初中数学奥数决赛试题初三Word文档格式.docx
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A.kB.C.D.
5.设a,b是正整数,满足a+b>ab,给出以下四个结论:
①a,b都不等于1;
②a,b都不等于2;
③a,b都大于1;
④a,b至少有一个等于1.其中正确的结论是()
A.①②B.②③C.③D.④
二、填空题(本大题共5个小题,每小题6分,满分30分)
1.将正方形纸片由下往上对折,再由左向右对折,称为完成一次操作(见下图).按上边规则,完成2013次操作以后,再剪去所得小正方形的左下角.问:
当展开这张正方形纸片后,一共有个小孔.
2.已知:
a≤2,那么7-3a的取值范围是
3.方程+…+=的解是.
4.一次函数的图象经过点,,则的值为.
5.设实数a,b满足不等式<,则ab的符号为.
三、解答题(共5个小题,满分40分)
1.(6分)已知,(x2+y2)2=x2+y2+12,求x2+y2的值。
2.(7分)已知:
在梯形ABCD中,AB∥CD,O是AC和BD的交点,OE∥AB交BC于有E
求证:
3.(8分)已知y=,求y的最大值.
4.(9分)已知:
△ABC中,D,E分别在BC,AC上,∠B=∠1=∠2,如果△ABC,△ADC,△EBD的周长依次为x,y,z。
5.(10分)若x为整数,在使x2+x+4为完全平方数的所有x的值中,设其最大值为a,最小值为b,次小值为c.
(1)求a、b、c的值;
(2)对a、b、c进行如下操作:
任取两个求其和再除以,同时求其差再除以,加上剩下的一个数,这样就仍得到三个数.再对所得三个数进行如上操作,问能否经过若干次上述操作,得到2012,2013,2014?
证明你的结论.
初三年级参考答案
1.D
分析:
这道题我们用整体的思想解决。
将x-2013看成一个整体,问题即转化为求方程的解,利用绝对值的代数意义我们不难得到,负数和零的绝对值等于它的相反数,所以零和任意负数都是方程的解,即本题的答案为D。
2.B
(A)3a2-3a+3=3[a(a-1)+1]只要a(a-1)+1=3,即连续数a(a-1)=2
这是可能的,a=2时(A)的值是32
用同样方法可求得(C),(D)的值可以是52,72
故选(B)
当然也可直接推出(B)一定不是正整数的平方,
∵在4[a(a+1)+1]中,连续整数的积a(a+1)≠3(连续正整数的积的个位数只能是0,2,6)
3.C.
解:
如图,当圆形纸片运动到与的两边相切的位置时,过圆形纸片的圆心作两边的垂线,垂足分别为D,E,连,则Rt△中,,,.
A
E
D
∴.有.
∵由题意,,得,
∴圆形纸片不能接触到的部分的面积为.
4.答案:
解:
,∵0<k<1,∴<0,该一次函数的值随x的增大而减小,当1≤x≤2时,最大值为.
5.答案:
由a+b>ab,得(a-1)(b-1)<
1.因为a,b是正整数,所以(a-1)(b-1)=0,故a和b中至少有一个为1.
1.42012
通过操作可以知道:
按规则完成一次操作,展开后的正方形纸片上共有40=1个小孔;
按规则完成两次,展开后的正方形共有41=4个小孔;
按规则3次操作,展开后的正方形纸片上共有42=16个小孔;
第4次后为:
43个小孔;
根据这个规律,容易得到原题展开正方形纸片后,第2013次有:
42012个小孔,
2.7-3a≥1
①∵a≤2,
∴两边乘以-3,得-3a≥-6
两边加上7,得7-3a≥7-6
∴7-3a≥1
3..
∵=-,=-,…,
=-
∴原方程可化为:
+-+-+…+-=
即:
=,解得:
x=,
4.13-6
可求得.
原式=
5.ab<
∵不等式两边都是非负数,∴两边平方不等号方向不变
两边平方得,a2-2(a+b)+(a+b)2<
a2-2a(a+b)+(a+b)2
化简,得(a+b)>
a,可知a≠0,a+b≠0
两边除以得,a+b>
显然不等式要成立,只有,故a<
由此得a+b>
-,显然只有a+b>
0,
又∵a<
0,故b>
∴a,b的符号是:
a<
0,b>
∴ab<
1.解:
(x2+y2)2-(x2+y2)-12=0…………………1分
(x2+y2-4)(x2+y2+3)=0…………………3分
∴x2+y2-4=0或x2+y2+3=0…………………4分
∴x2+y2=4或x2+y2=-3,但x2+y2≥0,不合题意舍去…………………5分
∴x2+y2=4…………………6分
2.证明:
………2分
=,=………4分
+===1……5分
∴…………………6分
∴…………………7分
3.分析首先使用“零点分段法”将y化简,然后在各个取值范围内求出y的最大值,再加以比较,从中选出最大者.
=|2x+6|+|x-1|-4|x+1|…………………1分
有三个分界点:
-3,1,-1.…………………2分
(1)当x≤-3时,
y=-(2x+6)-(x-1)+4(x+1)=x-1,
由于x≤-3,所以y=x-1≤-4,y的最大值是-4.…………………4分
(2)当-3≤x≤-1时,
y=(2x+6)-(x-1)+4(x+1)=5x+11,
由于-3≤x≤-1,所以-4≤5x+11≤6,y的最大值是6.…………………5分
(3)当-1≤x≤1时,
y=(2x+6)-(x-1)-4(x+1)=-3x+3,
由于-1≤x≤1,所以0≤-3x+3≤6,y的最大值是6.…………………6分
(4)当x≥1时,
y=(2x+6)+(x-1)-4(x+1)=-x+1,
由于x≥1,所以1-x≤0,y的最大值是0.…………………7分
综上可知,当x=-1时,y取得最大值为6.…………………8分
4.证明:
设BC=a,AC=b,AB=c…………………1分
∵∠1=∠2,
∴DE∥AC,
∴△ABC∽△EBD∽△DAC…………………2分
∴,即DC=…………………4分
BD=BC-DC=a-=…………………6分
∴,…………………8分
∴-+≤…………………9分
5.解:
(1)设x2+x+4=k2(k为非负整数),则有x2+x+4-k2=0,…………1分
由x为整数知其△为完全平方数,
即1-4(4-k2)=p2(p为非负整数),…………………3分
(2k+p)(2k-p)=15,
显然:
2k+p>
2k-p,
所以或,解得p=7或p=1,…………………4分
所以,得:
x1=3,x2=-4,x3=0,x4=-1,…………………5分
所以a=3,b=-4,c=-1.…………………6分
(2)因为,…………………9分
即操作前后,这三个数的平方和不变,
而32+(-4)2+(-1)2≠20122+20132+20142.所以,对a、b、c进行若干次操作后,不能得到2012,2013,2014这三个数.…………………10分