秋季学期新版新人教版九年级数学上册2122公式法导学案2Word文档格式.docx

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移项，得

二次项系数化为1，得

配方，得

即：

，

因为所以

当；

当

三、新知讲解

一元二次方程根的判别式

叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根的判别式，通常用希腊字母表示它，即．

一元二次方程根的情况与判别式的关系

（1）方程有两个不相等的实数根；

（2）方程有两个相等的实数根；

（3）方程没有实数根．

公式法解一元二次方程

一般地，对于一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），当时，它的两个根分别是

，，

这里，叫做一元二次方程的求根公式，利用它解一元二次方程的方法叫做公式法．

公式法解一元二次方程的一般步骤

把方程化成一般形式：

ax2+bx+c=0（a≠0）；

确定a，b，c的值；

求出的值，并判断方程根的情况：

当时，方程有两个不相等的实数根；

当时，方程有两个相等的实数根；

当时，方程没有实数根．

当时，将a，b，c和的值代入公式（注意符号）．

四、典例探究

1．根据根的判别式判断一元二次方程根的情况

【例1】

（2015•重庆）已知一元二次方程2x2﹣5x+3=0，则该方程根的情况是（　　）

A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根

两个根都是自然数D．无实数根

总结：

求根的判别式时，应该先将方程化为一般形式，正确找出a，b，c的值.

根的判别式与一元二次方程根的情况的关系如下：

练1．（2015•铜仁市）已知关于x的一元二次方程3x2+4x﹣5=0，下列说法不正确的是（　　）

A．方程有两个相等的实数根B．方程有两个不相等的实数根

C．没有实数根D．无法确定

练2．（2015•泰州）已知：

关于x的方程x2+2mx+m2﹣1=0

（1）不解方程，判别方程根的情况；

（2）若方程有一个根为3，求m的值．

2．根据一元二次方程根的情况求参数的值或取值范围

【例2】

（2015•温州）若关于x的一元二次方程4x2﹣4x+c=0有两个相等实数根，则c的值是（　　）

A．﹣1B．1C．﹣4D．4

已知方程根的情况求字母的值或取值范围时：

先计算根的判别式；

再根据方程根的情况列出关于根的判别式的等式或不等式求解；

若二次项系数出现了字母，应注意“二次项系数不为0”．

练3．（2015•凉山州）关于x的一元二次方程（m-2）x2+2x+1=0有实数根，则m的取值范围是（　　）

A．m≤3B．m＜3C．m＜3且m≠2D．m≤3且m≠2

3．用公式法解一元二次方程

【例3】用公式法解下列方程：

（1）x2+2x﹣2=0；

（2）y2﹣3y+1=0；

（3）x2+3=2x．

公式法的实质是配方法，只不过省去了配方的过程，而直接利用了配方的结论；

运用公式法求解一元二次方程要注意两个前提：

（1）先将一元二次方程化为一般形式，即确定a，b，c的值；

（2）必须保证b2-4ac≥0．

练4．（2014•锦江区模拟）解方程：

x（x﹣2）=3x+1．

练5．当x是何值时，3x2+4x﹣8的值和2x2﹣1的值相等？

五、课后小测

一、选择题

1．（2015•云南）下列一元二次方程中，没有实数根的是（　　）

A．4x2﹣5x+2=0B．x2﹣6x+9=0C．5x2﹣4x﹣1=0D．3x2﹣4x+1=0

2．（2015•贵港）若关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+2=0有实数根，则整数a的最大值为（　　）

A．﹣1B．0C．1D．2

3．（2015•烟台）等腰直角三角形边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程x2﹣6x+n﹣1=0的两根，则n的值为（　　）

A．9B．10C．9或10D．8或10

4．（2015•株洲）有两个一元二次方程M：

ax2+bx+c=0；

N：

cx2+bx+a=0，其中a•c≠0，a≠c．下列四个结论中，错误的是（　　）

A．如果方程M有两个相等的实数根，那么方程N也有两个相等的实数根

B．如果方程M的两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同

C．如果5是方程M的一个根，那么是方程N的一个根

D．如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是x=1

5．（2013•日照）已知一元二次方程x2﹣x﹣3=0的较小根为x1，则下面对x1的估计正确的是（　　）

A．﹣2＜x1＜﹣1B．﹣3＜x1＜﹣2C．2＜x1＜3D．﹣1＜x1＜0

二、填空题

6．（2011秋•册亨县校级月考）用公式法解方程2x2﹣7x+1=0，其中b2﹣4ac=　　，x1=　　，x2=　　．

三、解答题

7．（2014秋•通山县期中）用公式法解方程：

2x2﹣4x=5．

8．（2014秋•金溪县校级月考）解方程：

2x2﹣2x﹣5=0．

9．（2013春•石景山区期末）用公式法解方程：

x（x）=4．

10．（2015•梅州）已知关于x的方程x2+2x+a﹣2=0．

（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围；

（2）当该方程的一个根为1时，求a的值及方程的另一根．

11．（2015•咸宁）已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+2=0．

（1）证明：

不论m为何值时，方程总有实数根；

（2）m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．

12．（2015•昆山市一模）已知关于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+1=0．

（1）求证：

无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；

（2）若x1、x2是原方程的两根，且|x1﹣x2|=2，求m的值．

13．（2015•南充一模）已知关于x的一元二次方程kx2﹣2（k﹣1）x+k﹣2=0（k≠0）

（1）小明考查后说，它总有两个不相等的实数根．

（2）小华补充说，其中一个根与k无关．

请你说说其中的道理．

典例探究答案：

C．两个根都是自然数D．无实数根

分析：

判断方程的根的情况，只要看根的判别式△=b2﹣4ac的值的符号就可以了．

解答：

∵a=2，b=﹣5，c=3，

∴△=b2﹣4ac=（﹣5）2﹣4×

2×

3=1＞0，

∴方程有两个不相等的实数根．

故选：

A．

点评：

此题主要考查了一元二次方程根的判别式，要熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：

（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；

（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；

（3）△＜0⇔方程没有实数根．

先求出△的值，再判断出其符号即可．

∵△=42﹣4×

3×

（﹣5）=76＞0，

故选B．

本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△的关系是解答此题的关键．

（1）找出方程a，b及c的值，计算出根的判别式的值，根据其值的正负即可作出判断；

（2）将x=3代入已知方程中，列出关于系数m的新方程，通过解新方程即可求得m的值．

（1）∵a=1，b=2m，c=m2﹣1，

∵△=b2﹣4ac=（2m）2﹣4×

1×

（m2﹣1）=4＞0，

∴方程x2+2mx+m2﹣1=0有两个不相等的实数根；

（2）∵x2+2mx+m2﹣1=0有一个根是3，

∴32+2m×

3+m2﹣1=0，

解得，m=﹣4或m=﹣2．

此题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：

（3）△＜0⇔方程没有实数根．也考查了一元二次方程的解的定义：

能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．

根据方程根的情况与判别式的关系知△=42﹣4×

4c=0，然后解一次方程即可．

∵一元二次方程4x2﹣4x+c=0有两个相等实数根，

∴△=42﹣4×

4c=0，

∴c=1，

本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：

当△＞0，方程有两个不相等的实数根；

当△=0，方程有两个相等的实数根；

当△＜0，方程没有实数根．

根据一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac的意义得到m-2≠0且△≥0，即22-4×

（m-2）×

1≥0，然后解不等式组即可得到m的取值范围．

∵关于x的一元二次方程（m-2）x2+2x+1=0有实数根，

∴m-2≠0且△≥0，即22-4×

1≥0，解得m≤3，

∴m的取值范围是m≤3且m≠2．

D．

本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：

（1）求出b2﹣4ac的值，代入公式x=求出即可；

（2）求出b2﹣4ac的值，代入公式y=求出即可；

（3）求出b2﹣4ac的值是负数，即可得出原方程无解．

（1）这里a=1，b=2，c=﹣2，

∵b2﹣4ac=22﹣4×

（﹣2）=12＞0，

∴x==﹣1，

∴x1=﹣1+，x2=﹣1﹣；

（2）这里a=1，b=﹣3，c=1．

∵b2﹣4ac=（﹣3）2﹣4×

1=5＞0，

∴y=，

∴y1=，y2=；

（3）移项，得x2﹣2x+3=0，

这里a=1，b=﹣2，c=3．

∵b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×

3=﹣4＜0．

∴原方程没有实数根．