高数下册总结(同济第六版).doc

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高数同济版下

高数(下)小结

一、微分方程复习要点

解微分方程时,先要判断一下方程是属于什么类型,然后按所属类型的相应解法

求出其通解.

一阶微分方程的解法小结:

方程

编号

类型

一般形式

解法

备注

1型

可分离变量方程

分离变量法

有些方程作代换后可化为1型

2型

齐次方程

令为1型求解

有时方程写成令化为1型求解

3型

线性方程

1.常数变易法

2.凑导数法:

同乘

有时方程不是关于线性方程,而是关于线性方程

4型

贝努里方程

令或

化为3型求解

有时方程不是关于的贝努里方程,而是关于

贝努里方程

5型

全微分方程

其中

为原函数

有时乘以一个积分因子可化为5型

二阶微分方程的解法小结:

类型

特征

求解方法

备注

次积分

求解见上册

令,降为一阶方程

降价后是关于p,的一阶方程

令,

降为一阶方程

降价后是关于,y的一阶方程

常系数

通解

见下表

齐次方程的通解为:

判别式

两特征根情况

通解

相异实根,

二重实根

共轭复根

非齐次方程的特解的形式为:

的形式

特征根情况

的形式

不是特征根

是重特征根

不是特征根

是特征根

主要:

一阶1、可分离变量方程、线性微分方程的求解;

2、二阶常系数齐次线性微分方程的求解;

3、二阶常系数非齐次线性微分方程的特解

二、多元函数微分学复习要点

一、偏导数的求法

1、显函数的偏导数的求法

在求时,应将看作常量,对求导,在求时,应将看作常量,对求导,所运用的是一元函数的求导法则与求导公式.

2、复合函数的偏导数的求法

设,,,则

几种特殊情况:

1),,,则

2),,则,

3),则,

3、隐函数求偏导数的求法

1)一个方程的情况

设是由方程唯一确定的隐函数,则

或者视,由方程两边同时对求导解出.

2)方程组的情况

由方程组两边同时对求导解出即可.

二、全微分的求法

方法1:

利用公式

方法2:

直接两边同时求微分,解出即可.其中要注意应用微分形式的不变性:

三、空间曲线的切线及空间曲面的法平面的求法

1)设空间曲线Г的参数方程为,则当时,在曲线上对应点处的切线方向向量为,切线方程为

法平面方程为

2)若曲面的方程为,则在点处的法向量,切平面方程为

法线方程为

若曲面的方程为,则在点处的法向量,切平面方程为

法线方程为

四、多元函数极值(最值)的求法

1无条件极值的求法

设函数在点的某邻域内具有二阶连续偏导数,由,,解出驻点,记,,.

1)若,则在点处取得极值,且当时有极大值,当时有极小值.

2)若,则在点处无极值.

3)若,不能判定在点处是否取得极值.

2条件极值的求法

函数在满足条件下极值的方法如下:

1)化为无条件极值:

若能从条件解出代入中,则使函数成为一元函数无条件的极值问题.

2)拉格朗日乘数法

作辅助函数,其中为参数,解方程组

求出驻点坐标,则驻点可能是条件极值点.

3最大值与最小值的求法

若多元函数在闭区域上连续,求出函数在区域内部的驻点,计算出在这些点处的函数值,并与区域的边界上的最大(最小)值比较,最大(最小)者,就是最大(最小)值.

主要:

1、偏导数的求法与全微分的求法;

2、空间曲线的切线及空间曲面的法平面的求法

3、最大值与最小值的求法

三、多元函数积分学复习要点

七种积分的概念、计算方法及应用如下表所示:

积分类型

积分记号

定义及几何意义

积分区域

积分元素

被积函数

一重积分

曲边梯形面积

区间

=

一元函数

二重积分

曲顶柱体体积

平面区域D

二元函数

三重积分

空间区域

三元函数

第一类曲线积分

平面或空间曲线L

ds=

=

二元或三元函数

第二类曲线积分

平面或空间曲线L

二元或三元函数

第一类

曲面积分

空间曲面

三元函数

第二类曲面积分

空间曲面

三元函数

计算方法

应用

转动慣量

重心

其它(面积.体积.功等)

见上册

表后*所示

1)or

2)

1体积

2)曲面面积

A=

1)2)

3)柱面坐标法4)球面坐标法

=

体积V=

1)

2)

3)

4)化为第二类曲线积分

=

=

曲线所围面积

A=

2)

3)

4)5)公式计算法

6)折线计算法(积分与路径无关时);7)连续变形原理计算法;8)公式计算法

1)功W=

求二元函数的“原函数”

=

=

面积S=

1)直接代入法

2)Gaus公式计算法;3)投影转移法

*定积分的几何应用

定积分应用的常用公式:

(1)面积(型区域的面积)

(型区域的面积)

(2)体积

(横截面面积已知的立体体积)

(所围图形绕轴旋转所得的立体体积)

(所围图形绕轴旋转的立体体积)

(所围图形绕轴旋转的立体体积)

(3)弧长

计算时注意:

(1)正确选择恰当的公式;

(2)正确的给出积分上下限;(3)注意对称性使问题简化;(4)注意选择恰当的积分变量以使问题简化.

计算多元函数的积分时要注意利用对称性简化积分的计算:

1)、对二、三重及第一类的线面积分,若积分区域关于变量对称,则当被积函数关于为奇函数时,该积分为0,当被积函数关于变量为偶函数时,则该积分为相应一半区域积分的二倍.

2)、对第二类的线面积分,关于积分变量的对称性理论与上相同,关于非积分变量

的对称性理论与上相反.

3)、若积分区域的地位平等(即将表示区域的方程互换不变),则将被积函

数中互换积分不变.此称之为轮换对称性.

主要

1、交换二次积分的积分次序;

2、化三重积分为球面坐标或柱面坐标下的三次积分;

3、公式计算法;

4、Gaus公式计算法;

5、两曲面所围体积与旋转体的体积计算.

6.平面图形面积的计算。

所以:

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