学年高三数学大一轮复习讲义 31导数的概念及其运算 理 新人教A版doc.docx

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学年高三数学大一轮复习讲义31导数的概念及其运算理新人教A版doc

2019-2020学年高三数学大一轮复习讲义3.1导数的概念及其运算理新人教A版

2014高考会这样考　1.利用导数的几何意义求切线方程；2.考查导数的有关计算，尤其是简单的复合函数求导．

复习备考要这样做　1.理解导数的意义，熟练掌握导数公式和求导法则；2.灵活进行复合函数的求导；3.会求某点处切线的方程或过某点的切线方程．

1．函数y＝f（x）从x1到x2的平均变化率

函数y＝f（x）从x1到x2的平均变化率为，若Δx＝x2－x1，Δy＝f（x2）－f（x1），则平均变化率可表示为.

2．函数y＝f（x）在x＝x0处的导数

（1）定义

称函数y＝f（x）在x＝x0处的瞬时变化率＝为函数y＝f（x）在x＝x0处的导数，记作f′（x0）或y′|x＝x0，即f′（x0）＝＝.

（2）几何意义

函数f（x）在点x0处的导数f′（x0）的几何意义是在曲线y＝f（x）上点（x0，f（x0））处的切线的斜率．相应地，切线方程为y－f（x0）＝f′（x0）（x－x0）．

3．函数f（x）的导函数

称函数f′（x）＝为f（x）的导函数，导函数有时也记作y′.

4．基本初等函数的导数公式

原函数

导函数

f（x）＝c（c为常数）

f′（x）＝__0__

f（x）＝xn（n∈Q*）

f′（x）＝nxn－1

f（x）＝sinx

f′（x）＝cos_x

f（x）＝cosx

f′（x）＝－sin_x

f（x）＝ax（a>0）

f′（x）＝axln_a

f（x）＝ex

f′（x）＝ex

f（x）＝logax

（a>0，且a≠1）

f′（x）＝

f（x）＝lnx

f′（x）＝　　

5.导数的运算法则

（1）[f（x）±g（x）]′＝f′（x）±g′（x）；

（2）[f（x）·g（x）]′＝f′（x）g（x）＋f（x）g′（x）；

（3）′＝（g（x）≠0）．

6．复合函数的导数

复合函数y＝f（g（x））的导数和函数y＝f（u），u＝g（x）的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．

[难点正本　疑点清源]

1．深刻理解“函数在一点处的导数”、“导函数”、“导数”的区别与联系

（1）函数f（x）在点x0处的导数f′（x0）是一个常数；

（2）函数y＝f（x）的导函数，是针对某一区间内任意点x而言的．如果函数y＝f（x）在区间（a，b）内每一点x都可导，是指对于区间（a，b）内的每一个确定的值x0都对应着一个确定的导数f′（x0）．这样就在开区间（a，b）内构成了一个新函数，就是函数f（x）的导函数f′（x）．在不产生混淆的情况下，导函数也简称导数．

2．曲线y＝f（x）“在点P（x0，y0）处的切线”与“过点P（x0，y0）的切线”的区别与联系

（1）曲线y＝f（x）在点P（x0，y0）处的切线是指P为切点，切线斜率为k＝f′（x0）的切线，是唯一的一条切线．

（2）曲线y＝f（x）过点P（x0，y0）的切线，是指切线经过P点．点P可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条．

1．f′（x）是函数f（x）＝x3＋2x＋1的导函数，则f′（－1）的值为________．

答案　3

解析　∵f′（x）＝x2＋2，∴f′（－1）＝（－1）2＋2＝3.

2.如图，函数y＝f（x）的图象在点P处的切线方程是y＝－x＋8，则f（5）

＋f′（5）＝______.

答案　2

解析　如图可知，f（5）＝3，f′（5）＝－1，因此f（5）＋f′（5）＝2.

3．已知f（x）＝x2＋3xf′

（2），则f′

（2）＝________.

答案　－2

解析　由题意得f′（x）＝2x＋3f′

（2），

∴f′

（2）＝2×2＋3f′

（2），∴f′

（2）＝－2.

4．已知点P在曲线f（x）＝x4－x上，曲线在点P处的切线平行于3x－y＝0，则点P的坐标为________．

答案　（1,0）

解析　由题意知，函数f（x）＝x4－x在点P处的切线的斜率等于3，即f′（x0）＝4x－1＝3，∴x0＝1，将其代入f（x）中可得P（1,0）．

5．曲线y＝在点（－1，－1）处的切线方程为____________．

答案　y＝2x＋1

解析　易知点（－1，－1）在曲线上，且y′＝＝，∴切线斜率k＝y′|x＝－1＝＝2.

由点斜式得切线方程为y＋1＝2（x＋1），即y＝2x＋1.

题型一　利用定义求函数的导数

例1　利用导数的定义求函数f（x）＝x3在x＝x0处的导数，并求曲线f（x）＝x3在x＝x0处的切线与曲线f（x）＝x3的交点．

思维启迪：

正确理解导数的定义，理解导数的几何意义是本题的关键．

解　f′（x0）＝＝

＝（x2＋xx0＋x）＝3x.

曲线f（x）＝x3在x＝x0处的切线方程为

y－x＝3x·（x－x0），

即y＝3xx－2x，由

得（x－x0）2（x＋2x0）＝0，解得x＝x0，x＝－2x0.

若x0≠0，则交点坐标为（x0，x），（－2x0，－8x）；若x0＝0，则交点坐标为（0,0）．

探究提高　求函数f（x）的导数步骤：

（1）求函数值的增量Δf＝f（x2）－f（x1）；

（2）计算平均变化率＝；

（3）计算导数f′（x）＝.

利用导数的定义，求：

（1）f（x）＝在x＝1处的导数；

（2）f（x）＝的导数．

解　

（1）∵＝＝

＝＝

＝＝，

∴f′

（1）＝＝＝－.

（2）∵＝

＝

＝

＝，

∴f′（x）＝＝＝－.

题型二　导数的运算

例2　求下列函数的导数：

（1）y＝ex·lnx；

（2）y＝x；

（3）y＝sin2；

（4）y＝ln（2x＋5）．

思维启迪：

求函数的导数，首先要搞清函数的结构；若式子能化简，可先化简再求导．

解　

（1）y′＝（ex·lnx）′＝exlnx＋ex·

＝ex（lnx＋）．

（2）∵y＝x3＋1＋，∴y′＝3x2－.

（3）设y＝u2，u＝sinv，v＝2x＋，

则y′x＝y′u·u′v·v′x＝2u·cosv·2

＝4sin·cos＝2sin.

（4）设y＝lnu，u＝2x＋5，则y′x＝y′u·u′x，

因此y′＝·（2x＋5）′＝.

探究提高　

（1）求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；

（2）有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简，然后进行求导，有时可以避免使用商的求导法则，减少运算量；

（3）复合函数的求导，要正确分析函数的复合层次，通过设中间变量，确定复合过程，然后求导．

求下列各函数的导数：

（1）y＝＋；

（2）y＝；

（3）y＝（1＋sinx）2；

（4）y＝ln.

解　

（1）∵y＝＋＝，

∴y′＝′＝＝.

（2）∵y＝＝cosx－sinx，

∴y′＝－sinx－cosx.

（3）设u＝1＋sinx，则y＝（1＋sinx）2，

由y＝u2与u＝1＋sinx复合而成．

因此y′＝f′（u）·u′＝2u·cosx＝2cosx（1＋sinx）．

（4）y′＝（ln）′＝·（）′

＝·（x2＋1）－·（x2＋1）′＝.

题型三　导数的几何意义

例3　已知曲线y＝x3＋.

（1）求曲线在点P（2,4）处的切线方程；

（2）求曲线过点P（2,4）的切线方程；

（3）求斜率为1的曲线的切线方程．

思维启迪：

求曲线的切线方程，方法是通过切点坐标，求出切线的斜率，再通过点斜式得切线方程．

解　

（1）∵P（2,4）在曲线y＝x3＋上，且y′＝x2，

∴在点P（2,4）处的切线的斜率为y′|x＝2＝4.

∴曲线在点P（2,4）处的切线方程为y－4＝4（x－2），

即4x－y－4＝0.

（2）设曲线y＝x3＋与过点P（2,4）的切线相切于点A，则切线的斜率为y′|x＝x0＝x.

∴切线方程为y－＝x（x－x0），

即y＝x·x－x＋.

∵点P（2,4）在切线上，∴4＝2x－x＋，

即x－3x＋4＝0，∴x＋x－4x＋4＝0，

∴x（x0＋1）－4（x0＋1）（x0－1）＝0，

∴（x0＋1）（x0－2）2＝0，解得x0＝－1或x0＝2，

故所求的切线方程为x－y＋2＝0或4x－y－4＝0.

（3）设切点为（x0，y0），则切线的斜率为x＝1，x0＝±1.

切点为（－1,1）或，

∴切线方程为y－1＝x＋1或y－＝x－1，

即x－y＋2＝0或3x－3y＋2＝0.

探究提高　利用导数研究曲线的切线问题，一定要熟练掌握以下条件：

（1）函数在切点处的导数值也就是切线的斜率．即已知切点坐标可求切线斜率，已知斜率可求切点坐标．

（2）切点既在曲线上，又在切线上．切线有可能和曲线还有其它的公共点．

已知抛物线y＝ax2＋bx＋c通过点P（1,1），且在点Q（2，－1）处与直线y＝x－3相切，求实数a、b、c的值．

解　∵y′＝2ax＋b，

∴抛物线在点Q（2，－1）处的切线斜率为

k＝y′|x＝2＝4a＋b.

∴4a＋b＝1.①

又∵点P（1,1）、Q（2，－1）在抛物线上，∴a＋b＋c＝1，②

4a＋2b＋c＝－1.③

联立①②③解方程组，得

∴实数a、b、c的值分别为3、－11、9.

一审条件挖隐含

典例：

（12分）设函数y＝x2－2x＋2的图象为C1，函数y＝－x2＋ax＋b的图象为C2，已知过C1与C2的一个交点的两切线互相垂直．

（1）求a，b之间的关系；

（2）求ab的最大值．

审题路线图

C1与C2有交点

↓（可设C1与C2的交点为（x0，y0））

过交点的两切线互相垂直

↓（切线垂直隐含着斜率间的关系）

两切线的斜率互为负倒数

↓

利用导数求两切线的斜率：

k1＝2x0－2，k2＝－2x0＋a

↓

（2x0－2）（－2x0＋a）＝－1①

↓（交点（x0，y0）适合解析式）

，即2x－（a＋2）x0＋2－b＝0　②

↓

a＋b＝

↓

ab＝a＝－2＋

当a＝时，ab最大且最大值为.

规范解答

解　

（1）对于C1：

y＝x2－2x＋2，有y′＝2x－2，[1分]

对于C2：

y＝－x2＋ax＋b，有y′＝－2x＋a，[2分]

设C1与C2的一个交点为（x0，y0），

由题意知过交点（x0，y0）的两切线互相垂直．

∴（2x0－2）（－2x0＋a）＝－1，

即4x－2（a＋2）x0＋2a－1＝0①

又点（x0，y0）在C1与C2上，

故有

⇒2x－（a＋2）x0＋2－b＝0②

由①②消去x0，可得a＋b＝.[6分]

（2）由

（1）知：

b＝－a，

∴ab＝a＝－2＋.[9分]

∴当a＝时，（ab）最大值＝.[12分]

温馨提醒　审题包括两方面内容：

题目信息的挖掘、整合以及解题方法的选择；本题切入点是两条曲线有交点P（x0，y0），交点处的切线互相垂直，通过审题路线可以清晰看到审题的思维过程.

方法与技巧

1．在对导数的概念进行理解时，特别要注意f′（x0）与（f（x0））′是不一样的，f′（x0）代表函数f（x）在x＝x0处的导数值，不一定为0；而（f（x0））′是函数值f（x0）的导数，而函数值f（x0）是一个常量，其导数一定为0，即（f（x0））′＝0.

2．对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误．

失误与防范

1．利用导数定义求导数时，要注