勾股定理知识点总结、经典例题Word文件下载.doc
《勾股定理知识点总结、经典例题Word文件下载.doc》由会员分享,可在线阅读,更多相关《勾股定理知识点总结、经典例题Word文件下载.doc(11页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
方法三:
将四个全等的直角三角形分别拼成如图(3)—1和(3)—2所示的两个形状相同的正方形。
在(3)—1中,甲的面积=(大正方形面积)—(4个直角三角形面积),
在(3)—2中,乙和丙的面积和=(大正方形面积)—(4个直角三角形面积),
所以,甲的面积=乙和丙的面积和,即:
.
方法四:
如图(4)所示,将两个直角三角形拼成直角梯形。
,所以。
知识点三:
勾股定理的作用
1.已知直角三角形的两条边长求第三边;
2.已知直角三角形的一条边,求另两边的关系;
3.用于证明平方关系的问题;
4.利用勾股定理,作出长为的线段。
2.在理解的基础上熟悉下列勾股数
满足不定方程x2+y2=z2的三个正整数,称为勾股数(又称为高数或毕达哥拉斯数),显然,以x,y,z为三边长的三角形一定是直角三角形。
熟悉下列勾股数,对解题是会有帮助的:
①3、4、5②5、12、13;
③8、15、17;
④7、24、25;
⑤10、24、26;
⑥9、40、41.
如果(a,b,c)是勾股数,当t>
0时,以at,bt,ct为三角形的三边长,此三角形必为直角三角形。
经典例题透析类型一:
勾股定理的直接用法
1、在Rt△ABC中,∠C=90°
(1)已知a=6,c=10,求b,
(2)已知a=40,b=9,求c;
(3)已知c=25,b=15,求a.
思路点拨:
写解的过程中,一定要先写上在哪个直角三角形中,注意勾股定理的变形使用。
解析:
(1)在△ABC中,∠C=90°
,a=6,c=10,b=
(2)在△ABC中,∠C=90°
,a=40,b=9,c=
(3)在△ABC中,∠C=90°
,c=25,b=15,a=
总结升华:
有一些题目的图形较复杂,但中心思想还是化为直角三角形来解决。
如:
不规则图形的面积,可转化为特殊图形求解,本题通过将图形转化为直角三角形的方法,把四边形面积转化为三角形面积之差或和。
举一反三
【变式】:
如图∠B=∠ACD=90°
AD=13,CD=12,BC=3,则AB的长是多少?
【答案】∵∠ACD=90°
AD=13,CD=12
∴AC2=AD2-CD2
=132-122
=25
∴AC=5
又∵∠ABC=90°
且BC=3
∴由勾股定理可得
AB2=AC2-BC2
=52-32
=16
∴AB=4
∴AB的长是4.
类型二:
勾股定理的构造应用
2、如图,已知:
在中,,,.求:
BC的长.
思路点拨:
由条件,想到构造含角的直角三角形,为此作于D,则有
,,再由勾股定理计算出AD、DC的长,进而求出BC的长.
作于D,则因,
∴(的两个锐角互余)
∴(在中,如果一个锐角等于,
那么它所对的直角边等于斜边的一半).
根据勾股定理,在中,
.
∴.
利用勾股定理计算线段的长,是勾股定理的一个重要应用.当题目中没有垂直条件时,也经常作垂线构造直角三角形以便应用勾股定理.
举一反三【变式1】如图,已知:
,,于P.求证:
.
图中已有两个直角三角形,但是还没有以BP为边的直角三角形.因此,我们考虑构造一个以BP为一边的直角三角形.所以连结BM.这样,实际上就得到了4个直角三角形.那么根据勾股定理,可证明这几条线段的平方之间的关系.
连结BM,根据勾股定理,在中,
而在中,则根据勾股定理有
∴
又∵(已知),
∴.
在中,根据勾股定理有
,
【变式2】已知:
如图,∠B=∠D=90°
,∠A=60°
,AB=4,CD=2。
求:
四边形ABCD的面积。
分析:
如何构造直角三角形是解本题的关键,可以连结AC,或延长AB、DC交于F,或延长AD、BC交于点E,根据本题给定的角应选后两种,进一步根据本题给定的边选第三种较为简单。
延长AD、BC交于E。
∵∠A=∠60°
,∠B=90°
,∴∠E=30°
。
∴AE=2AB=8,CE=2CD=4,
∴BE2=AE2-AB2=82-42=48,BE==。
∵DE2=CE2-CD2=42-22=12,∴DE==。
∴S四边形ABCD=S△ABE-S△CDE=AB·
BE-CD·
DE=
类型三:
勾股定理的实际应用
(一)用勾股定理求两点之间的距离问题
3、如图所示,在一次夏令营活动中,小明从营地A点出发,沿北偏东60°
方向走了到达B点,然后再沿北偏西30°
方向走了500m到达目的地C点。
(1)求A、C两点之间的距离。
(2)确定目的地C在营地A的什么方向。
把实际问题中的角度转化为图形中的角度,利用勾股定理求解。
(1)过B点作BE//AD
∴∠DAB=∠ABE=60°
∵30°
+∠CBA+∠ABE=180°
∴∠CBA=90°
即△ABC为直角三角形
由已知可得:
BC=500m,AB=
由勾股定理可得:
所以
(2)在Rt△ABC中,
∵BC=500m,AC=1000m
∴∠CAB=30°
∵∠DAB=60°
∴∠DAC=30°
即点C在点A的北偏东30°
的方向
本题是一道实际问题,从已知条件出发判断出△ABC是直角三角形是解决问题的关键。
本题涉及平行线的性质和勾股定理等知识。
【变式】一辆装满货物的卡车,其外形高2.5米,宽1.6米,要开进厂门形状如图的某工厂,问这辆卡车能否通过该工厂的厂门?
【答案】由于厂门宽度是否足够卡车通过,只要看当卡车位于厂门正中间时其高度是否小于CH.如图所示,点D在离厂门中线0.8米处,且CD⊥AB,与地面交于H.
解:
OC=1米 (大门宽度一半),
OD=0.8米 (卡车宽度一半)
在Rt△OCD中,由勾股定理得:
CD===0.6米,
CH=0.6+2.3=2.9(米)>2.5(米).
因此高度上有0.4米的余量,所以卡车能通过厂门.
(二)用勾股定理求最短问题
4、国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状,目前正在全国各地农村进行电网改造,某地有四个村庄A、B、C、D,且正好位于一个正方形的四个顶点,现计划在四个村庄联合架设一条线路,他们设计了四种架设方案,如图实线部分.请你帮助计算一下,哪种架设方案最省电线.
解答本题的思路是:
最省电线就是线路长最短,通过利用勾股定理计算线路长,然后进行比较,得出结论.
设正方形的边长为1,则图
(1)、图
(2)中的总线路长分别为
AB+BC+CD=3,AB+BC+CD=3
图(3)中,在Rt△ABC中
同理
∴图(3)中的路线长为
图(4)中,延长EF交BC于H,则FH⊥BC,BH=CH
由∠FBH= 及勾股定理得:
EA=ED=FB=FC=
∴EF=1-2FH=1-
∴此图中总线路的长为4EA+EF=
3>2.828>
2.732
∴图(4)的连接线路最短,即图(4)的架设方案最省电线.
在实际生产工作中,往往工程设计的方案比较多,需要运用所学的数学知识进行计算,比较从中选出最优设计.本题利用勾股定理、等腰三角形的判定、全等三角形的性质.
【变式】如图,一圆柱体的底面周长为20cm,高AB为4cm,BC是上底面的直径.一只蚂蚁从点A出发,沿着圆柱的侧面爬行到点C,试求出爬行的最短路程.
如图,在Rt△ABC中,BC=底面周长的一半=10cm, 根据勾股定理得
(提问:
勾股定理)
∴AC===≈10.77(cm)(勾股定理).
答:
最短路程约为10.77cm.
类型四:
利用勾股定理作长为的线段
5、作长为、、的线段。
由勾股定理得,直角边为1的等腰直角三角形,斜边长就等于,直角边为和1的直角三角形斜边长就是,类似地可作。
作法:
如图所示
(1)作直角边为1(单位长)的等腰直角△ACB,使AB为斜边;
(2)以AB为一条直角边,作另一直角边为1的直角。
斜边为;
(3)顺次这样做下去,最后做到直角三角形,这样斜边、、、的长度就是
、、、。
(1)以上作法根据勾股定理均可证明是正确的;
(2)取单位长时可自定。
一般习惯用国际标准的单位,如1cm、1m等,我们作图时只要取定一个长为单位即可。
举一反三【变式】在数轴上表示的点。
可以把看作是直角三角形的斜边,,
为了有利于画图让其他两边的长为整数,
而10又是9和1这两个完全平方数的和,得另外两边分别是3和1。
如图所示在数轴上找到A点,使OA=3,作AC⊥OA且截取AC=1,以OC为半径,
以O为圆心做弧,弧与数轴的交点B即为。
类型五:
逆命题与勾股定理逆定理
6、写出下列原命题的逆命题并判断是否正确
1.原命题:
猫有四只脚.(正确)
2.原命题:
对顶角相等(正确)
3.原命题:
线段垂直