概率论与数理统计教案Word文档格式.docx

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（3）事件间的关系与事件的运算设试验E的样本空间为S，而A，B，Ak（k=1，2，）是S的子集：

若，则称事件B包含事件A，这指的是事件A发生必导致事件B发生。

若且，即A=B，则称事件A与事件B相等。

事件称为事件A与事件B的和事件。

当且仅当A，B中至少有一个发生时，事件发生。

事件称为事件A与事件B的积事件。

当且仅当A，B同时发生时，事件发生。

也记作AB。

事件称为事件A与事件B的差事件。

当且仅当A发生，B不发生时事件A-B发生。

若，则称事件A与B是互不相容的，或互斥的。

基本事件是两两互不相容的。

若，则称事件A与事件B互为逆事件。

又称事件A与事件B互为对立事件。

A的对立事件记为。

设A，B，C为事件，则有：

交换律：

结合律：

分配率：

摩根率：

1.3频率与概率

（1）频率定义：

在相同的条件下，进行了n次试验，在这n次试验中，事件A发生的次数nA称为事件A发生的频数。

比值nA/n称为事件A发生的频率，并记为fn（A）。

频率具有如下基本性质：

0fn（A）1fn（S）=1若A1，A2，Ak是两两互不相容的事件，则fn（A1A2Ak）=fn（A1）+fn（A2）+fn（Ak）。

（2）概率定义：

设E是随机试验，S是它的样本空间。

对于E的每一事件A赋予一个实数，记为P（A），称为事件A的概率，如果集合函数P（）满足下列条件：

非负性：

对于每一个事件A，有P（A）0。

规范性：

对于必然事件S，有P（S）=1。

可列可加性：

设A1，A2，是两两互不相容的事件，即对于AiAj=，ij，i，j=1，2，有P（A1A2）=P（A1）+P（A2）+概率的性质：

性质1：

性质2（有限可加性）：

若A1，A2，An是两两互不相容的事件，则有P（A1A2An）=P（A1）+P（A2）+P（An）。

性质3：

设A，B是两个事件，若，则有P（B-A）=P（B）-P（A）；

P（B）P（A）。

性质4：

对于任一事件A，P（A）1。

性质5（逆事件的概率）：

对于任一事件A，有。

性质6（加法公式）：

对于任意两个事件A，B有。

1.4等可能概型（古典概型）具有以下两个特点得试验是大量存在的，这种试验称为等可能概型，也成为古典概型：

试验的样本空间只包含有限个元素。

试验中每个基本事件发生的可能性相同。

若事件A包含k个基本事件，即A=ei1ei2eik，其中i1，i2，ik是1，2，n中某k个不同的数，则等可能概型中事件A的概率计算公式为：

超几何分布的概率公式为：

实际推断原理：

概率很小的事件在一次实验中实际上几乎是不发生的。

教学后记本次课的主要内容与目的在于让学生了解和掌握概率论的基本概念，学生对概念的掌握尚可，但对其在实例中的应用尚需多加练习。

上课时间第二周上课节次3节课型理论课题条件概率与独立性教学目的使学生了解条件概率与独立性的基本概念及其应用教学方法讲授重点、难点全概率公式与贝叶斯公式时间分配教学内容板书或课件版面设计1.5条件概率

（1）条件概率定义：

设A，B是两个事件，且P（A）0，称为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率。

条件概率P（|A）满足：

对于每一事件B，有P（B|A）0。

对于必然事件S，有P（S|A）=1。

设B1，B2，是两两互不相容的事件，则有概率的性质都适用于条件概率。

（2）乘法定理乘法定理：

设P（A）0，则有P（AB）=P（B|A）P（A）（乘法公式）一般地，设A1，A2，An为n个事件，n2，且P（A1A2An）0，则有P（A1A2An）=P（An|A1A2An-1）P（An-1|A1A2An-2）P（A2|A1）P（A1）（3）全概率公式和贝叶斯公式定义：

设S为试验E的样本空间，B1，B2，Bn为E的一组事件，若BiBj=，ij，i，j=1,2，n则称B1，B2，Bn是样本空间S的一个划分。

若B1，B2，Bn是样本空间S的一个划分，那么对每次试验，事件B1，B2，Bn中必有一个且仅有一个发生。

定理：

设试验E的样本空间为S，A为E的事件，B1，B2，Bn为S的一个划分，且P（Bi）0（i=1，2，n），则P（A）=P（A|B1）P（B1）+P（A|B2）P（B2）+P（A|Bn）P（Bn）（全概率公式）定理：

设试验E的样本空间为S，A为E的事件，B1，B2，Bn为S的一个划分，且P（A）0，P（Bi）0（i=1，2，n），则（贝叶斯（Bayes）公式）1.6独立性定义：

设A，B是两事件，若满足等式P（AB）=P（A）P（B），则称事件A，B相互独立，简称A，B独立。

设A，B是两事件，且P（A）0。

若A，B相互独立，则P（B|A）=P（B），反之亦然。

若事件A与B相互独立，则下列各式也相互独立：

A与，与B，与。

定义：

设A，B，C是三个事件，若满足等式P（AB）=P（A）P（B），P（BC）=P（B）P（C），P（AC）=P（A）P（C），P（ABC）=P（A）P（B）P（C），则称事件A，B，C相互独立。

一般地，设A1，A2，An是n（n2）个事件，若对于其中任意2个，任意3个，任意n个事件的积事件的概率，都等于各事件概率之积，则称事件A1，A2，An相互独立。

推论：

若事件A1，A2，An（n2）相互独立，则其中任意k（2kn）个事件也是相互独立的。

若n个事件A1，A2，An（n2）相互独立，则将A1，A2，An中任意多个事件换成它们各自的对立事件，所得的n个事件仍相互独立。

教学后记本次课的主要内容与目的在于让学生了解和掌握条件概率与独立性的相关内容，学生对概念的掌握尚可，但对其在实例中的应用尚需多加练习。

上课时间第三周上课节次3节课型理论课题概率论基本概念习题解析教学目的使学生巩固概率论基本概念所学内容教学方法讲授重点、难点古典概型、全概率公式与贝叶斯公式的应用时间分配教学内容板书或课件版面设计1.一俱乐部有5名一年级学生，2名二年级学生，3名三年级学生，2名四年级学生。

（1）在其中任选4名学生，求一、二、三、四年级的学生各一名的概率。

（2）在其中任选5名学生，求一、二、三、四年级的学生均包含在内的概率。

解：

（1）共有5+2+3+2=12名学生，在其中任选4名共有=495种选法，其中每年级各选1名的选法有=60种选法，因此，所求概率为p=60/495=4/33。

（2）在12名学生中任选5名的选法共有=792种，在每个年级中有一个年级取2名，而其它3个年级各取1名的取法共有+=240种，因此所求概率为P=240/792=12/33。

2.某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号。

求他拨号不超过三次而接通所需电话的概率。

若已知最后一个数字是奇数，那么此概率是多少？

以Ai表示事件“第i次拨号拨通电话”，i=1,2,3，以A表示事件“拨号不超过3次拨通电话”，则有。

因为两两互不相容，且所以。

当已知最后一位数是奇数时，所求概率为P=1/5+1/5+1/5=3/5。

3.有两种花籽，发芽率分别为0.8,0.9，从中各取一颗，设各花籽是否发芽相互独立。

求：

（1）这两颗花籽都能发芽的概率。

（2）至少有一颗能发芽的概率。

（3）恰有一颗能发芽的概率。

以A，B分别表示事件第一颗、第二颗花籽能发芽，既有P（A）=0.8，P（B）=0.9。

（1）由A，B相互独立，得两颗花籽都能发芽的概率为P（AB）=P（A）P（B）=0.8*0.9=0.72。

（2）至少有一颗花籽能发芽的概率为事件AB的概率P（AB）=P（A）+P（B）-P（AB）=0.8+0.9-0.72=0.98（3）恰有一颗花籽发芽的概率为事件的概率P（）=P（A）+P（B）-2P（AB）=0.26。

教学后记本次课的主要内容与目的在于让学生巩固所学概率论基本概念的相关内容，通过本次课的学习，学生对概率论基本概念的相关应用技巧有所提升。

上课时间第四周上课节次3节课型理论课题离散型变量及其分布律、随机变量及其分布函数教学目的使学生初步了解离散型随机变量的分布律及随机变量的分布函数教学方法讲授重点、难点随机变量及其分布函数时间分配教学内容板书或课件版面设计2.1随机变量定义：

设随机试验的样本空间为S=e。

X=X（e）是定义在样本空间S上的实值单值函数。

称X=X（e）为随机变量。

2.2离散型随机变量及其分布律有些随机变量，它全部有可能渠道的值是有限个或可列无限多个，这种随机变量成为离散型随机变量。

设离散型随机变量X所有可能去的值为xk（k=1,2，），X取各个可能值的概率，即事件X=xk的概率为PX=xk=pk，k=1,2，。

（离散型随机变量X的分布律）由概率的定义，pk满足如下两个条件：

pk0，k=1,2，

（1）（0-1）分布设随机变量X只可能取0与1两个值，它的分布律是PX=k=pk（1-p）1-k，k=0,1（0p1），则称X服从以p为参数的（0-1）分布或两点分布。

（2）伯努利试验、二项分布设试验E只有两个可能结果：

A及，则称E为伯努利（Bernoulli）试验。

将E独立重复地进行n次，则称这一串重复的独立试验为n重伯努利试验。

在n次试验中A发生k次的概率为，记q=1-p，即有，k=0,1,2，n。

注意到刚好是二项式（p+q）n的展开式中出现pk的那一项，我们称随机变量X服从参数为n，p的二项分布，并记为Xb（n,p）。

特别，当n=1时二项分布化为，k=0，1（0-1）分布）。

（3）泊松分布设随机变量X所有可能取的值为0,1,2，而取各个值的概率为，k=0,1,2，其中0是常数。

则称X服从参数为的泊松分布，记为X（）。

泊松定理：

设0是一个常数，n是任意正整数，设npn=，则对于任一固定的非负整数k，有：

。

上述定理表明，当n很大，p很小（）时有以下近似式（其中=np）。

2.3随机变量的分布函数定义：

设X是一个随机变量，x是任意实数，函数F（x）=PXx，-x称为X的分布函数。

对于任意实数x1，x2（x1x2），有Px1Xx2=PXx2-PXx1=F（x2）-F（x1）