高数下册总结(同济第六版).doc

高数下册总结(同济第六版).doc

《高数下册总结(同济第六版).doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高数下册总结(同济第六版).doc（10页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

高数同济版下

高数（下）小结

一、微分方程复习要点

解微分方程时，先要判断一下方程是属于什么类型，然后按所属类型的相应解法

求出其通解.

一阶微分方程的解法小结：

方程

编号

类型

一般形式

解法

备注

1型

可分离变量方程

或

分离变量法

有些方程作代换后可化为1型

2型

齐次方程

或

令为1型求解

有时方程写成令化为1型求解

3型

线性方程

或

1．常数变易法

2．凑导数法：

同乘

有时方程不是关于线性方程，而是关于线性方程

4型

贝努里方程

或

令或

化为3型求解

有时方程不是关于的贝努里方程，而是关于

贝努里方程

5型

全微分方程

其中

为原函数

有时乘以一个积分因子可化为5型

二阶微分方程的解法小结：

类型

特征

求解方法

备注

缺

次积分

求解见上册

缺

令，降为一阶方程

降价后是关于p，的一阶方程

缺

令，

降为一阶方程

降价后是关于,y的一阶方程

常系数

通解

见下表

齐次方程的通解为：

判别式

两特征根情况

通解

相异实根，

二重实根

共轭复根

非齐次方程的特解的形式为：

的形式

特征根情况

的形式

不是特征根

是重特征根

不是特征根

是特征根

主要:

一阶1、可分离变量方程、线性微分方程的求解；

2、二阶常系数齐次线性微分方程的求解；

3、二阶常系数非齐次线性微分方程的特解

二、多元函数微分学复习要点

一、偏导数的求法

1、显函数的偏导数的求法

在求时，应将看作常量，对求导，在求时，应将看作常量，对求导，所运用的是一元函数的求导法则与求导公式.

2、复合函数的偏导数的求法

设，，，则

，

几种特殊情况：

1），，，则

2），，则，

3），则，

3、隐函数求偏导数的求法

1）一个方程的情况

设是由方程唯一确定的隐函数，则

，

或者视，由方程两边同时对求导解出.

2）方程组的情况

由方程组两边同时对求导解出即可.

二、全微分的求法

方法1：

利用公式

方法2：

直接两边同时求微分，解出即可.其中要注意应用微分形式的不变性：

三、空间曲线的切线及空间曲面的法平面的求法

1）设空间曲线Г的参数方程为，则当时，在曲线上对应点处的切线方向向量为，切线方程为

法平面方程为

2）若曲面的方程为，则在点处的法向量，切平面方程为

法线方程为

若曲面的方程为，则在点处的法向量，切平面方程为

法线方程为

四、多元函数极值（最值）的求法

1无条件极值的求法

设函数在点的某邻域内具有二阶连续偏导数，由，，解出驻点，记，，.

1）若，则在点处取得极值，且当时有极大值，当时有极小值.

2）若，则在点处无极值.

3）若，不能判定在点处是否取得极值.

2条件极值的求法

函数在满足条件下极值的方法如下：

1）化为无条件极值：

若能从条件解出代入中，则使函数成为一元函数无条件的极值问题.

2）拉格朗日乘数法

作辅助函数，其中为参数，解方程组

求出驻点坐标，则驻点可能是条件极值点.

3最大值与最小值的求法

若多元函数在闭区域上连续，求出函数在区域内部的驻点，计算出在这些点处的函数值，并与区域的边界上的最大（最小）值比较，最大（最小）者，就是最大（最小）值.

主要:

1、偏导数的求法与全微分的求法；

2、空间曲线的切线及空间曲面的法平面的求法

3、最大值与最小值的求法

三、多元函数积分学复习要点

七种积分的概念、计算方法及应用如下表所示：

积分类型

积分记号

定义及几何意义

积分区域

积分元素

被积函数

一重积分

曲边梯形面积

区间

=

一元函数

二重积分

曲顶柱体体积

平面区域D

二元函数

三重积分

空间区域

三元函数

第一类曲线积分

平面或空间曲线L

ds=

=

二元或三元函数

第二类曲线积分

平面或空间曲线L

二元或三元函数

第一类

曲面积分

空间曲面

三元函数

第二类曲面积分

空间曲面

三元函数

计算方法

应用

转动慣量

重心

其它（面积.体积.功等）

见上册

表后*所示

1）or

2）

1体积

2）曲面面积

A=

1）2）

3）柱面坐标法4）球面坐标法

=

体积V=

1）

2）

3）

4）化为第二类曲线积分

=

=

曲线所围面积

A=

2）

3）

4）5）公式计算法

6）折线计算法（积分与路径无关时）；7）连续变形原理计算法；8）公式计算法

1）功W=

求二元函数的“原函数”

=

=

面积S=

1）直接代入法

2）Gaus公式计算法；3）投影转移法

*定积分的几何应用

定积分应用的常用公式：

（1）面积（型区域的面积）

（型区域的面积）

（2）体积

（横截面面积已知的立体体积）

（所围图形绕轴旋转所得的立体体积）

（所围图形绕轴旋转的立体体积）

（所围图形绕轴旋转的立体体积）

（3）弧长

计算时注意：

（1）正确选择恰当的公式；

（2）正确的给出积分上下限；（3）注意对称性使问题简化；（4）注意选择恰当的积分变量以使问题简化．

计算多元函数的积分时要注意利用对称性简化积分的计算：

1）、对二、三重及第一类的线面积分，若积分区域关于变量对称，则当被积函数关于为奇函数时，该积分为0，当被积函数关于变量为偶函数时，则该积分为相应一半区域积分的二倍.

2）、对第二类的线面积分，关于积分变量的对称性理论与上相同，关于非积分变量

的对称性理论与上相反.

3）、若积分区域的地位平等（即将表示区域的方程互换不变），则将被积函

数中互换积分不变.此称之为轮换对称性.

主要

1、交换二次积分的积分次序；

2、化三重积分为球面坐标或柱面坐标下的三次积分；

3、公式计算法；

4、Gaus公式计算法；

5、两曲面所围体积与旋转体的体积计算．

6.平面图形面积的计算。

所以：

-10-