导数在微观经济学中的应用本科毕业原创论文设计文档格式.docx

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导数，边际，弹性，微分方程，差分方程，最优化

Abstract:

Alongwithourcountry’ssocialistmarketeconomy’sunceasingdevelopment,moreandmorepeoplejointheeconomicdomaintostudyandwork,especiallymanydomesticmathematicsprofessionalstransfertotheeconomicdomaintocarryontheresearchwork,andhavemademanyexcellentachievements.Aprimarycauseisthattheyhavethestrongmathematicsfoundation.Andmathematicsisbecomingmoreandmorecloselyrelatedtoeconomics,andusingmathematicstocarryonthequantitativeanalysis,especiallyestablishingthemathematicalmodeltosolutequestionsintheeconomicdomain,isbecomingaconstituentoftheentiretheorysystemineconomic.Thederivativeaswellasthedifferentialequationandthedifferenceequation,whicharerelatedwithderivative,astheimportantconceptsofadvancedmathematics,withoutdoubtareimportanteconomicanalysistools.Thederivativeandtheeconomicmarginalconceptiscloselylinked,andsimultaneouslyarethetheoreticalfoundationofelasticityanalysisaswell.Marginalandelasticity,thesetwoconceptsaretheeconomictheorysystem'

simportantconcepts,andtheentireeconomy’stheoreticalfoundation,whichplayaleadingroleineconomicdevelopment.

Keywords:

derivative;

marginal;

elasticity;

differentialequation;

differencesequation;

optimization

引言

数学在各个领域的应用举不胜举，正像我国著名的数学家华罗庚教授对数学的精辟阐述：

“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，画工之巧，地球之变，生物之迷，日月之繁，无处不用数学。

”在经济学界和数学界都赫赫有名的数学和经济学大师——约翰·

纳什，通过数学模型把日常生活中生动的经济问题分析并深化研究，总结出了著名的纳什均衡，这个著名的经济论断成为经济学界坚实的理论基石，为以后研究各个领域的博弈问题提供了理论基础。

可以这样说，一种科学只有成功运用数学时，才算达到了真正完善的地步。

而经济学也不例外，可以说正是数学和经济的完美结合才创造出了世界宝贵的财富，经济和数学密不可分的关系也就不言而喻了[1]。

经济学是研究社会资源配置及社会关系的一门学科。

如何有效配置和合理利用稀缺的经济资源从而最大限度满足人类欲望始终都是经济学研究的主题。

这不可避免会涉及到效率和最优化问题，而有关效率和最优化问题的研究不仅有定性分析，更重要的要有定量分析。

数学作为定量分析的重要工具，以其严密性、客观性、正好适应了这一要求。

因此，在经济学中引入数学工具，可以更好地表述经济学原理，将经济问题转化为具体的数学模型，可以使分析变得更具体，从而把研究从初步的想法推向深入的探索，推动经济学走向精密化，正确化。

数学在经济学产生的初期就运用到经济学中了。

在17世纪，古典经济学先驱威廉·

配第在《政治算术》中就大量运用了数学和统计学方法来分析经济现象。

他说：

“我所进行的这项工作所使用的方法目前还不是常见的。

因为和只使用比较级和最高级的词语以及单纯作思维的论证相反，我采用了这样的方法，即用数字、重量和尺度的词语表达我自己想说的问题，只进行能诉诸人们的感官的论证和考察在性质上有可见的根据的原因。

”在之后的200年里，学在经济学的应用有深入了一步。

像斯密和李嘉图也都不同程度的运用了数学来表达经济学思想，马尔萨斯则直接运用了级数理论来阐述人口理论。

但是这些基本上是初等数学和经济学的结合，仅是经济学的表达工具，没有形成完善的数学化的语言。

到了19世纪，英国的著名经济学家马歇尔吸收了边际分析方法，把边际学派从“异端”和“支流”改造成为经济学的正统和主流，把原有的供求论、生产费用论、资本生产力论等加以充实形成了一个新的理论体系。

完成了经济学说史上第二次大综合。

同时引入大量的数学模型，使经济学更加数学化。

后来，新古典综合派完成了经济学的第三次大综合，另外重要的一点是把所有的经济理论（无论是宏观还是微观）都改造成了更加精确的数学语言，数学不仅是一个表达工具，还成了一个分析性的工具，由此经济学走上了数学模型化的道路[2]。

数学既是一门高度抽象的理论性学科，又是一门应用广泛的工具性学科，如何将抽象的理论应用到具体的科学实践中去，以使数学这门古老、严谨、深刻的经典科学和现代数学理论找到崭新的应用市场。

当代西方经济学家认为，经济学的基本方法是建立数学模型，分析各变量之间的函数关系，从中引申出经济原则和理论，进行分析与预测。

随着现代科学技术的发展与现代管理水平的提高，应用定量分析方法解决经济领域内的问题已经成为经济学整个理论体系中的重要组成部分。

在经济活动中，数量关系无处不在，像投入量，产出量，成本，效用，价格，价值，利率，利润，消费量等等。

而数学是研究现实世界数量关系的学科，数学中的数量关系是从现实中来的，有是现实世界的数量关系的高度抽象，同一种数量关系又可以反映不同的物质运动形式，要研究这些量的数量关系，需要首先建立它们的函数关系，只有建立了正确的关系式，才能为其他问题的研究做好铺垫，最终找到问题的答案。

导数是一种特殊的函数，它作为高等数学中的一个重要概念，在经济领域中有着相当广泛的应用。

本文对这一重要工具在经济学中的应用作一些分析。

本文主要用到的数学概念为一元导数，多元偏导数，微分方程，差分方程，这些内容的联系紧密，以上这些数学理论在经济学的应用方面主要是边际分析，弹性分析，最优化分析。

1、导数的概念和几何意义的简要说明

1.1一元函数导数的定义

数学中一元导数的概念是指：

设函数在点的某一邻域内有定义，当自变量在处有增量时，相应地函数有增量，如果与之比，当时的极限存在，则这个极限值称为在点x处的导数，表示为：

函数增量与自变量之比是函数在以和为端点的区间上的平均变化率，而导数则是函数在点处的瞬时变化率，它反映了函数随自变量变化而变化的快慢程度。

函数在点的导数的几何意义是：

曲线在点处的切线的斜率[3]。

1.2多元函数偏导数的概念

定义：

设函数在点的某个邻域内有定义，若固定后，极限存在，则称此极限为函数在点处关于自变量的偏导数，记作。

若固定后，极限存在，则称此极限为函数在点处关于自变量的偏导数，记作。

函数在点处的偏导数的意义就是函数在点处沿轴或轴方向的瞬时变化率[4]。

2、微分方程和差分方程的基本知识介绍

2.1微分方程的基本知识

微分方程是与微积分同时成长起来的数学学科。

从它诞生之日起即日益成为人类认识并改造自然的工具，成为数学科学联系实际的重要渠道之一。

早在十七至十八世纪，它就作为牛顿力学的得力助手在天体力学和其他机械力学领域内显示了巨大的功能。

据科学史记载：

在海王星被实际观测到之先，这颗行星的存在就被天文学家用微分方程的方法推算出来了。

微分方程从主要在几何学、力学和物理学等方面的应用，逐步发展到和生物、农业以至于经济学也密切地联系起来了．微分方程像微积分一样，是一门理论比较完善同时应用非常广泛的学科，但用在经济领域，历史不算很长，只是近十几年的事情．在短短的时间里，它以全新的面貌出现在经济问题分析中。

微分方程是含有自变量、自变量的未知函数及未知函数的导数的方程。

当未知函数是一元函数时，则称为常微分方程。

在微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数，称为微分方程的阶。

若把某函数及其导数代入微分方程能使该方程成为恒等式，则称这个函数是该微分方程的一个解，通常要求微分方程的解具有和该微分方程的阶数同样阶数的连续导数。

含有与微分方程的阶数同样个数的独立任意常数的解，称为微分方程的通解，不含任意常数的解，称为微分方程的特解。

给定微分方程中未知函数及其导数在指定点的函数值的条件，称为微分方程的初始条件，初始条件的个数应与微分方程的阶数相同，一般说来，n阶微分方程的初始条件是：

…其中…是给定的n个常数[5]。

2.2差分方程的基本知识

差分方程与微分方程有许多类似的地方，在经济中常使用离散的变量，比如：

以年，季度，月为单位的产量、销售量、材料消耗、利润等就是如此。

设函数中的自变量取所有的非负整数，并记其函数值为，则其值可以排列成一个数列，……，差称为函数的差分，也称为一阶差分，记为，即

对于导数来说，一阶导数的导数称为二阶导数，与此相似，二阶差分就是一阶差分的差分，即

同样可以定义三阶差分，四阶差分以及更高阶的差分，二阶及二阶以上的差分统称为高阶差分。

3、导数及微分方程在边际分析中的应用

3.1边际分析

在经济学中，常常会用到变化率这一基本概念，作为变化率又可分为平均变化率和边际量。

平均变化率就是函数增量与自变量增量之比，如常用到的劳动的平均产量、平均利润、平均成本；

边际量是表示一单位的自变量的变化量所引起的因变量的变化量。

从数学意义上讲，如果函数是连读的，则边际量表示当自变量的改变量趋于0时，因变量的相应改变量与其的比值，表示为：

亦即函数对自变量的导数：

在经济学中常常用平均变化和边际变化两种概念去讨论一个量Y对另一个量x的变化率，正如通过求函数的微分可以得到边际函数一样，通过求函数的积分，有的可以直接得出该函数，有的则必须通过解微分方程才能求出该函数。

3.2边际成本

设总成本函数为，其中为产量，则边际成本的定义为厂商在短期内增加一单位产量时所增加的总成本。

用公式表示为或

其几何意义为：

在每一产量水平上的边际成本值就是相应的总成