江干区初中数学小能手竞赛试卷Word格式.doc
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EF是折痕，若BD<
DC，则下列判断：
△CDE∽△BFD，
△CDE∽△AEF，△CDE∽△DEF，△AEF≌△DEF，（第5题）
正确的判断有
（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个
6．某种饮料由牛奶和橙汁按一定的质量比配置而成，牛奶和橙汁的市场价的比为
1：
6，由此确定价格.今年尽管牛奶价格下降15%，橙汁价格上升10%，但这
种饮料的成本不变，由此可知这种饮料中橙汁的质量占
（A）20%（B）25%（C）30%（D）35%
二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）
7．如图，⊙O的直径AB与弦EF相交于点P，交角为
45°
，若=8，则AB等于▲.（第7题）
8．直线与直线L成轴对称，对称轴是直线，请写出直线L的函
数解析式：
▲.
9．根据锐角三角函数的定义，我们知道，对于任何锐角，都有.
如果关于x的方程有
实数根，那么锐角的取值范围是▲.
10．如图，在□ABCD中，∠B=60°
，AE⊥BC，
AF⊥CD，E，F为垂足.设□ABCD的面积为（第10题）
S，则△AEF的面积为▲.
11．如图，AD是Rt△ABC的斜边BC上的高线，要使
△ACD的面积是△ABC和△ABD面积的比例中项，
请你添加一个适当的条件：
▲.
12．满足a＋b＋c=0，abc=8的三个实数a，b，c中，最（第11题）
大的一个实数至少等于▲.
三、解答题（本题有4小题，共60分）
要求有解答过程，书写规范
13．（12分）如图，P为正方形ABCD内的一点，画
□PAHD，□PBEA，□PCFB，□PDGC，请证明：
以E，F，G，H为顶点的四边形是正方形.
14．（12分）把自然数按下图的次序排在直角坐标系中，
每个自然数就对应着一个坐标.例如1的对应点是（第13题）
原点（0，0），3的对应点是（1，1），16的对应点是（－1，2）.那么，2004的对应点的坐标是什么？
（第14题）
15．（18分）如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，
EF⊥EC，交AB于点F，连结CF.
（1）图中的哪些三角形相似？
请证明你的判断；
（2）当矩形ABCD满足什么条件时，图中所有的
三角形都两两相似？
请说明理由.
（第15题）
16．（18分）设a，b，c都是正整数，关于x的方程有两个小于1
的不等正数根.
（1）求证：
中一个小于，另一个大于；
（2）求出a的最小值.
初三答题卷
题号
一
二
三
总分
1～6
7～12
13
14
15
16
得分
1
2
3
4
5
6
答案
阅卷人
7
8
9
10
11
12
13．（12分）
14．（12分）
15．（16分）
16．（18分）
初三参考解答和评分标准
一、选择题（每小题5分，共30分）
1．B
设物体的准确质量为x，左右两臂长分别为a，b，则.
两式相乘，约去正数ab，得.
2．A
显然，由，得，所以；
由a－b＋c<
0得；
由a＋b＋c>
0得a＋b>
－c>
0，因此.
综上所述，仅有为正数.
3．C
正常的时钟，分针与时针重合一次的时间为分，因此，工人一天实
际工作时间为（小时），超过（小时）.
少付工资元
4．D
第k＋1条直线与前面的k条直线都相交，且不经过原有的任何一个交点，因此
把前k条直线为边界的（k＋1）个区域一分为二，增加了（k＋1）个区域，结
果区域总数成为n＋k＋1.
5．B
只有两个判断正确：
△CDE∽△BFD，△AEF≌△DEF.
6．A
不妨认为牛奶价格为1，橙汁价格为6，调价后，牛奶价格为85%，橙汁价格为
110%.设这种饮料是由x单位的牛奶与y单位的橙汁配置而成，则
，
化简得，即橙汁占20%.
二、填空题（每小题5分，共30分）
7．4
作E关于AB的对称点G，则PG=PE，PG⊥PE，
.
但FG所对的圆周角为45°
，所以FG所对的圆心角为90°
，圆的半径为2.
8．
直线经过点（0，－3）和（1，－1），因此L经过点（－3，0）和
（－1，1）
9．30°
由得
但.
10.
由△ABE∽△ADF得,即，
易证∠B=∠EAF，可知△AEF∽△ABC，相似比为.
但△ABC的面积为，所以△AEF的面积为.
11．有多种答案，如①AB=CD；
②AC2=AB.BC；
③AD2=BD.AB④CD2=AC.AD；
⑤AB2=AD.AC；
⑥CD2=BC.BD等等
12．
由条件知a，b，c三个数必有一正两负，不妨认为c>
0，则c是最大数.把条件
化为，则a，b是方程的实数根，于是
三、解答题（共60分）
如图，PH，PG分别与AD，CD相交于M，N，
根据平行四边形的性质，M平分AD和PH，N
平分CD和PG，因此MN是△PHG的中位线.
所以HG∥MN，HG=2MN.（6分）
顺次连接正方形ABCD各边中点得正方形MNLK，
同理可证：
GF∥NL，GF=2NL；
FE∥LK，FE=2LK；
EH∥KM，EH=2KM.
所以E，F，G，H是正方形的四个顶点.（6分）
观察图的结构，发现所有奇数的平
方数都在第四象限的角平分线上.
（4分）
由得n=23，
所以2025的坐标为（45，－45）.
图中纵坐标为－45的数共有46个，2004=2025－21，45－21=24，
所以2004的坐标是（24，－45）.（4分）
15．（18分）
（1）图中△AEF，△ECF和△DCE两两相似.（4分）
设FE与CD的延长线交于G，因为E是AD的中点，
CE⊥EF，所以
△AEF≌△DEG，△CEF≌△CEG.（4分）
Rt△CEG中ED⊥CG，
所以△CED，△EGD都与△CGE相似，
所以判断△AEF，△ECF和△DCE两两相似为真.（4分）
（2）要使图中三角形全部相似，根据
（1），只要使△ECF∽△FCB，
但这两个直角三角形有公共斜边，所以△ECF≌△ECB，
又因为AB与CE不平行，所以∠2=∠3，但∠2=∠1，所以∠1=30°
.（3分）
∴ED：
CD=1：
要使图中三角形全部相似的条件是AD：
CD=2：
.（3分）
（1）根据韦达定理，，
，（2分）
∵
∴，
而a，b，c都是正整数，∴，∴，
即.（4分）
但b，c是正整数，4c－2b是偶数，∴.
又∵，
一个小于，另一个大于.（4分）
（2）解法一：
∵∴，但是正整数的平方数，
∴.∵（2分）
当b=3时，只有方程有实数根，但根x=1不小于1，∴b>
3;
（1分）
当b=4时，a>
2，只有方程有实数根，但根x=1不小于1，
∴b>
4;
（1分）
当b=5时，a>
2，只有方程，
有实数根，但前三个方程都有一根不小于1，如第一个方程的
根第二、三个方程的根x=1，
但是方程的两根都符合条件.（2分）
当b=6，7时，a>
3，有实数根的方程有
它们各有一根
不小于1，而当b=8时，a>
4.
∴a的最小值为5.（2分）
解法二：
∵，∴，且，
，同理.
.（2分）
于是，根据韦达定理，.
∵a是正整数，∴，
∵当x=1时，是正整数的完全平方，
∴，猜测a的最小值是5.（4分）
事实上，当a=5时，发现方程的根确是小于1的正数，因此可以判断a的最小值等于5.（2分）
初三竞赛试卷第14页（共14页）
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