初中几何应用题解析文档格式.docx
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E点到C点的最短路线即为线段CE.
(2)水渠DC越短造价越低,当DC垂直于AB时最短,此时造价最低.
本题考点:
线段的中点,点与点的距离,点与直线的距离,以及解直角三角形的知识.
解:
(1)由题意知,从入口E到出口C的最短路线就是Rt△ABC斜边上的中线CE.
在Rt△ABC中,AB=(米).
∴CE=AB=×
100=50(米).
即从入口E到出口C的最短路线的长为50米.
(2)当CD是Rt△ABC斜边上的高时,CD最短,从而水渠的造价最低.
∵CD•AB=AC•BC(等积公式),
∴CD=米).
∴AD==64(米).
所以,D点在距A点64米的地方,水渠的造价最低,其最低造价为4810=480(元).
C
D
例2.如图,在矩形ABCD中,AB=12cm,BC=6cm,点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/s的速度移动;
点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/m的速度移动.如果P、Q同时出发,用t(s)表示移动的时间(0≤t≤6),那么
(1)当t为何值时,ΔQAP为等腰三角形?
(2)求四边形QAPC的面积;
提出一个与计算结果有关的结论.
A
B
P
Q
(1)对于任时刻的t,AP=2t,DQ=t,QA=6-t.
当QA=AP时,
ΔQAP为等腰三角形,
即6-t=2t,解得t=2(s),
∴当t=2s时,ΔQAP为等腰三角形;
(2)在ΔQAC中,QA=6-t,QA边上的高DC=12,
在ΔAPC中,AP=2t,BC=6,
∴S四边形QAPC=SΔQAC+SΔAPC=(36-6t)+6t=36(cm2).
例3.将宽度为的长方形纸片折叠成如图所示的形状,观察图中被覆盖的部分.
(1)判断是什么三角形?
F
E
A'
‘ˊˊ
1
2
3
结论:
是等腰三角形
证明:
方法一:
∵图形在折叠前和折叠后是全等的,
∴∠1=∠2,
又∵矩形的对边是平行的,∴∠1=∠3,∴∠2=∠3,
.即是等腰三角形.
方法二:
∵图形在折叠前和折叠后的形状、
大小不变,只是位置不同.
∴表示矩形宽度的线段EP和
FQ相等,即的边和
上的高相等,
∴
即是等腰三角形.
探究:
在上面的图中,标出点在折叠前对应的位置,四边形是什么四边形?
【分析】
(1)由前面的分析可知与在折叠前的位置关于折痕成轴对称,所以作关
于的对称点即可找到点(过点作⊥交矩形的边于点).
还可以动手折叠一下,用作记号的方法找到点.
Aˊ
(2)四边形是是菱形
证法一:
∵是在折叠前对应的位置,
∴和关于直线轴对称,
∴⊥,且,
又∵∥,
∴∶=∶,∴
∴四边形是是菱形
证法二:
∵是在折叠前对应的位置,
∴≌,,,
又∵是等腰三角形(已证),,
∴,
∴四边形是是菱形.
例4.在上题的图中,若翻折的角度α=30º
,求图中被覆盖的部分的面积.
α
【分析】图中被覆盖的部分是等腰三角形,其腰上的高就是原矩形的宽度2,所以,本题的解题关键就是要求出腰或的长.
课堂小结:
图形折叠问题中题型的变化比较多,但是经过研究之后不难发现其中
的规律,从今天我们对矩形折叠情况的讨论中可以得到以下几点经验:
1.图形的翻折部分在折叠前和折叠后的形状、大小不变,是全等形;
2图形的翻折部分在折叠前和折叠后的位置关于折痕成轴对称;
3.将长方形纸片折叠成如例3图示的形状,图中重叠的部分是等腰三角形;
4.解决折叠问题时,要抓住图形之间最本质的位置关系,从而进一步发现其中的数量关系;
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