点】线段垂直平分线的性质．

【分析】根据线段垂直平分线的性质得到AD=DC，根据等腰三角形的性质得到∠C=∠DAC，求得∠DAC=30°，根据三角形的内角和得到∠BAC=95°，即可得到结论．

【解答】解：

由题意可得：

MN是AC的垂直平分线，

则AD=DC，故∠C=∠DAC，

∵∠C=30°，

∴∠DAC=30°，

∵∠B=55°，

∴∠BAC=95°，

∴∠BAD=∠BAC﹣∠CAD=65°，

故选A．

【点评】此题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形的内角和，正确掌握线段垂直平分线的性质是解题关键．

4.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，AB=10，DE垂直平分AC交AB于点E，则DE的长为（　　）

A．6B．5C．4D．3

【考点】三角形中位线定理；线段垂直平分线的性质．

【分析】在Rt△ACB中，根据勾股定理求得BC边的长度，然后由三角形中位线定理知DE=BC．

【解答】解：

∵在Rt△ACB中，∠ACB=90