周矶中学圆的证明与计算第1问证切线(连半径证垂直)第2问计算Word格式文档下载.doc

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∴。

∴cos∠BCA=cos∠POA=。

【考点】切线的判定和性质,平行的判定和性质,全等三角形的判定和性质,相似三角形的判定和性质,锐角三角函数的定义,勾股定理,切线长定理。

【分析】

(1)连接OB、OP,由,且∠D=∠D,根据三角形相似的判定得到△BDC∽△PDO,可得到BC∥OP,易证得△BOP≌△AOP,则∠PBO=∠PAO=90°

(2)设PB,则BD=,根据切线长定理得到PA=PB,根据勾股定理得到AD=,又BC∥OP,得到DC=2CO,得到,则,利用勾股定理求出OP,然后根据余弦函数的定义即可求出cos∠BCA=cos∠POA的值。

2.(内蒙古巴彦淖尔、赤峰12分)如图,等圆⊙O1和⊙O2相交于A,B两点,⊙O2经过⊙O1的圆心O1,两圆的连心线交⊙O1于点M,交AB于点N,连接BM,已知AB=2。

(1)求证:

BM是⊙O2的切线;

(2)求的长。

【答案】解

(1)证明:

连结O2B,

∵MO2是⊙O1的直径,∴∠MBO2=90°

∴BM是⊙O2的切线。

(2)∵O1B=O2B=O1O2,∴∠O1O2B=60°

∵AB=2,∴BN=,∴O2B=2。

∴===。

【考点】切线的判定和性质,相交两圆的性质,锐角三角函数,特殊角的三角函数值,弧长的计算。

(1)连接O2B,由MO2是⊙O1的直径,得出∠MBO2=90°

从而得出结论:

BM是⊙O2的切线。

(2)根据O1B=O2B=O1O2,则∠O1O2B=60°

,再由已知得出BN与O2B,从而计算出弧AM的长度。

3.(2012浙江省义乌市,20,8分)如图,已知AB是⊙O的直径,点C、D在⊙O上,

点E在⊙O外,∠EAC=∠D=60°

.

(1)求∠ABC的度数;

(2)求证:

AE是⊙O的切线;

(3)当BC=4时,求劣弧AC的长.

【解析】

(1)根据相等的弧长对应的圆周角相等,得∠ABC=∠D=60°

(2)直径对应的圆周角为直角,则由三角形内角和为180°

,得出∠BAC的大小,继而得出∠BAE的大小为90°

,即AE是⊙O的切线。

(3)由题意易知,△OBC是等边三角形,则由劣弧AC对应的圆心角可求出劣弧AC的长。

3.解:

(1)∵∠ABC与∠D都是弧AC所对的圆周角

∴∠ABC=∠D=60°

…………2分

(2)∵AB是⊙O的直径

∴∠ACB=90°

……………………………………3分

∴∠BAC=30°

∴∠BAE=∠BAC+∠EAC=30°

+60°

=90°

…………………4分

即BA⊥AE

∴AE是⊙O的切线…………………………………………………………5分

O

A

B

C

D

E

(3)如图,连结OC

∵OB=OC,∠ABC=60°

∴△OBC是等边三角形

∴OB=BC=4,∠BOC=60°

∴∠AOC=120°

…………………7分

∴劣弧AC的长为…………………………………………8分

【点评】此题考查圆弧的长与其对应的圆心角、圆周角的关系,及三角形的内角和为180°

相等的弧长对应的圆周角、圆心角相等.

4.(2012年浙江省宁波市,23,8)如图在△ABC中,BE是它的角平分线,∠C=900,D在AB边上,以DB为直径的半圆O经过点E交BC于点F.

(1)求证:

AC是⊙O的切线;

(2)已知sinA=,⊙O的半径为4,求图中阴影部分的面积.

【解析】1)连接OE,∵OB=OE∴∠OBE=∠OEB.∵BE是△ABC角平分线,∴∠OBE=∠EBC,∴∠OEB=∠EBC,∴OE∥BC,∵∠C=900,∴∠AEO=∠C=900,∴AC是⊙O切线.

连接OF.

∵sinA=,∴∠A=30°

∵⊙O的半径为4,∴AO=2OE=8,

∴AE=4,∠AOE=60°

,∴AB=12,

23题图

∴BC=AB=6AC=6,

∴CE=AC-AE=2.

∵OB=OF,∠ABC=60°

,∴△OBF是正三角形.

∴∠FOB=60°

,CF=6-4=2,∴∠EOF=60°

∴S梯形OECF=(2+4)×

2=6.

S扇形EOF=60π×

42÷

360=π`

∴S阴影部分=S梯形OECF-S扇形EOF6-π`

(1)连接OE,∵OB=OE∴∠OBE=∠OEB.∵BE是△ABC角平分线,∴∠OBE=∠EBC,∴∠OEB=∠EBC,∴OE∥BC,∵∠C=900,∴∠AEO=∠C=900,∴AC是⊙O切线.

(2)6-π`

【点评】本题考查了切线的判定与性质及扇形面积的计算,解题的关键是连接圆心和切点,利用过切点且垂直于过切点的半径来判定切线.

5.(2012山东省聊城,24,10分)如图,⊙O是△ABC外接圆,AB=AC=10,BC=12,P是弧上一动点,过点P作BC的平行线交AB延长线与点D.

(1)当点P在什么位置时,DP是⊙O的切线?

说明理由.

(2)当DP是⊙O的切线时,求DP的长.

解析:

(1)根据PD//BC,可以天加辅助线由切线判定定理解题;

(2)根据勾股定理与垂径定理求出⊙O半径r,再结合△ABE∽△ADP即可.

解:

(1)当P是BC中点时,DP是⊙O的切线.理由如下:

∵AB=AC,∴

∴PA是⊙O的直径.

又AB=AC,∴PA⊥BC.

∵DP//BC,∴PD⊥AP.

∴DP是⊙O的切线.

(2)连接OB,设PA交BC于点E.

由垂径定理得,BE=.

在Rt△ABE中,据勾股定理,.

设⊙O的半径为r,则OE=8-r.

在Rt△OBE中,.

解得r=.

∵DP//BC,∴∠ABE=∠D.

又∵∠1=∠1,∴△ABE≌△ADP.

,即,

∴DP=

点评:

本题是一道综合试题,以圆为载体考查了圆的基本知识、圆的切线、平行线、勾股定理、相似三角形、方程思想等,解题要冷静、细心、充分拓展数学核心知识,达到灵活解决问题.

6.(2012山东德州中考,21,10,)如图,点A,E是半圆周上的三等分点,直径BC=2,,垂足为D,连接BE交AD于F,过A作∥BE交BC于G.

(1)判断直线AG与⊙O的位置关系,并说明理由.

(2)求线段AF的长.

F

G

21.【解析】

(1)由题意可知点A是弧BE的中点,由垂径定理即可得出:

OA⊥BE,又∵AG∥BE,∴OA⊥AG.所以AG和⊙O的半径垂直,直线AG与⊙O的位置关系相切.

(2)要求AF的长,先由已知得出△AOB为等边三角形;

在求出AD、BD的长,在Rt△BDF中由三角函数求出DF的值,然后求出AF=ADDF.

(1)AG与⊙O相切.………………………………(1分)

证明:

连接OA,∵点A,E是半圆周上的三等分点,

∴弧BA、AE、EC相等,

∴点A是弧BE的中点,

∴OA⊥BE.

又∵AG∥BE,

∴OA⊥AG.

∴AG与⊙O相切.………………………………(5分)

(2)∵点A,E是半圆周上的三等分点,

∴∠AOB=∠AOE=∠EOC=60°

又OA=OB,

∴△ABO为正三角形.……………………………(6分)

又AD⊥OB,OB=1,

∴BD=OD=,AD=.………………………………(8分)

又∠EBC==30,

在Rt△FBD中,FD=BDtan∠EBC=BDtan30°

=,

∴AF=ADDF=-=.………………………………(10分)

【点评】本题综合考查了圆与解直角三角形的相关知识,垂径定理和三角函数的定义考查是中考中的常考问题之一,需要重点掌握次知识.

7.(2012山东省临沂市,23,9分)如图,点A、B、C分别是⊙O上的点,∠B=600,AC=3,CD是⊙O的直径,P是CD延长线上的一点,且AP=AC.

AP是⊙O的切线;

(2)求PD的长。

(1)证明AP是⊙O的切线,连接OA,只需证明半

径与直线的夹角是900,即∠PAO=900便可。

(2)CD是⊙O的直径,∴连接AD,∠ADC=900,又∠B

=600,AC=3,应用三角函数可求得PD=AD=AC∙tan300=.

(1)证明:

连接OA,∵∠B=600,∠AOC=2∠B=1200,

∵OA=OC,∴∠ACP=CAO=300,∴∠AOP=600,

又∵AP=AC.∴∠P=∠ACP=300,∴∠OAP=900,即OA⊥AP,

∴AP是⊙O的切线;

(2)CD是⊙O的直径,连接AD,∴∠CAD=900,

∴AD=AC∙tan300=.

∵∠ADC=∠B=600,∴∠PAD=∠ADC-∠P=300,∴∠P=∠PAD,

∴PD=AD=.

【点评】本题考查了切线的判定与性质:

过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线;

也考查了圆周角定理的推论以及三角函数的应用.要求学生掌握常见的解题方法,并能结合图形选择简单的方法解题.

8.(2012北京,20,5)已知:

如图,是的直径,是上一点,于点,过点作的切线,交的延长线于点,连结.

与相切;

(2)连结并延长交于点,若,求的长.

【解析】圆与直线的位置关系;

相似和三角函数

连结OC

∵OD⊥BC

所以∠EOC=∠EOB

在△EOC和△EOB中

∴△EOC≌△EOB (SAS)

∴∠OBE=∠OCE=90°

∴BE与⊙O相切

(2)解:

过点D作DH⊥AB

∵△ODH∽△OBD

∴OD:

OB=OH:

OD=DH:

BD

又∵sin∠ABC=

∴OD=6

∴OH=4,OH=5,DH=2

又∵△ADH∽△AFB

∴AH:

AB=DH:

PB

13:

18=2:

FB

∴FB=

【点评】

(1)利用全等三角形求出角度为90°

,即得到相切的结论。

(2)利用三角形相似和三角函数求出三角形各线段的长。

9.(2012浙江省温州市,22,10分)如图,△ABC中,,D是边AB上一点,且是BC边上的一点,以EC为直径的经过点D。

AB是的切线;

(2)若CD的弦心距为1,BE=EO,求BD的长。

【解析】欲证AB是的切线,只需证明OD⊥AB.欲求BD的长,只需利用特殊的三角函数值或勾股定理即可。

连结OD,

∵∠DOB=2∠DCB,

又∵∠A=2∠DCB,∴∠A=∠DOB.

∴∠A+∠B=90°

,∴∠BDO=90°

∴OD⊥AB,

∴AB是⊙O的切线.

(2)解法一:

过点O作OM⊥CD于点M,

∵OD=OE=BE=BO,∠BDO=90°

∴∠B=30°

,∴∠DOB=60°

∴∠DCB=30°

,∴OC=2OM=2,

∴OD

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