特殊三角形讲义Word格式文档下载.doc
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在直角三角形中,如果一个锐角等于30°
,那么它所对的直角边等于斜边的一半。
二、直角三角形
1.认识直角三角形。
学会用符号和字母表示直角三角形。
按照角的度数对三角形进行分类:
如果三角形中有一个角是直角,那么这个三角形叫直角三角形。
通常用符号“Rt△”表示“直角三角形”,其中直角所对的边称为直角三角形的斜边,构成直角的两边称为直角边。
如果△ABC是直角三角形,习惯于把以C为顶点的角当成直角。
用三角A、B、C对应的小写字母a、b、c分别表示三个角的对边。
如果AB=AC且∠A=90°
,显然这个三角形既是等腰三角形,又是直角三角形,我们称之为等腰直角三角形。
2.掌握“直角三角形两个锐角互余”的性质。
会运用这一性质进行直角三角形中的角度计算以及简单说理。
3.会用“两个锐角互余的三角形是直角三角形”这个判定方法判定直角三角形。
4.掌握“直角三角形斜边上中线等于斜边的一半”性质。
能通过操作探索出这一性质并能灵活应用。
5在直角三角形中如果一个锐角是30°
,则它所对的直角边等于斜边的一半”。
难点:
在直角三角形中如何正确添加辅助线通常有两种辅助线:
斜边上的高线和斜边上的中线。
三、勾股定理及逆定理
一、勾股定理及其证明
勾股定理:
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
符号语言:
在△ABC中,∠C=90°
(已知)
证明:
进行图形拼接用面积法证明.制作四个全等的直角三角形,然后进行拼接,利用面积法理解勾股定理.
二、勾股定理的应用:
(1)已知两边(或两边关系)求第三边;
(2)已知一边求另两边关系;
(3)证明线段的平方关系;
(4)作长为的线段.
三、勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长a、b、c满足那么这个三角形是直角三角形.
1.勾股定理的逆定理的证明是构造一个直角三角形,然后通过证全等完成;
2.勾股定理的逆定理实质是直角三角形的判定之一,与以前学的判定方法不同,它是用代数运算来证明几何问题,这是数形结合思想的最好体现,今后我们会经常用到.
利用勾股定理的逆定理判别直角三角形的一般步骤:
1.先找出最大边(如c);
2.计算与,并验证是否相等.
若,则△ABC是直角三角形.
若,则△ABC不是直角三角形.
注意:
(1)△ABC中,若,则∠C=90°
;
而时,则∠A=
90°
时,则∠B=90°
.
(2)若,则∠C为钝角,则△ABC为钝角三角形.
若,则∠C为锐角,但△ABC不一定为锐角三角形.
三、勾股数:
能够成为直角三角形三条边长度的三个正整数称为勾股数(或勾股弦数),如3、4、5;
6、8、10;
5、12、13;
8、15、17等.
四、全等三角形的概念、性质与判定
1.能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
重合的顶点叫做对应顶点,重合的边叫做对应边,重合的角叫做对应角。
2.全等三角形的性质
全等三角形的对应边相等;
全等三角形的对应角相等。
3.全等三角形的判定
(1)三边对应相等的两个三角形全等(简记为:
“边边边”或“SSS”);
(2)两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(简记为“边角边”或“SAS”);
(3)两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(简记为“角边角”或“ASA”);
(4)两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(简记为:
“角角边”或“AAS”);
(5)斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(简记为:
“斜边、直角边”或“HL”)。
4.常见的一个三角形经过变换得到另一个全等三角形。
(1)平移
(2)翻折
(3)旋转
5.判定两个三角形全等所需条件:
(1)需要三个条件;
(2)至少有一个条件为边。
注意:
“边边角”不一定成立。
反例:
如图,△ABC与△ABC'
中,AB=AB,AC=AC'
,∠ABC=∠ABC'
,但△ABC与△ABC'
不全等。
【典型例题分析】
例1.(2005年苏州)
如图,等腰三角形ABC的顶角为120°
,腰长为10,则底边上的高AD=________。
例2.已知,如图,△ABC中,∠C=90°
,AB的垂直平分线交AB于E,交AC于D,AD=8,∠A=30°
,求CD的长。
例3.已知,如图,△ABC是等边三角形,E是AB上一点,D是AC上一点,且AE=CD,又BD与CE交于点F,试求∠BFE的度数。
例4已知一直角三角形两条直角边上的中线长分别为AE=5,,求其斜边AB长。
例5如图所示,点F为Rt△ABC的斜边AB上的中点,CD=FB,DF的延长线与CB的延长线相交于点E,求证:
2E=A。
例6Rt△ABC中,AB=AC,A=90°
,点D在BC上,;
M为BC中点,请判断的形状,并说明你的理由。
例7作长为的线段.
例8如图所示,已知:
∠ABD=∠C=90°
,AC=BC,∠DAB=30°
,AD=8,求BC的长.
例9若a、b、c是△ABC的三边,且满足,试判定三角形的形状.
例10如图所示,已知△DEF中,DE=17cm,EF=30cm,EF边上中线DG=8cm.求证:
△DEF是等腰三角形.
例11如图所示,已知△ABC中,AB=AC,D为BC上的任一点.
求证:
例12.(2005年安徽)
如图,已知AB∥DE,AB=DE,AF=DC,请问图中有哪几对全等三角形?
并任选其中一对给予证明。
例13.如图,B是AC上一点,DA⊥AC,EC⊥AC,DB=BE。
问:
在条件中再补充一个什么等量关系,可以得到△DAB≌△BCE,并加以证明。
【综合练习】
一.填空题
1.直角三角形中,斜边及其中线之和为6,那么该三角形的斜边长为。
2.已知,Rt△ABC中,BD为斜边AC上的中线,若∠A=35°
,那么∠DBC=。
3.已知,Rt△ABC中,CD是斜边AB上的高,若∠ACD=35°
4.△ABC中,∠C=90°
,AB=c,BC=a,AC=b,c=34,a∶b=8∶15,则a=。
5.在Rt△ABC中,E是斜边AB上的一点,把Rt△ABC沿CE折叠,点A与点B恰好重合.如果AC=4cm,那么AB=___________.
二.选择题
6、等腰三角形的腰长为,底角等于30°
,那么底边长为()
A.B.3C.6D.6
7、如图,BE、CD分别是△ABC的两条边上的高,M是BC的中点,则△DEM是()
A.不等边三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等边三角形
8、如图所示,△ABC为等边三角形,DE⊥AB,DF⊥AC,DE=19,DF=89,则△ABC的周长为()
A.216 B. C.648 D.
三、解答题
1.已知,如图,D、E是BC上两点,AB=AC,AD=AE,求证:
BD=CE
2.已知,如图,△ABC中,AB=AC,D是AB上一点,E是AC延长线上一点,DE交BC于F,又BD=CE,求证:
DF=EF
3.已知,如图,D是BC上一点,△ABC、△BDE都是等边三角形,求证:
AD=CE
4.已知,如图,△ABC中,∠B=90°
,AC的垂直平分线交AC于D,交BC于E,又∠C=15°
,EC=10,求AB的长。
5、某块绿地形状如图所示,其中∠A=60°
,AB⊥BC,AD⊥CD,AB=200,CD=100,求AD、BC的长。
6、如图所示,已知:
∠B=∠D=90°
,∠A=60°
,AB=4,CD=2,求四边形ABCD的面积.
7、如图所示,已知正方形ABCD中,E是BC边的中点,F在CD上,且DF=3CF,求证:
AE⊥EF.
8、如图所示,△ABC中,2AD=DC,且,求AB及高AE.
9、在正方形ABCD中,F是AD上一点,且,E是CD的中点.
BE⊥EF.
10.已知:
如图,AC⊥OB,BD⊥OA,OB=OA,求证:
BC=AD。