概率论与数理统计教案Word文档格式.docx

1、（3）事件间的关系与事件的运算 设试验 E 的样本空间为 S，而 A，B，Ak（k=1，2，）是 S的子集：若，则称事件 B 包含事件 A，这指的是事件 A发生必导致事件 B 发生。若且，即 A=B，则称事件 A 与事件 B 相等。事件称为事件 A 与事件 B 的和事件。当且仅当 A，B 中至少有一个发生时，事件发生。事件称为事件 A 与事件 B 的积事件。当且仅当 A，B 同时发生时，事件发生。也记作 AB。事件称为事件 A 与事件 B 的差事件。当且仅当 A 发生，B 不发生时事件 A-B 发生。若，则称事件 A 与 B 是互不相容的，或互斥的。基本事件是两两互不相容的。若，则称事件 A

2、与事件 B 互为逆事件。又称事件 A 与事件 B 互为对立事件。A 的对立事件记为。设 A，B，C 为事件，则有：交换律：结合律：分配率：摩根率：1.3频率与概率（1）频率 定义：在相同的条件下，进行了 n次试验，在这 n次试验中，事件 A 发生的次数 nA 称为事件 A 发生的频数。比值nA/n称为事件 A 发生的频率，并记为 fn（A）。频率具有如下基本性质：0fn（A）1 fn（S）=1 若 A1，A2，Ak是两两互不相容的事件，则fn（A1A2Ak）=fn（A1）+fn（A2）+fn（Ak）。（2）概率 定义：设 E 是随机试验，S是它的样本空间。对于 E 的每一事件 A 赋予一个实数

3、，记为 P（A），称为事件 A 的概率，如果集合函数 P（）满足下列条件：非负性：对于每一个事件 A，有 P（A）0。规范性：对于必然事件 S，有 P（S）=1。可列可加性：设 A1，A2，是两两互不相容的事件，即对于 AiAj=，ij，i，j=1，2，有P（A1A2）=P（A1）+P（A2）+概率的性质：性质 1：性质 2（有限可加性）：若 A1，A2，An是两两互不相容的事件，则有P（A1A2An）=P（A1）+P（A2）+P（An）。性质 3：设 A，B 是两个事件，若，则有 P（B-A）=P（B）-P（A）；P（B）P（A）。性质 4：对于任一事件 A，P（A）1。性质 5（逆事件的概

4、率）：对于任一事件 A，有。性质 6（加法公式）：对于任意两个事件 A，B 有。1.4等可能概型（古典概型）具有以下两个特点得试验是大量存在的，这种试验称为等可能概型，也成为古典概型：试验的样本空间只包含有限个元素。试验中每个基本事件发生的可能性相同。若事件 A 包含 k个基本事件，即A=ei1ei2eik，其中 i1，i2，ik是 1，2，n中某 k个不同的数，则等可能概型中事件 A 的概率计算公式为：超几何分布的概率公式为：实际推断原理：概率很小的事件在一次实验中实际上几乎是不发生的。教学后记 本次课的主要内容与目的在于让学生了解和掌握概率论的基本概念，学生对概念的掌握尚可，但对其在实例中

5、的应用尚需多加练习。上课时间 第二周 上课节次 3节 课 型 理论 课 题 条件概率与独立性 教学目的 使学生了解条件概率与独立性的基本概念及其应用 教学方法 讲授 重点、难点 全概率公式与贝叶斯公式 时间分配 教学内容 板书或课件版面设计 1.5条件概率（1）条件概率 定义：设 A，B 是两个事件，且 P（A）0，称为在事件 A 发生的条件下事件 B 发生的条件概率。条件概率 P（|A）满足：对于每一事件 B，有 P（B|A）0。对于必然事件 S，有 P（S|A）=1。设 B1，B2，是两两互不相容的事件，则有 概率的性质都适用于条件概率。（2）乘法定理 乘法定理：设 P（A）0，则有 P（

6、AB）=P（B|A）P（A）（乘法公式）一般地，设 A1，A2，An为 n个事件，n2，且P（A1A2An）0，则有 P（A1A2An）=P（An|A1A2An-1）P（An-1|A1A2An-2）P（A2|A1）P（A1）（3）全概率公式和贝叶斯公式 定义：设 S为试验 E 的样本空间，B1，B2，Bn为 E的一组事件，若 BiBj=，ij，i，j=1,2，n 则称 B1，B2，Bn是样本空间 S的一个划分。若 B1，B2，Bn是样本空间 S的一个划分，那么对每次试验，事件 B1，B2，Bn中必有一个且仅有一个发生。定理：设试验 E 的样本空间为 S，A 为 E 的事件，B1，B2，Bn为

7、S的一个划分，且 P（Bi）0（i=1，2，n），则 P（A）=P（A|B1）P（B1）+P（A|B2）P（B2）+P（A|Bn）P（Bn）（全概率公式）定理：设试验 E 的样本空间为 S，A 为 E 的事件，B1，B2，Bn为 S的一个划分，且 P（A）0，P（Bi）0（i=1，2，n），则 （贝叶斯（Bayes）公式）1.6独立性 定义：设 A，B 是两事件，若满足等式 P（AB）=P（A）P（B），则称事件 A，B 相互独立，简称 A，B独立。设 A，B 是两事件，且 P（A）0。若 A，B 相互独立，则 P（B|A）=P（B），反之亦然。若事件 A 与 B 相互独立，则下列各式也相互独

8、立：A 与，与 B，与。定义：设 A，B，C 是三个事件，若满足等式P（AB）=P（A）P（B），P（BC）=P（B）P（C），P（AC）=P（A）P（C），P（ABC）=P（A）P（B）P（C），则称事件 A，B，C 相互独立。一般地，设 A1，A2，An是 n（n2）个事件，若对于其中任意 2个，任意 3个，任意 n个事件的积事件的概率，都等于各事件概率之积，则称事件 A1，A2，An相互独立。推论：若事件 A1，A2，An（n2）相互独立，则其中任意 k（2kn）个事件也是相互独立的。若 n个事件 A1，A2，An（n2）相互独立，则将A1，A2，An中任意多个事件换成它们各自的对立事件

9、，所得的 n个事件仍相互独立。教学后记 本次课的主要内容与目的在于让学生了解和掌握条件概率与独立性的相关内容，学生对概念的掌握尚可，但对其在实例中的应用尚需多加练习。上课时间 第三周 上课节次 3节 课 型 理论 课 题 概率论基本概念习题解析 教学目的 使学生巩固概率论基本概念所学内容 教学方法 讲授 重点、难点 古典概型、全概率公式与贝叶斯公式的应用 时间分配 教学内容 板书或课件版面设计 1.一俱乐部有 5名一年级学生，2名二年级学生，3名三年级学生，2名四年级学生。（1）在其中任选 4名学生，求一、二、三、四年级的学生各一名的概率。（2）在其中任选 5名学生，求一、二、三、四年级的学生

10、均包含在内的概率。解：（1）共有 5+2+3+2=12名学生，在其中任选 4名共有=495种选法，其中每年级各选 1名的选法有=60种选法，因此，所求概率为p=60/495=4/33。（2）在 12名学生中任选 5名的选法共有=792种，在每个年级中有一个年级取 2名，而其它 3个年级各取 1名的取法共有+=240种，因此所求概率为 P=240/792=12/33。2.某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号。求他拨号不超过三次而接通所需电话的概率。若已知最后一个数字是奇数，那么此概率是多少？以 Ai表示事件“第 i次拨号拨通电话”，i=1,2,3，以A 表示事件“拨号不超过 3次拨

11、通电话”，则有。因为两两互不相容，且 所以。当已知最后一位数是奇数时，所求概率为 P=1/5+1/5+1/5=3/5。3.有两种花籽，发芽率分别为 0.8,0.9，从中各取一颗，设各花籽是否发芽相互独立。求：（1）这两颗花籽都能发芽的概率。（2）至少有一颗能发芽的概率。（3）恰有一颗能发芽的概率。以 A，B 分别表示事件第一颗、第二颗花籽能发芽，既有 P（A）=0.8，P（B）=0.9。（1）由 A，B 相互独立，得两颗花籽都能发芽的概率为 P（AB）=P（A）P（B）=0.8*0.9=0.72。（2）至少有一颗花籽能发芽的概率为事件 AB 的概率 P（AB）=P（A）+P（B）-P（AB）=

12、0.8+0.9-0.72 =0.98（3）恰有一颗花籽发芽的概率为事件的概率 P（）=P（A）+P（B）-2P（AB）=0.26。教学后记 本次课的主要内容与目的在于让学生巩固所学概率论基本概念的相关内容，通过本次课的学习，学生对概率论基本概念的相关应用技巧有所提升。上课时间 第四周 上课节次 3节 课 型 理论 课 题 离散型变量及其分布律、随机变量及其分布函数 教学目的 使学生初步了解离散型随机变量的分布律及随机变量的分布函数 教学方法 讲授 重点、难点 随机变量及其分布函数 时间分配 教学内容 板书或课件版面设计 2.1随机变量 定义：设随机试验的样本空间为 S=e。X=X（e）是定义在

13、样本空间 S上的实值单值函数。称 X=X（e）为随机变量。2.2离散型随机变量及其分布律 有些随机变量，它全部有可能渠道的值是有限个或可列无限多个，这种随机变量成为离散型随机变量。设离散型随机变量 X 所有可能去的值为 xk（k=1,2，），X 取各个可能值的概率，即事件X=xk的概率为 PX=xk=pk，k=1,2，。（离散型随机变量 X 的分布律）由概率的定义，pk满足如下两个条件：pk0，k=1,2，（1）（0-1）分布 设随机变量 X 只可能取 0与 1两个值，它的分布律是PX=k=pk（1-p）1-k，k=0,1（0p1），则称 X 服从以 p为参数的（0-1）分布或两点分布。（2）

14、伯努利试验、二项分布 设试验 E 只有两个可能结果：A 及，则称 E 为伯努利（Bernoulli）试验。将 E 独立重复地进行 n次，则称这一串重复的独立试验为 n重伯努利试验。在 n次试验中 A 发生 k次的概率为，记q=1-p，即有，k=0,1,2，n。注意到刚好是二项式（p+q）n的展开式中出现 pk的那一项，我们称随机变量 X 服从参数为 n，p的二项分布，并记为 Xb（n,p）。特别，当 n=1时二项分布化为，k=0，1（0-1）分布）。（3）泊松分布 设随机变量 X 所有可能取的值为 0,1,2，而取各个值的概率为，k=0,1,2，其中 0是常数。则称 X 服从参数为 的泊松分布，记为 X（）。泊松定理：设 0是一个常数，n是任意正整数，设npn=，则对于任一固定的非负整数 k，有：。上述定理表明，当 n很大，p很小（）时有以下近似式（其中=np）。2.3随机变量的分布函数 定义：设 X 是一个随机变量，x是任意实数，函数F（x）=PXx，-x称为 X 的分布函数。对于任意实数 x1，x2（x1x2），有 Px1Xx2=PXx2-PXx1=F（x2）-F（x1）