高考一轮复习函数与方程Word文件下载.docx
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图象
满足条件
x1<x2<m
m<x1<x2
x1<m<x2
f(m)<0
m<x1<x2<n
m<x1<
n<x2<p
只有一根在
(m,n)之间
或f(m)·
f(n)<0
3.二分法求方程的近似解
(1)二分法的定义
对于在区间[a,b]上连续不断且f(a)·
f(b)<0的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
(2)给定精确度ε,用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下:
①确定区间[a,b],验证f(a)·
f(b)<0,给定精确度ε;
②求区间(a,b)的中点c;
③计算f(c);
(ⅰ)若f(c)=0,则c就是函数的零点;
(ⅱ)若f(a)·
f(c)<0,则令b=c(此时零点x0∈(a,c));
(ⅲ)若f(c)·
f(b)<0,则令a=c(此时零点x0∈(c,b)).
④判断是否达到精确度ε.即:
若|a-b|<ε,则得到零点近似值a(或b);
否则重复②③④.
一个口诀
用二分法求函数零点近似值的口诀为:
定区间,找中点,中值计算两边看.同号去,异号算,零点落在异号间.周而复始怎么办?
精确度上来判断.
两个防范
(1)函数y=f(x)的零点即方程f(x)=0的实根,是数不是点.
(2)若函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图象是连续不间断的,并且在区间端点的函数值符号相反,即f(a)·
f(b)<0,满足这些条件一定有零点,不满足这些条件也不能说就没有零点.如图,
f(a)·
f(b)>0,f(x)在区间(a,b)上照样存在零点,而且有两个.所以说零点存在性定理的条件是充分条件,但并不必要.
三种方法
函数零点个数的判断方法:
(1)直接求零点:
令f(x)=0,如果能求出解,则有几个解就有几个零点;
(2)零点存在性定理:
利用定理不仅要求函数在区间[a,b]上是连续不断的曲线,且f(a)·
f(b)<0,还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点;
(3)利用图象交点的个数:
画出两个函数的图象,看其交点的个数,其中交点的横坐标有几个不同的值,就有几个不同的零点.
双基自测
1.(2011·
福建)若关于x的方程x2+mx+1=0有两个不相等的实数根,则实数m的取值范围是( ).
A.(-1,1)
B.(-2,2)
C.(-∞,-2)∪(2,+∞)
D.(-∞,-1)∪(1,+∞)
解析 由一元二次方程有两个不相等的实数根,可得:
判别式Δ>0,即m2-4>0,解得m<-2或m>2,故选C.
答案 C
2.若函数y=f(x)在R上递增,则函数y=f(x)的零点( ).
A.至少有一个B.至多有一个
C.有且只有一个D.可能有无数个
答案 B
3.如图所示的函数图象与x轴均有交点,其中不能用二分法求图中交点横坐标的是( ).
A.①②B.①③C.①④D.③④
4.(2011·
新课标全国)在下列区间中,函数f(x)=ex+4x-3的零点所在的区间为
( ).
A.B.
C.D.
解析 因为f=e+4×
-3=e-2<0,f=e+4×
-3=e-1>0,所以f(x)=ex+4x-3的零点所在的区间为.
5.(人教A版教材习题改编)已知函数f(x)=x2+x+a在区间(0,1)上有零点,则实数a的取值范围是________.
解析 函数f(x)=x2+x+a在(0,1)上递增.由已知条件f(0)f
(1)<
0,即a(a+2)<
0,解得-2<
a<
0.
答案 (-2,0)
考向一 函数零点与零点个数的判断
【例1】►(2010·
福建)函数f(x)=的零点个数为( ).
A.3B.2C.7D.0
[审题视点]函数零点的个数⇔f(x)=0解的个数⇔函数图象与x轴交点的个数.
解析 法一 由f(x)=0得
或解得x=-3,或x=e2.
因此函数f(x)共有两个零点.
法二 函数f(x)的图象如图所示
可观察函数f(x)共有两个零点.
对函数零点个数的判断可从以下几个方面入手考虑:
(1)结合函数图象;
(2)根据零点存在定理求某些点的函数值;
(3)利用函数的单调性判断函数的零点是否唯一等.
【训练1】函数f(x)=log3x+x-3的零点一定在区间( ).
A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)
解析 法一 函数f(x)=log3x+x-3的定义域为(0,+∞),并且在(0,+∞)上递增连续,又f
(2)=log32-1<0,f(3)=1>0,∴函数f(x)=log3x+x-3有唯一的零点且零点在区间(2,3)内.
法二 方程log3x+x-3=0可化为log3x=3-x,在同一坐标系中作出y=log3x和y=3-x的图象如图所示,可观察判断出两图象交点横坐标在区间(2,3)内.
考向二 有关二次函数的零点问题
【例2】►是否存在这样的实数a,使函数f(x)=x2+(3a-2)x+a-1在区间[-1,3]上与x轴恒有一个零点,且只有一个零点.若存在,求出a的取值范围,若不存在,说明理由.
[审题视点]可用零点定理去判断,注意对函数端点值的检验.
解 ∵Δ=(3a-2)2-4(a-1)=9a2-16a+8=92+>0
∴若实数a满足条件,则只需f(-1)·
f(3)≤0即可.
f(-1)·
f(3)=(1-3a+2+a-1)·
(9+9a-6+a-1)
=4(1-a)(5a+1)≤0.
所以a≤-或a≥1.
检验:
(1)当f(-1)=0时,a=1.所以f(x)=x2+x.
令f(x)=0,即x2+x=0,得x=0或x=-1.
方程在[-1,3]上有两根,不合题意,故a≠1.
(2)当f(3)=0时,a=-,此时f(x)=x2-x-.
令f(x)=0,即x2-x-=0,
解之得x=-或x=3.
方程在[-1,3]上有两根,不合题意,故a≠-.
综上所述,a<-或a>1.
解决二次函数的零点问题:
(1)可利用一元二次方程的求根公式;
(2)可用一元二次方程的判别式及根与系数之间的关系;
(3)利用二次函数的图象列不等式组.
【训练2】关于x的一元二次方程x2-2ax+a+2=0,当a为何实数时
(1)有两不同正根;
(2)不同两根在(1,3)之间;
(3)有一根大于2,另一根小于2;
(4)在(1,3)内有且只有一解
解 设f(x)=x2-2ax+a+2,
Δ=4a2-4(a+2)=4(a2-a-2)=4(a-2)(a+1).
(1)由已知条件解得a>
2.
(2)由已知条件解得2<
.
(3)由已知条件f
(2)<
0,解得a>
(4)由已知条件f
(1)f(3)<
0解得<
3.
当f(3)=0,a=时,方程的两解为x=,x=3,
当f
(1)=0,即a=3时,方程的两解为x=1,x=5,
可知≤a<
3.当⇒a=2.
即a=2时f(x)=x2-4x+4=(x-2)2方程的解x1=x2=2
∴a=2,综上有a=2或≤a<
考向三 函数零点性质的应用
【例3】►已知函数f(x)=-x2+2ex+t-1,g(x)=x+(x>
0,其中e表示自然对数的底数).
(1)若g(x)=m有零点,求m的取值范围;
(2)确定t的取值范围,使得g(x)-f(x)=0有两个相异实根.
分析:
(1)可结合图象也可解方程求之.
(2)利用图象求解.
[审题视点]画出函数图象,利用数形结合法求函数范围.
解
(1)法一 ∵g(x)=x+≥2=2e,
等号成立的条件是x=e.
故g(x)的值域是[2e,+∞),
因而只需m≥2e,则g(x)=m就有零点.
法二 作出g(x)=x+的图象如图:
可知若使g(x)=m有零点,则只需m≥2e.
法三 解方程由g(x)=m,
得x2-mx+e2=0.
此方程有大于零的根,故
等价于,故m≥2e.
(2)若g(x)-f(x)=0有两个相异的实根,即g(x)=f(x)中函数g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点,作出g(x)=x+(x>
0)的图象.
∵f(x)=-x2+2ex+t-1
=-(x-e)2+t-1+e2.
其对称轴为x=e,开口向下,最大值为t-1+e2.
故当t-1+e2>
2e,即t>
-e2+2e+1时,g(x)与f(x)有两个交点,即g(x)-f(x)=0有两个相异实根.
∴t的取值范围是(-e2+2e+1,+∞).
此类利用零点求参数的范围的问题,可利用方程,但有时不易甚至不可能解出,而转化为构造两函数图象求解,使得问题简单明了,这也体现了,当不是求零点,而是利用零点的个数,或有零点时求参数的范围,一般采用数形结合法求解.
【训练3】已知函数f(x)=ax3-2ax+3a-4在区间(-1,1)上有一个零点.
(1)求实数a的取值范围;
(2)若a=,用二分法求方程f(x)=0在区间(-1,1)上的根.
解
(1)若a=0,则f(x)=-4与题意不符,∴a≠0,
∴f(-1)·
f
(1)=8(a-1)(a-2)<0,∴1<a<2.
(2)若a=,则f(x)=x3-x+,
∴f(-1)>0,f
(1)<0,f(0)=>0,
∴零点在(0,1)上,又f=0,
∴f(x)=0的根为.
难点突破6——如何利用图象求解函数零点问题
数形结合是重要的思想方法之一,也是高考考查的热点问题,利用函数图象判断方程是否有解,有多少个解是常见常考的题型,数形结合法是求函数零点个数的有效方法,其基本思路是把函数分成两个函数的差,分析的基本思想是分析后的函数图象比较容易做出,则函数零点个数就是两函数图象交点的个数.
一、判定函数零点的个数
【示例】►(2011·
陕西)函数f(x)=-cosx在[0,+∞)内( ).
A.没有零点B.有且仅有一个零点
C.有且仅有两个零点D.有无穷多个零点
二、判断零点的范围
山东)已知函数f(x)=logax+x-b(a>0,且a≠1).当2<a<3<b<4时,函数f(x)的零点x0∈(n,n+1),n∈N*,则n=________.