知识点和习题-初二数学-相似三角形[1]Word格式文档下载.doc

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比例式中等号左右两个比的前项，后项之间

发生同样和差变化比例仍成立．如：

等等．

等比性质：

如果，那么．

（1）此性质的证明运用了“设法”，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法．

（2）应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．

（3）可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．如：

；

其中．

知识点4比例线段的有关定理

平行线分线段成比例定理：

三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．

推论：

（1）平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例．

（2）平行于三角形一边并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例．

定理：

如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形第三边．

知识点5黄金分割

把线段分成两条线段，且使是的比例中项，叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点，其中≈0.618．

知识点6相似三角形的概念

对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．

相似用符号“∽”表示，读作“相似于”．

相似三角形对应边的比叫做相似比（或相似系数）．

相似三角形对应角相等，对应边成比例．

①对应性：

即两个三角形相似时，通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上，这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边．

②顺序性：

相似三角形的相似比是有顺序的．

③两个三角形形状一样，但大小不一定一样．

④全等三角形是相似比为1的相似三角形．二者的区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例．

知识点7相似三角形的基本定理

平行于三角形一边的直线和其它两边（或两边延长线）相交，所构成的三角形与原

三角形相似．

定理的基本图形：

用数学语言表述是：

，

∽．

知识点8相似三角形的等价关系

（1）反身性：

对于任一有∽．

（2）对称性：

若∽，则∽．

（3）传递性：

若∽，且∽，则∽．

知识点9三角形相似的判定方法

1、定义法：

对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似．

2、平行法：

平行于三角形一边的直线和其它两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角

形与原三角形相似．

3、判定定理1：

如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两

个三角形相似．简述为：

两角对应相等，两三角形相似．

4、判定定理2：

如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹

角相等，那么这两个三角形相似．简述为：

两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．

5、判定定理3：

如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这

两个三角形相似．简述为：

三边对应成比例，两三角形相似．

6、判定直角三角形相似的方法：

（1）以上各种判定均适用．

（2）如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．

（3）直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似．

直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。

每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。

　　公式如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°

，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：

（1）（AD）2=BD·

DC，

（2）（AB）2=BD·

BC，

　　（3）（AC）2=CD·

BC。

　　证明：

在△BAD与△ACD中，∠B+∠C=90°

，∠DAC+∠C=90°

，∴∠B=∠DAC，又∵∠BDA=∠ADC=90°

，∴△BAD∽△ACD相似，∴AD/BD＝CD/AD，即

（AD）2=BD·

DC。

其余类似可证。

　　注：

由上述射影定理还可以证明勾股定理。

由公式

（2）+（3）得：

　　（AB）2+（AC）2=BD·

BC+CD·

BC=（BD+CD）·

BC=（BC）2，

　　即（AB）2+（AC）2=（BC）2。

　　这就是勾股定理的结论。

知识点10相似三角形性质

（1）相似三角形对应角相等，对应边成比例．

（2）相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比．

（3）相似三角形周长的比等于相似比．

（4）相似三角形面积的比等于相似比的平方．

（5）相似三角形性质可用来证明线段成比例、角相等，也可用来计算周长、边长等．

知识点11相似多边形

如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形．相似多边形对应边的比叫做相似比（相似系数）．

知识点12相似多边形的性质

（1）相似多边形周长比，对应对角线的比等于相似比．

（2）相似多边形中对应三角形相似，相似比等于相似多边形的相似比．

（3）相似多边形面积比等于相似比的平方．

相似多边形问题往往要转化成相似三角形问题去解决，因此，熟练掌握相似三角形知识是基础和关键．

知识点13与位似图形有关的概念

1.如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应顶点的连线都交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形.

2.这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比.

拓展：

（1）位似图形是相似图形的特例，位似图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点.

（2）位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形.

（3）位似图形的对应边互相平行或共线.

知识点14位似图形的性质

位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比.拓展：

位似图形有许多性质，它具有相似图形的所有性质.

知识点15画位似图形

1.画位似图形的一般步骤：

（1）确定位似中心

（2）分别连接原图形中的关键点和位似中心，并延长（或截取）.

（3）根据已知的位似比，确定所画位似图形中关键点的位置.

（4）顺次连结上述得到的关键点，即可得到一个放大或缩小的图形.

2.位似中心的选取：

（1）位似中心可以在图形外部，此时位似中心在两个图形中间，或在两个图形之外.

（2）位似中心可取在多边形的一条边上.

（3）位似中心可取在多边形的某一顶点上.

说明：

位似中心的选取决定了位似图形的位置，以上位似中心位置的选取中，每一种方法都能把一个图形放大或缩小.

知识点16相似三角形常见的图形

（1）若DE∥BC（A型和X型）则△ADE∽△ABC

（2）射影定理若CD为Rt△ABC斜边上的高（双直角图形）

则Rt△ABC∽Rt△ACD∽Rt△CBD且AC2=AD·

AB，CD2=AD·

BD，BC2=BD·

AB；

（3）满足1、AC2=AD·

AB，2、∠ACD=∠B，3、∠ACB=∠ADC，都可判定△ADC∽△ACB．

（4）当或AD·

AB=AC·

AE时，△ADE∽△ACB．

（3）（4）

练习题

1、如图1,∠ADC=∠ACB=900,∠1=∠B,AC=5,AB=6,则AD=______.

2.如图2,AD∥EF∥BC,则图的相似三角形共有_____对.

3.如图3,正方形ABCD中,E是AD的中点,BM⊥CE,AB=6,CE=3,则BM=______.

4.ΔABC的三边长为,,2,ΔA'

B'

C'

的两边为1和,若ΔABC∽ΔA'

则ΔA'

的笫三边长为

________.

5.两个相似三角形的面积之比为1∶5,小三角形的周长为4,则另一个三角形的周长为_____.

6.如图4,RtΔABC中,∠C=900,D为AB的中点,DE⊥AB,AB=20,AC=12,则四边形ADEC的面积为__________.

7.如图5,RtΔABC中,∠ACB=900,CD⊥AB,AC=8,BC=6,则AD=____,CD=_______.

8.如图6,矩形ABCD中,AB=8,AD=6,EF垂直平分BD,则EF=_________.

9.如图7,ΔABC中,∠A=∠DBC,BC=,SΔBCD∶SΔABC=2∶3,则CD=______.

10.如图8,梯形ABCD中,AD∥BC,两腰BA与CD的延长线相交于P,PF⊥BC,AD=3.6,BC=6,EF=3,则PF=_____.

11.如图9,ΔABC中,DE∥BC,AD∶DB=2∶3,则SΔADE∶SΔABE=___________.

12.如图10,正方形ABCD内接于等腰ΔPQR,∠P=900,则PA∶AQ=__________.

13.如图11,ΔABC中,DE∥FG∥BC,AD∶DF∶FB=1∶2∶3,

则S四边形DFGE∶S四边形FBCG=_________.

14.如图12,ΔABC中,中线BD与CE相交于O点,SΔADE=1,则S四边形BCDE=________.

15.已知:

如图,ΔABC中,CE⊥AB,BF⊥AC.求证:

ΔAEF∽ΔACB.

16.已知:

如图,ΔABC中,∠ABC=2∠C,BD平分∠ABC.

求证:

AB·

BC=AC·

CD.

17.已知：

ΔACB为等腰直角三角形，∠ACB=900延长BA至E，延长AB至F，∠ECF=1350。

求证：

ΔEAC∽ΔCBF

18．已知:

如图,ΔABC中,AD=DB,∠1=∠2.求证:

ΔABC∽ΔEAD.

19．已知:

如图,CE是RtΔABC的斜边AB上的高,BG⊥AP。

（1）CE2=AE·

EB;

（2）AE·

EB=ED·

EP

20已知，如图，在△ABC中，D为BC的中点，且AD=AC，DE⊥BC，DE与AB相交于点E，EC与AD相交于点F．

（1）求证：

△ABC∽△FCD；

（2）若S△FCD=5，BC=10，求DE的长。

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