学年高三数学大一轮复习讲义 31导数的概念及其运算 理 新人教A版doc.docx
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学年高三数学大一轮复习讲义31导数的概念及其运算理新人教A版doc
2019-2020学年高三数学大一轮复习讲义3.1导数的概念及其运算理新人教A版
2014高考会这样考 1.利用导数的几何意义求切线方程;2.考查导数的有关计算,尤其是简单的复合函数求导.
复习备考要这样做 1.理解导数的意义,熟练掌握导数公式和求导法则;2.灵活进行复合函数的求导;3.会求某点处切线的方程或过某点的切线方程.
1.函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率
函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率为,若Δx=x2-x1,Δy=f(x2)-f(x1),则平均变化率可表示为.
2.函数y=f(x)在x=x0处的导数
(1)定义
称函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率=为函数y=f(x)在x=x0处的导数,记作f′(x0)或y′|x=x0,即f′(x0)==.
(2)几何意义
函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y=f(x)上点(x0,f(x0))处的切线的斜率.相应地,切线方程为y-f(x0)=f′(x0)(x-x0).
3.函数f(x)的导函数
称函数f′(x)=为f(x)的导函数,导函数有时也记作y′.
4.基本初等函数的导数公式
原函数
导函数
f(x)=c(c为常数)
f′(x)=__0__
f(x)=xn(n∈Q*)
f′(x)=nxn-1
f(x)=sinx
f′(x)=cos_x
f(x)=cosx
f′(x)=-sin_x
f(x)=ax(a>0)
f′(x)=axln_a
f(x)=ex
f′(x)=ex
f(x)=logax
(a>0,且a≠1)
f′(x)=
f(x)=lnx
f′(x)=
5.导数的运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′=f′(x)±g′(x);
(2)[f(x)·g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x);
(3)′=(g(x)≠0).
6.复合函数的导数
复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为y′x=y′u·u′x,即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.
[难点正本 疑点清源]
1.深刻理解“函数在一点处的导数”、“导函数”、“导数”的区别与联系
(1)函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)是一个常数;
(2)函数y=f(x)的导函数,是针对某一区间内任意点x而言的.如果函数y=f(x)在区间(a,b)内每一点x都可导,是指对于区间(a,b)内的每一个确定的值x0都对应着一个确定的导数f′(x0).这样就在开区间(a,b)内构成了一个新函数,就是函数f(x)的导函数f′(x).在不产生混淆的情况下,导函数也简称导数.
2.曲线y=f(x)“在点P(x0,y0)处的切线”与“过点P(x0,y0)的切线”的区别与联系
(1)曲线y=f(x)在点P(x0,y0)处的切线是指P为切点,切线斜率为k=f′(x0)的切线,是唯一的一条切线.
(2)曲线y=f(x)过点P(x0,y0)的切线,是指切线经过P点.点P可以是切点,也可以不是切点,而且这样的直线可能有多条.
1.f′(x)是函数f(x)=x3+2x+1的导函数,则f′(-1)的值为________.
答案 3
解析 ∵f′(x)=x2+2,∴f′(-1)=(-1)2+2=3.
2.如图,函数y=f(x)的图象在点P处的切线方程是y=-x+8,则f(5)
+f′(5)=______.
答案 2
解析 如图可知,f(5)=3,f′(5)=-1,因此f(5)+f′(5)=2.
3.已知f(x)=x2+3xf′
(2),则f′
(2)=________.
答案 -2
解析 由题意得f′(x)=2x+3f′
(2),
∴f′
(2)=2×2+3f′
(2),∴f′
(2)=-2.
4.已知点P在曲线f(x)=x4-x上,曲线在点P处的切线平行于3x-y=0,则点P的坐标为________.
答案 (1,0)
解析 由题意知,函数f(x)=x4-x在点P处的切线的斜率等于3,即f′(x0)=4x-1=3,∴x0=1,将其代入f(x)中可得P(1,0).
5.曲线y=在点(-1,-1)处的切线方程为____________.
答案 y=2x+1
解析 易知点(-1,-1)在曲线上,且y′==,∴切线斜率k=y′|x=-1==2.
由点斜式得切线方程为y+1=2(x+1),即y=2x+1.
题型一 利用定义求函数的导数
例1 利用导数的定义求函数f(x)=x3在x=x0处的导数,并求曲线f(x)=x3在x=x0处的切线与曲线f(x)=x3的交点.
思维启迪:
正确理解导数的定义,理解导数的几何意义是本题的关键.
解 f′(x0)==
=(x2+xx0+x)=3x.
曲线f(x)=x3在x=x0处的切线方程为
y-x=3x·(x-x0),
即y=3xx-2x,由
得(x-x0)2(x+2x0)=0,解得x=x0,x=-2x0.
若x0≠0,则交点坐标为(x0,x),(-2x0,-8x);若x0=0,则交点坐标为(0,0).
探究提高 求函数f(x)的导数步骤:
(1)求函数值的增量Δf=f(x2)-f(x1);
(2)计算平均变化率=;
(3)计算导数f′(x)=.
利用导数的定义,求:
(1)f(x)=在x=1处的导数;
(2)f(x)=的导数.
解
(1)∵==
==
==,
∴f′
(1)===-.
(2)∵=
=
=
=,
∴f′(x)===-.
题型二 导数的运算
例2 求下列函数的导数:
(1)y=ex·lnx;
(2)y=x;
(3)y=sin2;
(4)y=ln(2x+5).
思维启迪:
求函数的导数,首先要搞清函数的结构;若式子能化简,可先化简再求导.
解
(1)y′=(ex·lnx)′=exlnx+ex·
=ex(lnx+).
(2)∵y=x3+1+,∴y′=3x2-.
(3)设y=u2,u=sinv,v=2x+,
则y′x=y′u·u′v·v′x=2u·cosv·2
=4sin·cos=2sin.
(4)设y=lnu,u=2x+5,则y′x=y′u·u′x,
因此y′=·(2x+5)′=.
探究提高
(1)求导之前,应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简,然后求导,这样可以减少运算量,提高运算速度,减少差错;
(2)有的函数虽然表面形式为函数的商的形式,但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简,然后进行求导,有时可以避免使用商的求导法则,减少运算量;
(3)复合函数的求导,要正确分析函数的复合层次,通过设中间变量,确定复合过程,然后求导.
求下列各函数的导数:
(1)y=+;
(2)y=;
(3)y=(1+sinx)2;
(4)y=ln.
解
(1)∵y=+=,
∴y′=′==.
(2)∵y==cosx-sinx,
∴y′=-sinx-cosx.
(3)设u=1+sinx,则y=(1+sinx)2,
由y=u2与u=1+sinx复合而成.
因此y′=f′(u)·u′=2u·cosx=2cosx(1+sinx).
(4)y′=(ln)′=·()′
=·(x2+1)-·(x2+1)′=.
题型三 导数的几何意义
例3 已知曲线y=x3+.
(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程;
(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程;
(3)求斜率为1的曲线的切线方程.
思维启迪:
求曲线的切线方程,方法是通过切点坐标,求出切线的斜率,再通过点斜式得切线方程.
解
(1)∵P(2,4)在曲线y=x3+上,且y′=x2,
∴在点P(2,4)处的切线的斜率为y′|x=2=4.
∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y-4=4(x-2),
即4x-y-4=0.
(2)设曲线y=x3+与过点P(2,4)的切线相切于点A,则切线的斜率为y′|x=x0=x.
∴切线方程为y-=x(x-x0),
即y=x·x-x+.
∵点P(2,4)在切线上,∴4=2x-x+,
即x-3x+4=0,∴x+x-4x+4=0,
∴x(x0+1)-4(x0+1)(x0-1)=0,
∴(x0+1)(x0-2)2=0,解得x0=-1或x0=2,
故所求的切线方程为x-y+2=0或4x-y-4=0.
(3)设切点为(x0,y0),则切线的斜率为x=1,x0=±1.
切点为(-1,1)或,
∴切线方程为y-1=x+1或y-=x-1,
即x-y+2=0或3x-3y+2=0.
探究提高 利用导数研究曲线的切线问题,一定要熟练掌握以下条件:
(1)函数在切点处的导数值也就是切线的斜率.即已知切点坐标可求切线斜率,已知斜率可求切点坐标.
(2)切点既在曲线上,又在切线上.切线有可能和曲线还有其它的公共点.
已知抛物线y=ax2+bx+c通过点P(1,1),且在点Q(2,-1)处与直线y=x-3相切,求实数a、b、c的值.
解 ∵y′=2ax+b,
∴抛物线在点Q(2,-1)处的切线斜率为
k=y′|x=2=4a+b.
∴4a+b=1.①
又∵点P(1,1)、Q(2,-1)在抛物线上,∴a+b+c=1,②
4a+2b+c=-1.③
联立①②③解方程组,得
∴实数a、b、c的值分别为3、-11、9.
一审条件挖隐含
典例:
(12分)设函数y=x2-2x+2的图象为C1,函数y=-x2+ax+b的图象为C2,已知过C1与C2的一个交点的两切线互相垂直.
(1)求a,b之间的关系;
(2)求ab的最大值.
审题路线图
C1与C2有交点
↓(可设C1与C2的交点为(x0,y0))
过交点的两切线互相垂直
↓(切线垂直隐含着斜率间的关系)
两切线的斜率互为负倒数
↓
利用导数求两切线的斜率:
k1=2x0-2,k2=-2x0+a
↓
(2x0-2)(-2x0+a)=-1①
↓(交点(x0,y0)适合解析式)
,即2x-(a+2)x0+2-b=0 ②
↓
a+b=
↓
ab=a=-2+
当a=时,ab最大且最大值为.
规范解答
解
(1)对于C1:
y=x2-2x+2,有y′=2x-2,[1分]
对于C2:
y=-x2+ax+b,有y′=-2x+a,[2分]
设C1与C2的一个交点为(x0,y0),
由题意知过交点(x0,y0)的两切线互相垂直.
∴(2x0-2)(-2x0+a)=-1,
即4x-2(a+2)x0+2a-1=0①
又点(x0,y0)在C1与C2上,
故有
⇒2x-(a+2)x0+2-b=0②
由①②消去x0,可得a+b=.[6分]
(2)由
(1)知:
b=-a,
∴ab=a=-2+.[9分]
∴当a=时,(ab)最大值=.[12分]
温馨提醒 审题包括两方面内容:
题目信息的挖掘、整合以及解题方法的选择;本题切入点是两条曲线有交点P(x0,y0),交点处的切线互相垂直,通过审题路线可以清晰看到审题的思维过程.
方法与技巧
1.在对导数的概念进行理解时,特别要注意f′(x0)与(f(x0))′是不一样的,f′(x0)代表函数f(x)在x=x0处的导数值,不一定为0;而(f(x0))′是函数值f(x0)的导数,而函数值f(x0)是一个常量,其导数一定为0,即(f(x0))′=0.
2.对于函数求导,一般要遵循先化简再求导的基本原则.求导时,不但要重视求导法则的应用,而且要特别注意求导法则对求导的制约作用,在实施化简时,首先必须注意变换的等价性,避免不必要的运算失误.
失误与防范
1.利用导数定义求导数时,要注