工程数学(本)期末复习Word文件下载.doc

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　　⒉掌握方阵乘积行列式定理。

是同阶方阵，则有：

若是阶行列式，为常数，则有：

　　⒊了解零矩阵，单位矩阵，数量矩阵，对角矩阵，上（下）三角矩阵，对称矩阵，初等矩阵的定义及性质。

　　⒋理解可逆矩阵和逆矩阵的概念及性质，掌握矩阵可逆的充分必要条件。

若为阶方阵，则下列结论等价

可逆满秩存在阶方阵使得

　⒌熟练掌握求逆矩阵的初等行变换法，会用伴随矩阵法求逆矩阵，会解简单的矩阵方程。

用初等行变换法求逆矩阵：

用伴随矩阵法求逆矩阵：

（其中是的伴随矩阵）

可逆矩阵具有以下性质：

　⒍了解矩阵秩的概念，会求矩阵的秩。

将矩阵用初等行变换化为阶梯形后，所含有的非零行的个数称为矩阵的秩。

第3章：

线性方程组

　⒈了解向量的概念及线性运算，了解向量组线性相关与线性无关的概念，会判断向量组的线性相关性。

对于向量组，若存在一组不全为零的常数，使得

则称向量组线性相关，否则称线性无关。

　⒉了解极大线性无关组和向量组秩的概念，掌握其求法。

向量组的一个部分组如满足

⑴线性无关；

⑵向量组中的任一向量都可由其线性表出。

则称这个部分组为该向量组的一个极大线性无关组。

　⒊理解线性方程组的相容性定理及齐次线性方程组有非零解的充分必要条件，掌握齐次与非齐次线性方程组解的情况的判别方法。

线性方程组有解的充分必要条件是：

。

元齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是：

　⒋熟练掌握齐次线性方程组基础解系和通解的求法。

⒌了解非齐次线性方程组解的结构，熟练掌握求非齐次线性方程组通解的方法。

第4章：

矩阵的特征值及二次型

⒈理解矩阵的特征值、特征多项式及特征向量的定义，掌握特征值与特征向量的求法。

设为阶方阵，若存在数和非零维向量，使得

则称数为的特征值，称为相应于特征值的特征向量。

称为的特征多项式，的特征值就是特征方程的根。

⒉了解矩阵相似的定义，了解相似矩阵的性质。

设都是阶方阵，若存在可逆方阵，使得

则称是的相似矩阵，或称与相似，记为。

相似矩阵有相同的特征多项式，因而有相同的特征值。

⒊了解正交矩阵的定义和性质，掌握实对称矩阵对角化的方法。

若阶方阵满足

则称是正交矩阵。

⒋理解二次型定义、二次型的矩阵表示、二次型的标准形的矩阵描述，掌握用配方法化二次型为标准形的方法。

⒌了解正定矩阵的概念，掌握正定矩阵的判定。

随机事件与概率

⒈了解随机事件的概念。

学习随机事件的概念时，要注意它的两个特点：

⑴在一次试验中可能发生，也可能不发生；

即随机事件的发生具有偶然性。

⑵在大量重复试验中，随机事件的发生具有统计规律性。

⒉掌握随机事件的关系和运算，掌握概率的基本性质。

要了解必然事件、不可能事件的概念，事件间的关系是指事件之间的包含、相等、和、积、互斥（互不相容）、对立、差等关系和运算。

在事件的运算中，要特别注意下述性质：

概率的主要性质是指

①对任一事件，有

②

③对于任意有限个或可数个事件，若它们两两互不相容，则

⒊了解古典概型的条件，会求解简单的古典概型问题。

在古典概型中，任一事件的概率为

其中是所包含的基本事件个数，是基本事件的总数。

⒋熟练掌握概率的加法公式和乘法公式，理解条件概率，掌握全概公式。

⑴加法公式：

对于任意事件，有

特别地，当时有

⑵条件概率：

对于任意事件，若，有

称为发生的条件下发生条件概率。

⑶乘法公式：

（此时）

或（此时）

⑷全概公式：

事件两两互不相容，且，则

⒌理解事件独立性概念，会进行有关计算。

若事件满足

（当时）

或（当时）

则称事件与相互独立。

与相互独立的充分必要条件是

随机变量极其数字特征

⒈理解随机变量的概率分布、概率密度的概念，了解分布函数的概念，掌握有关随机变量的概率计算。

常见的随机变量有离散型和连续型两种类型。

离散型随机变量用概率分布来刻画，满足：

①

连续型随机变量用概率密度函数来刻画，满足：

随机变量的分布函数定义为

对于离散型随机变量有

对于连续型随机变量有

⒉了解期望、方差与标准差的概念，掌握求随机变量期望、方差的方法。

⑴期望：

随机变量的期望记为，定义为

（离散型随机变量，是的概率分布）

（连续型随机变量，是的概率密度）

⑵方差：

随机变量的方差记为，定义为

（离散型随机变量）

（连续型随机变量）

⑶随机变量函数的期望：

随机变量是随机变量的函数，即，若存在，则在两种形式下分别表示为

由此可得方差的简单计算公式

⑷期望与方差的性质

①若为常数，则

②若为常数，则

③若为常数，则

⒊掌握几种常用离散型和连续型随机变量的分布以及它们的期望与方差。

熟练掌握正态分布的概率计算，会查正态分布表（见附表）。

常用分布：

⑴二项分布的概率分布为

特别地，当时，，叫做两点分布。

⑵均匀分布的密度函数为

⑶正态分布的密度函数为

其图形曲线有以下特点：

①，即曲线在x轴上方。

②，即曲线以直线为对称轴，并在处达到极大值。

③在处，曲线有两个拐点。

④当时，，即以轴为水平渐近线。

特别地，当时，，表示是服从标准正态分布的随机变量。

将一般正态分布转化为标准正态分布的线性变换：

若，令，则，且Y的密度函数为

服从标准正态分布的随机变量的概率为

那么一般正态分布的随机变量的概率可以通过下列公式再查表求出

常见分布的期望与方差：

二项分布：

均匀分布：

正态分布：

⒋了解随机变量独立性的概念，了解两个随机变量的期望与方差及其性质。

对于随机变量，若对任意有

则称与相互独立。

对随机变量，有

若相互独立，则有

统计推断

⒈理解总体、样本，统计量等概念，知道分布，分布，会查表。

所研究对象的一个或多个指标的全体称为总体，组成整体的基本单位称为个体，从总体中抽取出来的个体称为样品，若干个样品组成的集合称为样本。

样本中所含的样品个数称为样本容量。

统计量就是不含未知参数的样本函数。

⒉掌握参数的最大似然估计法。

最大似然估计法：

设是来自总体（其中未知）的样本，而为样本值，使似然函数

达到最大值的称为参数的最大似然估计值。

一般地，的最大似然估计值满足以下方程

⒊了解估计量的无偏性，有效性概念。

参数的估计量若满足

则称为参数的无偏估计量。

若都是的无偏估计，而且，则称比更有效。

⒋了解区间估计的概念，熟练掌握方差已知条件下单正态总体期望的置信区间的求法，掌握方差未知条件下单正态总体期望的置信区间的求法。

当置信度确定后，方差已知条件下单正态总体期望的置信区间是

其中是总体标准差，是样本均值，是样本容量，由确定。

方差未知条件下单正态总体期望的置信区间是

其中称为样本标准差，满足。

⒌知道假设检验的基本思想，掌握单正态总体均值的检验方法，会作单正态总体方差的检验方法。

单正态总体均值的检验方法包括检验法和检验法。

⑴检验法：

设是正态总体的一个样本，其中未知，已知。

用检验假设（是已知数），。

选取统计量（其中），。

对给定的显著性水平，查标准正态分布数值表得到，使得

因为，故若，相当于小概率事件发生了，则拒绝（即接受）；

否则接受（此时称相容）。

⑵检验法：

设是正态总体的一个样本，其中,均未知。

选取统计量（其中，称为的样本方差，它是的无偏估计量），服从自由度为的分布。

对给定的显著性水平，查分布的临界值表得到临界值，使得

若，相当于小概率事件发生了，则拒绝（即接受）；

工程数学（本）样题

一、单项选择题（每小题3分，本题共21分）

　1.设，则（　）．

　　（A）4（B）－4　　（C）6（D）－6

　2.已知，则（）．

　　（A）（B）

　　（C）（D）

　3.向量组的极大线性无关组是（）．

　　（A）（B）

　　（C）（D）

　4.若是线性方程组的解，是线性方程组的解，则有（）．

　　（A）是的解（B）是的解

　　（C）是的解（D）是的解

　5.设为阶矩阵，若等式（　）成立，则称和相似．

　　（A）（B）

　　（C）（D）

　6.若随