届高考数学理新课标专题复习作业不等式向量解三角形.docx

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届高考数学理新课标专题复习作业不等式向量解三角形

高考数学专题训练:

不等式向量解三角形

一、选择题

1．（2016·安徽五校）设全集U＝R，集合A＝{x|x2－2x≥0}，B＝{x|y＝log2（x2－1）}，则（∁UA）∩B＝（　　）

A．[1，2）　　　　　　　B．（1，2）

C．（1，2]D．（－∞，－1）∪[0，2]

答案　B

解析　由已知得A＝（－∞，0]∪[2，＋∞），∴∁UA＝（0，2），又B＝（－∞，－1）∪（1，＋∞），∴（∁UA）∩B＝（1，2），故选B.

2．（2016·四川）设p：

实数x，y满足（x－1）2＋（y－1）2≤2，q：

实数x，y满足则p是q的（　　）

A．必要不充分条件B．充分不必要条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

答案　A

解析　取x＝y＝0满足条件p，但不满足条件q，反之，对于任意的x，y满足条件q，显然必满足条件p，所以p是q的必要不充分条件，选A.

3．（2016·湖南四校）在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若＝a，＝b，则＝（　　）

A.a＋bB.a＋b

C.a＋bD.a＋b

答案　C

解析　∵＝a，＝b，∴＝＋＝＋＝a＋b，∵E是OD的中点，∴＝，∴|DF|＝|AB|，∴＝＝（－）＝×[－－

（－）]＝－＝a－b，∴＝＋＝a＋b＋a－b＝a＋b.

4．（2016·衡中一调）在△ABC中，三边之比a∶b∶c＝2∶3∶4，则＝（　　）

A．1B．2

C．－2D.

答案　B

解析　设a＝2x，b＝3x，c＝4x（x>0），△ABC外接圆的半径为R，则＝＝＝＝－＝－＝2.

5．（2016·江西调研）已知向量m，n的模分别为，2，且m，n的夹角为45°.在△ABC中，＝2m＋2n，＝2m－6n，＝2，则||＝（　　）

A．2B．2

C．4D．8

答案　B

解析　因为＝2，所以点D为边BC的中点，所以＝（＋）＝2m－2n，所以||＝2|m－n|＝2＝2＝2.

6．（2016·宜春模拟）已知x，y∈R＋，且x＋y＋＋＝5，则x＋y的最大值是（　　）

A．3B.

C．4D.

答案　C

解析　由x＋y＋＋＝5，得5＝x＋y＋，∵x>0，y>0，∴5≥x＋y＋＝x＋y＋，∴（x＋y）2－5（x＋y）＋4≤0，解得1≤x＋y≤4，∴x＋y的最大值是4.

7．（2016·福建模拟）在△ABC中，A＝，AB＝2，AC＝3，＝2，则·＝（　　）

A．－B．－

C.D.

答案　C

解析　因为＝＋＝＋＝＋（－）＝＋，所以·＝（＋）·（－）＝×32－×22＋·＝＋×3×2cos＝，选C.

8．（2016·河北五一联盟）向量a，b满足|a|＝2，|b|＝3，|2a＋b|＝，则a与b的夹角为（　　）

A．30°B．45°

C．60°D．90°

答案　C

解析　因为（2a＋b）2＝4|a|2＋|b|2＋4|a||b|·cos〈a，b〉＝16＋9＋24cos〈a，b〉＝37，即cos〈a，b〉＝，所以〈a，b〉＝60°，故选C.

9．（2016·山东潍坊模拟）如图，某观测站C在目标A的南偏西

25°方向上，从A出发有一条南偏东35°走向的公路，在C处测得与C相距31千米的公路上B处有一人正沿公路向A走去，走20千米到达D，此时测得C、D间的距离为21千米，则此人在D处距A还有（　　）

A．5千米B．10千米

C．15千米D．20千米

答案　C

解析　由题知∠CAD＝60°，cosB＝＝＝，sinB＝.

在△ABC中，AC＝＝24，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos∠BAC，即312＝AB2＋242－2AB×24cos60°，解得AB＝35或AB＝－11（舍去），

∴AD＝AB－BD＝15（千米）．

10．（2016·长沙调研）如图所示，已知点G是△ABC的重心，过点G作直线与AB，AC两边分别交于M，N两点，且＝x，＝y，则x＋2y的最小值为（　　）

A．2B.

C.D.

答案　C

解析　由已知可得＝×（＋）＝＋＝＋，又M，G，N三点共线，故＋＝1，∴＋＝3，则x＋2y＝（x＋2y）·（＋）·＝（3＋＋）≥（当且仅当x＝y时取等号），故选C.

11．（2016·广州五校）已知Rt△AOB的面积为1，O为直角顶点，设向量a＝，b＝，＝a＋2b，则·的最大值为（　　）

A．1B．2

C．3D．4

答案　A

解析　依题意，OA⊥OB，∴·＝0，又||·||＝1，∴||||＝2.∵·＝（＋）·＝2||，·＝（＋）·＝||，

2＝（＋）2＝＋·＋＝5，∴·＝（－）·

（－）＝·－（·＋·）＋2＝5－（2||＋||）≤5－2＝5－4＝1.

12．（2016·四川）设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2＝2px（p>0）上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|＝2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为（　　）

A.B.

C.D．1

答案　C

解析　设P（，t），易知F（，0），则由|PM|＝2|MF|，得M（，），当t＝0时，直线OM的斜率k＝0，当t≠0时，直线OM的斜率k＝＝，所以|k|＝≤＝，当且仅当＝时取等号，于是直线OM斜率最大值为，选C.

13．（2016·洛阳调研）已知实数x，y满足约束条件向量a＝（x，y），b＝（3，－1），设z表示向量a在向量b方向上的投影，则z的取值范围是（　　）

A．[－，6]B．[－1，6]

C．[－，]D．[－，]

答案　C

解析　画出约束条件所表示的可行域如图中阴影部分所示，向量a在向量b方向上的投影

z＝＝（3x－y），

由可行域知，a＝（x，y）＝（2，0）时，向量a在b方向上的投影最大，且最大值为＝；当a＝（，3）时，向量a在b方向上的投影最小，且最小值为－＝－，所以z的取值范围是[－，]．

14．（2016·安徽六校）如图，在扇形OAB中，∠AOB＝60°，C为弧AB上且与A，B不重合的一个动点，且＝x＋y，若u＝x＋λy（λ>0）存在最大值，则λ的取值范围为（　　）

A．（1，3）B．（，3）

C．（，1）D．（，2）

答案　D

解析　设扇形所在圆的半径为1，以O为原点，OB为x轴，建立平面直角坐标系，∠COB＝θ（θ∈（0，））．故B（1，0），A（，），C（cosθ，sinθ），故∴

令f（θ）＝u＝x＋λy＝sinθ＋λcosθ，θ∈（0，），

则f（θ）在（0，）上不是单调函数，从而f′（θ）＝cosθ－πsinθ＝0在（0，）上一定有解，即tanθ＝在（0，）上有解．∴∈（0，），即λ∈（，2），经检验此时f（θ）正好有极大值点．

15．（2015·湖北八校）若关于x的不等式f（x）<0和g（x）<0的解集分别为（a，b）和（，），则称这两个不等式为“对偶不等式”．若不等式x2－4cos2θ·x＋2<0和不等式2x2＋4sin2θ·x＋1<0为“对偶不等式”，且θ∈（，π），则θ＝（　　）

A.B.

C.D.

答案　C

解析　设方程x2－4cos2θ·x＋2＝0的两根分别为x1，x2，则有设方程2x2＋4sin2θ·x＋1＝0的两根分别为x3，x4，则有由对偶不等式的定义可得x3＋x4＝⇒－2sin2θ＝2cos2θ⇒tan2θ＝－，又θ∈（，π），所以θ＝.

二、填空题

16．（2016·济南一模）设向量a，b满足|a|＝|b|＝|a＋b|＝1，则|a－tb|（t∈R）的最小值为________．

答案　

解析　设向量a，b的夹角为θ，因为|a|＝|b|＝|a＋b|＝1，所以a2＋b2＋2a·b＝1＋1＋2×1×1×cosθ＝1，解得cosθ＝－，即θ＝，所以a·b＝－，|a－tb|2＝a2＋t2b2－2ta·b＝t2＋t＋1＝（t＋）2＋，故当t＝－时，|a－tb|取到最小值，且最小值为.

17．（2016·太原模拟）在锐角△ABC中，已知B＝，|－|＝2，则·的取值范围是________．

答案　（0，12）

解析　∵B＝，△ABC是锐角三角形，∴A＋C＝，∴

∵|－|＝2，∴|－|＝a＝2，

∵＝＝，

∴b＝，c＝，

∴·＝c·bcosA＝2cosA＝＋＝（＋）2－，

∵∈（0，3），∴·∈（0，12）．

18．（2016·新余一中模拟）设函数y＝f（x）在其图像上任意一点（x0，y0）处的切线方程为y－y0＝（3x02－6x0）（x－x0），且f（3）＝0，则不等式≥0的解集为________．

答案　（－∞，0）∪（0，1]∪（3，＋∞）

解析　∵函数y＝f（x）在其图像上任意一点（x0，y0）处的切线方程为y－y0＝（3x02－6x0）（x－x0），∴f′（x0）＝3x02－6x0，∴f′（x）＝3x2－6x，设f（x）＝x3－3x2＋c，又f（3）＝0，∴33－3×32＋c＝0，解得c＝0，∴f（x）＝x3－3x2，∴≥0可化为≥0，解得03.

19．（2016·开封模拟）在△ABC中，点O在线段BC的延长线上，且||＝3||，当＝x＋y时，则x－y＝________．

答案　－2

解析　＝＋＝＋＝＋（－）＝－＋，∴x－y＝－2.

20．（2016·郑州质检）已知点A（0，－1），B（3，0），C（1，2），平面区域P是由所有满足＝λ＋μ（2<λ≤m，2<μ≤n）的点M组成的区域，若区域P的面积为16，则m＋n的最小值为________．

答案　4＋2

解析　由题意知＝（3，1），＝（1，3），＝（－2，2），所以cosA＝＝＝，sinA＝.如图，延长AB至点G，延长AC至点E，使＝m，＝n，且＝2，＝2，作DK∥AB，EQ∥AB，FT∥AC，GQ∥AC，则四边形AFHD、四边形AGQE、四边形HKQT都是平行四边形．由题意可知点M组成的区域P为图中的阴影部分，即四边形HKQT及其内部，所以四边形HKQT的面积为|HK|·|HT|sinA＝

（m－2）·（n－2）·＝16，即（m－2）·（n－2）＝2，mn－2m－2n＋2＝0，即2（m＋n）＝mn＋2，因为2（m＋n）＝mn＋2≤（）2＋2，所以（m＋n）2－8（m＋n）＋8≥0，所以m＋n≥4＋2或m＋n≤4－2（舍），即m＋n的最小值是4＋2.此时m＝n＝2＋.

1．（2016·长沙调研）设a，b，c∈R，且a>b，则（　　）

A．ac>bc　　　　　　　　　B.<

C．a2>b2D．a3>b3

答案　D

解析　当c＝0时，选项A错误；当a>0，b<0时，选项B错误；当a＝1，b＝

－5时，选项C错误；a3－b3＝（a－b）（a2＋ab＋b2）＝（a－b）·[（a＋）2＋]>0成立．

2.如图所示，点A，B，C是圆O上的三点，线段OC与线段AB交于圆内一点M，若＝m＋n（m>0，n>0），m＋n＝2，则∠AOB的最小值为（　　）

A.B.

C.D.

答案　D

解析　方法一：

设圆的半径为1，将＝m＋n平方得1＝m2＋n2＋

2mncos∠AOB，cos∠AOB＝＝＝－＋1≤－（当且仅当m＝n＝1时等号成立），因为0<∠AOB<π，所以∠AOB的最小值为.

方法二：

已知AB与OC的交点为M，设λ＝＝m＋n，因为A，B，M三点共线，所以λ＝m＋n＝2，说明M是OC的中点，过M作弦AB，在同一圆中相等弦所对的圆心角相等，且较短弦所对的圆心角也较小，所以当AB⊥OC且互相平分时，∠AOB最小．由平行四边形法则，四边形OACB是菱形，得∠AOB＝.

3．（2016·洛阳调研）已知平面向量a，b满足b＝（－，1），b·（a－b）＝－3，a为单位向量，则向量b在向量a方