学年北京市东城区高二下学期期末考试数学文试题 Word版Word文件下载.docx
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4排1号
4排2号
4排8号
丙从这9张电影票中挑选了一张，甲、乙询问丙所选的电影票的座位信息，丙只将排数告诉了甲，只将号数告诉了乙。
下面是甲、乙关于丙所选电影票的具体座位信息的一段对话：
甲对乙说：
“我不能确定丙的座位信息，你肯定也不能确定。
”
乙对甲说：
“本来我不能确定，但是现在我能确定了。
“哦，那我也能确定了！
根据上面甲、乙的对话，判断丙选择的电影票是
A.4排8号B.3排1号C.2排4号D.1排5号
第二部分（非选择题共76分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分。
请把答案填在相应题中横线上）
9.i是虚数单位，复数＝______________。
10.已知函数是R上的偶函数，那么实数m＝________。
11.已知，则的最小值是_______。
12.已知函数，则＝______________。
13.已知函数则不等式的解集是_______________。
14.已知平面向量，（其中），定义：
。
若，则＝____________；
若，且，则a＝__________，b＝__________（写出一组满足此条件的a和b即可）。
三、解答题（本大题共6小题，共52分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15.（本题满分8分）
已知函数。
（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）求的极大值。
16.（本题满分9分）
已知集合，若A∩B＝A，求a的取值范围。
17.（本题满分9分）
已知：
在数列中，，判断的单调性。
小红同学给出了如下解答思路，请补全解答过程。
第一步，计算：
根据已知条件，计算出：
＝____________，＝___________，＝___________。
第二步，猜想：
数列是___________（填递增、递减）数列。
第三步，证明：
因为，所以___________。
因此可以判断数列是首项＝___________，公差d＝________的等差数列。
故数列的通项公式为____________________。
且由此可以判断出：
数列是___________（填递增、递减）数列，且各项均为_________（填正数、负数或零）。
所以数列是_________（填递增、递减）数列。
18.（本题满分9分）
（Ⅰ）判断函数的奇偶性和单调性，并说明理由；
（Ⅱ）若对任意恒成立，求k的取值范围。
19.（本题满分9分）
某研究中心计划研究S市中学生的视力情况是否存在区域差异和年级差异，由数据库知S市城区和郊区的中学生人数，如表1。
表1S市中学生人数统计
人年
数级
区域
7
8
9
10
11
12
城区
30000
24000
20000
16000
12500
10000
郊区
5000
4400
4000
2300
2200
1800
现用分层抽样的方法从全市中学生中抽取总量百分之一的样本，进行了调查，得到近视的学生人数如表2。
表2S市抽样样本中近视人数统计
75
72
76
74
15
（Ⅰ）请你用独立性检验方法来研究高二（11年级）学生的视力情况是否存在城乡差异，填写2×
2列联表，判断能否在犯错误概率不超过5％的前提下认定“高二学生的近视情况与地区有关”并说明理由。
附：
0.5
0.4
0.25
0.15
0.1
0.05
0.025
0.01
0.005
0.001
0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
独立性检验公式为：
（Ⅱ）请你选择合适的角度，处理表1和表2的数据，列出所需的数据表，画出散点图，并根据散点图判断城区中学生的近视情况与年级是成正相关还是负相关。
20.（本题满分8分）
已知函数，（其中实数）。
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）如果对任意的，总存在，使得，求a的最小值。
【试题答案】
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
题号
1
2
3
4
5
6
答案
C
D
B
A
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
13
14
（1）
14
（2）
（0，5）
或者，等
三、解答题（本大题共6小题，共52分）
（Ⅰ）解：
∵，1分
令，解得，3分
∴所求切线方程为，
即（或者写成）。
4分
（Ⅱ）解：
∵，
令，解得或。
5分
列表如下：
x
（0，2）
＋
－
↗
↘
7分
∵在上单调递增，在（0，2）上单调递减，
在处取得极大值，极大值为。
8分
16.（本题满分9分）
解：
∵，2分
∵，3分
∵，∴解得，5分
∵A∩B＝A，，7分
，8分
解得。
9分
17.（本题满分9分）
解答：
第一步，计算
＝，＝，＝。
3分
数列是递减（填递增、递减）数列。
4分
因为，所以_____3______。
5分
因此可以判断数列是首项＝____1_______，公差d＝____3____的等差数列。
7分
故数列的通项公式为______＝_____。
数列是_____递增______（填递增、递减）数列，且各项均为___正数____（填正数、负数或零）。
9分
所以数列是___递减_____（填递增、递减）数列。
18.（本题满分9分）
（Ⅰ）是R上的奇函数，增函数。
2分
证明如下：
1.证明是R上的奇函数。
∵对任意，有，且，
是R上的奇函数。
3分
2.证明f（x）是R上的增函数。
方法一：
对任意，且，有
＝
∵是R上的增函数，，
∵，。
即是R上的增函数。
5分
方法二：
∵，4分
恒成立，在R上单调递增。
5分
（Ⅱ）∵恒成立，恒成立，
∵是奇函数，恒成立，6分
∵是R上的增函数，恒成立，即恒成立，7分
，8分
9分
（Ⅰ）根据题目提供数据填写二联表如下：
人区
数域
类别
合计
近视
84
不近视
50
63
125
22
147
3分
将二联表中数据带入公式计算得K2的观测值为，4分
∴不能在犯错误概率不超过5％的前提下认定“高二学生的近视情况与地区有关”。
5分
（Ⅱ）根据数据表1和表2，可以研究年级和近视率的关系，数据表如下：
年级
近视率
0.3
0.38
0.45
0.6
0.74
画出散点图如下：
8分
由散点图可以看出城区中学生近视率与年级成正相关。
9分
（Ⅰ）∵，1分
当时，对的单调递减区间为；
2分
当时，令，得。
∵时，时，，
的单调递增区间为，单调递减区间为，3分
综上所述，时，的单调递减区间为；
时，的单调递增区间为，单调递减区间为。
4分
（Ⅱ）用分别表示函数在上的最大值，最小值。
∵对任意的，总存在，使得，等价于对任意的，，又∵，
∴问题等价于。
当且时，由（Ⅰ）知，在上，是减函数，，
∵对任意的，
∴对任意的，不存在，使得。
5分
当时，由（Ⅰ）知：
在上，是增函数，在上，是减函数，
，
∵对，
∴对，不存在，使得，6分
在上，是增函数，
，满足题意。
7分
综上所述，实数a的最小值为e。
8分
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