周矶中学圆的证明与计算第1问证切线(连半径证垂直)第2问计算Word格式文档下载.doc

周矶中学圆的证明与计算第1问证切线(连半径证垂直)第2问计算Word格式文档下载.doc

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∴。

∴

∴cos∠BCA=cos∠POA=。

【考点】切线的判定和性质，平行的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数的定义，勾股定理，切线长定理。

【分析】

（1）连接OB、OP，由，且∠D=∠D，根据三角形相似的判定得到△BDC∽△PDO，可得到BC∥OP，易证得△BOP≌△AOP，则∠PBO=∠PAO=90°

（2）设PB，则BD=，根据切线长定理得到PA=PB，根据勾股定理得到AD=，又BC∥OP，得到DC=2CO，得到，则，利用勾股定理求出OP，然后根据余弦函数的定义即可求出cos∠BCA=cos∠POA的值。

2.（内蒙古巴彦淖尔、赤峰12分）如图，等圆⊙O1和⊙O2相交于A,B两点，⊙O2经过⊙O1的圆心O1,两圆的连心线交⊙O1于点M，交AB于点N,连接BM,已知AB=2。

（1）求证：

BM是⊙O2的切线；

（2）求的长。

【答案】解

（1）证明：

连结O2B，

∵MO2是⊙O1的直径，∴∠MBO2=90°

∴BM是⊙O2的切线。

（2）∵O1B=O2B=O1O2，∴∠O1O2B=60°

∵AB=2，∴BN=，∴O2B=2。

∴===。

【考点】切线的判定和性质，相交两圆的性质，锐角三角函数，特殊角的三角函数值，弧长的计算。

（1）连接O2B，由MO2是⊙O1的直径，得出∠MBO2=90°

从而得出结论：

BM是⊙O2的切线。

（2）根据O1B=O2B=O1O2，则∠O1O2B=60°

，再由已知得出BN与O2B，从而计算出弧AM的长度。

3.（2012浙江省义乌市，20，8分）如图,已知AB是⊙O的直径,点C、D在⊙O上,

点E在⊙O外,∠EAC=∠D=60°

.

（1）求∠ABC的度数；

（2）求证：

AE是⊙O的切线；

（3）当BC=4时，求劣弧AC的长.

【解析】

（1）根据相等的弧长对应的圆周角相等，得∠ABC=∠D=60°

（2）直径对应的圆周角为直角，则由三角形内角和为180°

，得出∠BAC的大小，继而得出∠BAE的大小为90°

，即AE是⊙O的切线。

（3）由题意易知，△OBC是等边三角形，则由劣弧AC对应的圆心角可求出劣弧AC的长。

3．解：

（1）∵∠ABC与∠D都是弧AC所对的圆周角

∴∠ABC=∠D=60°

…………2分

（2）∵AB是⊙O的直径

∴∠ACB=90°

……………………………………3分

∴∠BAC=30°

∴∠BAE=∠BAC＋∠EAC=30°

＋60°

=90°

…………………4分

即BA⊥AE

∴AE是⊙O的切线…………………………………………………………5分

O

A

B

C

D

E

（3）如图，连结OC

∵OB=OC,∠ABC=60°

∴△OBC是等边三角形

∴OB=BC=4,∠BOC=60°

∴∠AOC=120°

…………………7分

∴劣弧AC的长为…………………………………………8分

【点评】此题考查圆弧的长与其对应的圆心角、圆周角的关系，及三角形的内角和为180°

相等的弧长对应的圆周角、圆心角相等．

4.（2012年浙江省宁波市,23,8）如图在△ABC中,BE是它的角平分线,∠C=900,D在AB边上,以DB为直径的半圆O经过点E交BC于点F.

（1）求证:

AC是⊙O的切线;

（2）已知sinA=,⊙O的半径为4,求图中阴影部分的面积.

【解析】1）连接OE，∵OB=OE∴∠OBE=∠OEB.∵BE是△ABC角平分线,∴∠OBE=∠EBC,∴∠OEB=∠EBC,∴OE∥BC,∵∠C=900,∴∠AEO=∠C=900,∴AC是⊙O切线.

连接OF．

∵sinA=，∴∠A=30°

∵⊙O的半径为4，∴AO=2OE=8，

∴AE=4，∠AOE=60°

，∴AB=12，

23题图

∴BC=AB=6AC=6，

∴CE=AC-AE=2．

∵OB=OF，∠ABC=60°

，∴△OBF是正三角形．

∴∠FOB=60°

，CF=6-4=2，∴∠EOF=60°

．

∴S梯形OECF=（2+4）×

2=6．

S扇形EOF=60π×

42÷

360=π`

∴S阴影部分=S梯形OECF-S扇形EOF6-π`

（1）连接OE，∵OB=OE∴∠OBE=∠OEB.∵BE是△ABC角平分线,∴∠OBE=∠EBC,∴∠OEB=∠EBC,∴OE∥BC,∵∠C=900,∴∠AEO=∠C=900,∴AC是⊙O切线.

（2）6-π`

【点评】本题考查了切线的判定与性质及扇形面积的计算，解题的关键是连接圆心和切点，利用过切点且垂直于过切点的半径来判定切线．

5.（2012山东省聊城，24，10分）如图，⊙O是△ABC外接圆，AB=AC=10，BC=12，P是弧上一动点，过点P作BC的平行线交AB延长线与点D.

（1）当点P在什么位置时，DP是⊙O的切线？

说明理由.

（2）当DP是⊙O的切线时，求DP的长.

解析：

（1）根据PD//BC，可以天加辅助线由切线判定定理解题；

（2）根据勾股定理与垂径定理求出⊙O半径r，再结合△ABE∽△ADP即可.

解：

（1）当P是BC中点时，DP是⊙O的切线.理由如下：

∵AB=AC，∴

又

∴PA是⊙O的直径.

又AB=AC，∴PA⊥BC.

∵DP//BC，∴PD⊥AP.

∴DP是⊙O的切线.

（2）连接OB，设PA交BC于点E.

由垂径定理得，BE=.

在Rt△ABE中，据勾股定理，.

设⊙O的半径为r，则OE=8-r.

在Rt△OBE中，.

解得r=.

∵DP//BC，∴∠ABE=∠D.

又∵∠1=∠1，∴△ABE≌△ADP.

，即，

∴DP=

点评：

本题是一道综合试题，以圆为载体考查了圆的基本知识、圆的切线、平行线、勾股定理、相似三角形、方程思想等，解题要冷静、细心、充分拓展数学核心知识，达到灵活解决问题.

6．（2012山东德州中考,21,10,）如图，点A，E是半圆周上的三等分点，直径BC=2，，垂足为D，连接BE交AD于F，过A作∥BE交BC于G．

（1）判断直线AG与⊙O的位置关系，并说明理由．

（2）求线段AF的长．

F

G

21．【解析】

（1）由题意可知点A是弧ＢＥ的中点，由垂径定理即可得出：

OA⊥BE，又∵AG∥BE，∴OA⊥AG．所以AG和⊙O的半径垂直，直线AG与⊙O的位置关系相切．

（2）要求AF的长，先由已知得出△AOB为等边三角形；

在求出AD、BD的长，在Rt△BDF中由三角函数求出DF的值，然后求出AF=ADDF．

（1）AG与⊙O相切.………………………………（1分）

证明：

连接OA，∵点A，E是半圆周上的三等分点，

∴弧BA、AE、EC相等，

∴点A是弧BE的中点，

∴OA⊥BE．

又∵AG∥BE，

∴OA⊥AG．

∴AG与⊙O相切．………………………………（5分）

（2）∵点A，E是半圆周上的三等分点，

∴∠AOB=∠AOE=∠EOC=60°

又OA=OB，

∴△ABO为正三角形．……………………………（6分）

又AD⊥OB，OB=1，

∴BD=OD=，AD=．………………………………（8分）

又∠EBC==30，

在Rt△FBD中，FD=BDtan∠EBC=BDtan30°

=，

∴AF=ADDF=-=．………………………………（10分）

【点评】本题综合考查了圆与解直角三角形的相关知识，垂径定理和三角函数的定义考查是中考中的常考问题之一，需要重点掌握次知识．

7.（2012山东省临沂市，23，9分）如图，点A、B、C分别是⊙O上的点，∠B=600，AC=3，CD是⊙O的直径，P是CD延长线上的一点，且AP=AC.

AP是⊙O的切线；

（2）求PD的长。

（1）证明AP是⊙O的切线，连接OA，只需证明半

径与直线的夹角是900，即∠PAO=900便可。

（2）CD是⊙O的直径，∴连接AD，∠ADC=900，又∠B

=600，AC=3，应用三角函数可求得PD=AD=AC∙tan300=.

（1）证明:

连接OA，∵∠B=600，∠AOC=2∠B=1200,

∵OA=OC,∴∠ACP=CAO=300,∴∠AOP=600,

又∵AP=AC.∴∠P=∠ACP=300，∴∠OAP=900，即OA⊥AP,

∴AP是⊙O的切线；

（2）CD是⊙O的直径，连接AD，∴∠CAD=900，

∴AD=AC∙tan300=.

∵∠ADC=∠B=600，∴∠PAD=∠ADC-∠P=300,∴∠P=∠PAD,

∴PD=AD=.

【点评】本题考查了切线的判定与性质：

过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线；

也考查了圆周角定理的推论以及三角函数的应用．要求学生掌握常见的解题方法，并能结合图形选择简单的方法解题．

8．（2012北京，20，5）已知：

如图，是的直径，是上一点，于点，过点作的切线，交的延长线于点，连结．

与相切；

（2）连结并延长交于点，若，求的长．

【解析】圆与直线的位置关系；

相似和三角函数

连结OC

∵OD⊥BC

所以∠EOC=∠EOB

在△EOC和△EOB中

∴△EOC≌△EOB （SAS）

∴∠OBE=∠OCE=90°

∴BE与⊙O相切

（2）解：

过点D作DH⊥AB

∵△ODH∽△OBD

∴OD：

OB=OH：

OD=DH：

BD

又∵sin∠ABC=

∴OD=6

∴OH=4，OH=5，DH=2

又∵△ADH∽△AFB

∴AH：

AB=DH：

PB

13:

18=2:

FB

∴FB=

【点评】

（1）利用全等三角形求出角度为90°

，即得到相切的结论。

（2）利用三角形相似和三角函数求出三角形各线段的长。

9．（2012浙江省温州市，22，10分）如图，△ABC中，，D是边AB上一点，且是BC边上的一点，以EC为直径的经过点D。

AB是的切线；

（2）若CD的弦心距为1，BE=EO，求BD的长。

【解析】欲证AB是的切线，只需证明OD⊥AB．欲求BD的长，只需利用特殊的三角函数值或勾股定理即可。

连结OD，

∵∠DOB=2∠DCB，

又∵∠A=2∠DCB，∴∠A=∠DOB．

∴∠A+∠B=90°

，∴∠BDO=90°

，

∴OD⊥AB，

∴AB是⊙O的切线．

（2）解法一：

过点O作OM⊥CD于点M，

∵OD=OE=BE=BO，∠BDO=90°

∴∠B=30°

，∴∠DOB=60°

∴∠DCB=30°

，∴OC=2OM=2，

∴OD