初二平行四边形的性质和判定知识点整理Word文档格式.doc

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C．AD∥BC，AB∥CD

D．对角线为AC，BO

解析：

两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可知平行四边形的两组对边平行，故选C.

答案：

C

2．平行四边形的性质

（1）平行四边形的对边平行且相等．例如：

如图①所示，在ABCD中，ABCD，ADBC.

由上述性质可得，夹在两条平行线间的平行线段相等．如图2，直线l1∥l2.AB，CD是夹在直线l1，l2间的平行线段，则四边形ABCD是平行四边形，故ABCD.

（2）平行四边形的对角相等，邻角互补．例如：

如图①所示，在ABCD中，∠ABC＝∠CDA，∠BAD＝∠BCD.∠ABC＋∠BAD＝180°

，∠ABC＋∠BCD＝180°

，∠BCD＋∠CDA＝180°

，∠BAD＋∠CDA＝180°

.

（3）平行四边形的对角线互相平分．例如：

如图①所示，在ABCD中，OA＝OC，OB＝OD.

图③

（4）经过平行四边形对角线的交点的直线被对边截得的两条线段相等，并且该直线平分平行四边形的面积．例如：

如图③所示，在ABCD中，EF经过对角线的交点O，与AD和BC分别交于点E，F，则OE＝OF，且S四边形ABFE＝S四边形EFCD.

【例2】ABCD的周长为30cm，它的对角线AC和BD交于O，且△AOB的周长比△BOC的周长大5cm，求AB，AD的长．

分析：

依题意画出图形，如图，△AOB的周长比△BOC的周长大5cm，即AO＋AB＋BO－（BO＋OC＋BC）＝5（cm）．

因为OA＝OC，OB为公共边，

所以AB－BC＝5（cm）．

由AB＋BC＝＝15（cm）可求AB，BC，

再由平行四边形的对边相等得AD的长．

解：

∵△AOB的周长比△BOC的周长大5cm，

∴AO＋AB＋BO－（BO＋OC＋BC）＝5（cm）．

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AO＝OC，∴AB－BC＝5（cm）．

∵ABCD的周长为30cm，

∴AB＋BC＝15（cm）．

∴得

∴AB＝10cm，AD＝BC＝5cm.

3．平行四边形的判定

（1）方法一：

（定义判定法）两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．

平行四边形的定义是判定平行四边形的根本方法，也是其他判定方法的基础．关于边、角、对角线方面还有以下判定定理．

（2）方法二：

两组对边分别相等的四边形是平行四边形．

如图，连接BD，由AD＝BC，AB＝CD，可证明△ABD≌△CDB，所以∠CDB＝∠ABD，∠CBD＝∠ADB，从而得到AB∥CD，AD∥BC.由定义得到四边形ABCD为平行四边形．

其推理形式为：

∵AB＝DC，AD＝BC，

∴四边形ABCD是平行四边形．

（3）方法三：

两组对角分别相等的四边形是平行四边形．

如图，由∠A=∠C，∠B=∠D，∠A+∠B+∠C+∠D=360°

，

可得∠B+∠C=180°

，∠A+∠B=180°

从而得到AB∥DC，AD∥BC.

由定义得到四边形ABCD为平行四边形，其推理形式为：

∵∠A=∠C，∠B=∠D，

（4）方法四：

对角线互相平分的四边形是平行四边形．

如图，∵OA=OC，OB=OD，

（5）方法五：

一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．

如图，∵AD∥BC，AD＝BC，

（1）判定方法可作为“画平行四边形”的依据；

（2）一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形．

【例3】已知，如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，AB∥CD，AO＝CO.四边形ABCD是平行四边形，请说明理由．

因为AB∥CD，所以∠BAC＝∠DCA.

又因为AO＝CO，∠AOB＝∠COD，

所以△ABO≌△CDO.所以BO＝DO.

所以四边形ABCD是平行四边形．

4．三角形的中位线

连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．

（2）性质：

三角形两边中点连线平行于第三边，并且等于第三边的一半．

（1）一个三角形有三条中位线，每条中位线与第三边都有相应的位置关系和数量关系；

（2）三角形的中位线不同于三角形的中线，三角形的中位线是连接两边中点的线段，而三角形的中线是连接三角形一边的中点和这边所对顶点的线段．

【例4】如图所示，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，若△ABC的周长为10cm，则△DEF的周长是__________cm.

由三角形的中位线性质得，

DF＝BC，EF＝AB，DE＝AC，

所以△DEF的周长＝×

10＝5（cm）．

5

5．两条平行线间的距离

定义：

两条平行线中，一条直线上任意一点到另一直线的距离，叫做这两条平行线间的距离．

如图所示，a∥b，点A在直线a上，过A点作AC⊥b，垂足为C，则线段AC的长是点A到直线b的距离，也是两条平行线a，b之间的距离．

（1）如图，过直线a上点B作BD⊥b，垂足为D，则线段BD的长也是两条平行线a，b之间的距离．于是由平行四边形的性质可知平行线的又一个性质：

平行线间的距离处处相等．

（2）两条平行线之间的距离是指垂线段的长度，当两条平行线的位置确定时，它们之间的距离也随之确定，它不随垂线段的位置的改变而改变，是一个定值．

【例5】如图所示，如果l1∥l2，那么△ABC的面积与△DBC的面积相等吗？

由此你还能得出哪些结论？

△ABC的面积与△DBC的面积相等．

因为l1∥l2，所以它们之间的距离是一个定值．

所以△ABC与△DBC是同底等高的两个三角形．所以S△ABC＝S△DBC.

结论：

l1上任意一点与B，C连接，构成三角形的面积都等于△ABC的面积，这样的三角形有无数个．

6．平行四边形性质的应用

平行四边形性质的应用非常广泛，可以利用它说明线段相等、证明线段平行、求角的度数、求线段的长度、求图形的周长、求图形的面积等．

对平行四边形的性质、平行线的性质、勾股定理、含30°

角的直角三角形、三角形的面积、三角形的内角和定理等知识点的理解和掌握，是解决此类问题的关键．

【例6】如图，ABCD的对角线相交于点O，过O作直线EF，并与线段AB，CD的反向延长线交于E，F，OE与OF是否相等，阐述你的理由．

OE与OF相等．

理由：

∴BE∥DF，OB＝OD，

∴∠FDO＝∠EBO，∠E＝∠F.

∴△BOE≌△DOF.

∴OE＝OF.

7．平行四边形的判定的应用

熟练掌握判定定理是平行四边形的判定的关键．已学了平行四边形的五种判定方法，记忆时要注意技巧，其中三种方法都与边有关：

（1）一种关于对边的位置关系（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）；

（2）一种关于对边的数量关系（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）；

（3）一种关于对边的数量与位置关系（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）．平行四边形的判定方法是今后解决平行四边形问题的基础知识，应该熟练掌握．

判定平行四边形的一般思路：

①考虑对边关系：

证明两组对边分别平行；

或两组对边分别相等；

或一组对边平行且相等；

②考虑对角关系：

证明两组对角分别相等；

③考虑对角线关系：

证明两条对角线互相平分．

【例7】如图，请在下列四个关系中，选出两个恰当的关系作为条件，推出四边形ABCD是平行四边形，并予以证明．（写出一种即可）

关系：

①AD∥BC，②AB＝CD，③∠A＝∠C，④∠B＋∠C＝180°

已知：

在四边形ABCD中，__________，__________；

求证：

四边形ABCD是平行四边形．

选用①③关系时，证明两组对边分别平行的四边形是平行四边形；

选用①④关系时，证明两组对边分别平行的四边形是平行四边形；

选用②④关系时，证明一组对边平行并且相等的四边形是平行四边形；

选用③④关系时，证明两组对边分别平行的四边形是平行四边形．

①③，①④，②④，③④均可，其余均不可以．举例如下：

在四边形ABCD中，①AD∥BC，③∠A＝∠C，

证明：

∵AD∥BC，∴∠A＋∠B＝180°

∵∠A＝∠C，∴∠C＋∠B＝180°

∴AB∥CD.∴四边形ABCD是平行四边形．

8．平行四边形的性质和判定的综合应用

平行四边形的性质和判定的应用主要有以下几种情况：

（1）直接运用平行四边形的性质解决某些问题，如求角的度数、线段的长、证明角相等或互补、证明线段相等或倍分关系；

（2）判定一个四边形为平行四边形，从而得到两角相等、两直线平行等；

（3）综合运用：

先判定一个四边形是平行四边形，然后再用平行四边形的性质去解决某些问题；

或先运用平行四边形的性质得到线段平行、角相等等，再判定一个四边形是平行四边形．

【例8】如图所示，在ABCD中，E，F分别是AD，BC上的点，且AE＝CF，AF与BE交于G，DF与CE交于H，连接EF，GH，试问EF与GH是否互相平分？

为什么？

EF与GH互相平分．

在ABCD中，

∵ADBC，AE＝CF，∴AECF.

∴DEBF.∴四边形AFCE，BEDF都是平行四边形．（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）

∴AF∥CE，BE∥DF.

∴四边形EGFH是平行四边形．（平行四边形的定义）

∴EF与GH互相平分．

9．三角形的中位线性质的应用

三角形的中位线的性质不仅反映了线段间的位置关系，而且还揭示了线段间的数量关系，借助三角形中位线的性质可以进行几何求值（计算角度、求线段的长度）、证明（证明线段相等、证明线段的不等、证明线段的倍分关系、证明两角相等）、作图，且能解决生活实际问题．

应用三角形中位线定理解决问题时，已知条件中往往给出两个中点，若已知条件只给出一个中点，必须要证明另一个点也是中点，才能运用此定理．

【例9】在△ABC中，AB＝12，AC＝10，BC＝9，AD是BC边上的高．将△ABC按如图所示的方式折叠，使点A与点D重合，折痕为EF，则△DEF的周长为（　　）．

A．9.5B．10.5C．11D．15.5

∵△EDF是△EAF折叠而形成的图形，

∴△EDF≌△EAF.∴∠AEF＝∠DEF.

∵AD是BC边上的高，由折叠可知AD⊥EF，

∴EF∥CB.∴∠AEF＝∠B，∠BDE＝∠DEF.

∴∠B＝∠BDE.∴BE＝DE＝AE.

∴E为AB的中点．同理点F是AC的中点．

∴EF是△ABC的中位线．

∴△DEF的周长为△EAF的周长，

即AE＋EF＋AF＝×

（AB＋BC＋AC）＝×

（12＋9＋10）＝15.5.

D

10．平行四边形的性质探究题

平行四边形是一类特殊的四边形，它的特殊性体现在对边相等、对角相等、邻角互补、对角线互相平分几方面，因此，由平行四边形可以得到很