人教版初中数学第二十二章二次函数知识点Word格式文档下载.docx

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时，随的增大而减小；

时，有最小值．

向下

时，有最大值．

例1．若抛物线y=ax2经过P（1，﹣2），则它也经过（）

A．（2，1）B．（﹣1，2）C．（1，2）D．（﹣1，﹣2）

【答案】

【解析】

试题解析：

∵抛物线y=ax2经过点P（1，-2），

∴x=-1时的函数值也是-2，

即它也经过点（-1，-2）．

故选D．

考点：

二次函数图象上点的坐标特征．

例2．若点（2，-1）在抛物线上，那么，当x=2时，y=_________

【答案】-1

试题分析：

先把（2，-1）直接代入即可得到解析式，再把x=2代入即可.

由题意得，，则，

当时，

本题考查的是二次函数

点评：

解答本题的关键是掌握二次函数图象上的点适合这个二次函数的关系式.

2.的性质：

上加下减.

例1．若抛物线y=ax2+c经过点P（l，－2），则它也经过（）

A．P1（－1，－2）B．P2（－l，2）C．P3（l，2）D．P4（2，1）

【答案】A

因为抛物线y=ax2+c经过点P（l，－2），且对称轴是y轴，所以点P（l，－2）的对称点是（－1，－2），所以P1（－1，－2）在抛物线上，故选：

A.

抛物线的性质.

例2．已知函数y=ax+b经过（1，3），（0，﹣2），则a﹣b=（）

A．﹣1B．﹣3C．3D．7

【答案】D．

∵函数y=ax+b经过（1，3），（0，﹣2），

∴，解得．

∴a﹣b=5+2=7．

1．直线上点的坐标与方程的关系；

2．求代数式的值．

例3．两条直线y1＝ax＋b与y2＝bx＋a在同一坐标系中的图象可能是下图中的（）

【答案】无正确答案

【解析】分析：

首先根据两个一次函数的图象，分别考虑a，b的值，看看是否矛盾即可．

解：

A、由y1的图象可知，a＜0，b＜0；

由y2的图象可知，a>

0，b<

0，两结论矛盾，故错误；

B、由y1的图象可知，a＞0，b＞0；

由y2的图象可知，a＞0，b<

0，两结论相矛盾，故错误；

C、由y1的图象可知，a>

0；

由y2的图象可知，a＜0，b＜0，两结论相矛盾，故错误；

D、由y1的图象可知，a＞0，b＞0；

由y2的图象可知，a<

0，两结论相矛盾，故错误．

故无正确答案．

此题主要考查了一次函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解题．一次函数y=kx+b的图象有四种情况：

①当k＞0，b＞0，函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限；

②当k＞0，b＜0，函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限；

③当k＜0，b＞0时，函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限；

④当k＜0，b＜0时，函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限．

22.1.3二次函数的图象和性质

左加右减.

X=h

的性质：

例1．将二次函数y=x2﹣2x﹣3化成y=（x﹣h）2+k形式，则h+k结果为（　　）

A．﹣5B．5C．3D．﹣3

y=x2-2x-3=（x2-2x+1）-1-3=（x-1）2-4．

则h=1，k=-4，

∴h+k=-3．

考点:

二次函数的三种形式．

例2．把二次函数y=x2+6x+4配方成y=a（x-h）2+k的形式，得y=___，它的顶点坐标是___．

（x+3）2-5，（-3，-5）

y=+6x+4=，则顶点坐标为（－3，－5）．

二次函数的顶点式．

例3．把二次函数配方成y＝a（x－k）2＋h的形式，并写出它的图象的顶点坐标、对称轴.

【答案】y=顶点坐标（3，-），对称轴方程x＝3

y=x2﹣3x+4=（x﹣3）2﹣，

则顶点坐标（3，﹣），对称轴方程x=3，

二次函数的图像及性质

1、二次函数图象的平移

（1）平移步骤：

方法一：

（1）将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；

（2）保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下：

（2）平移规律

在原有函数的基础上“值正右移，负左移；

值正上移，负下移”．

概括成八个字“左加右减，上加下减”．

方法二：

（1）沿轴平移:

向上（下）平移个单位，变成

（或）

（2）沿轴平移：

向左（右）平移个单位，变成（或）

例1．将二次函数y＝x2的图象向下平移一个单位，则平移以后的二次函数的解析式为（　　）

A．y＝x2－1B．y＝x2＋1

C．y＝（x－1）2D．y＝（x＋1）2

【解析】直接根据上加下减的原则进行解答即可，将二次函数y＝x2的图象向下平移一个单位，则平移以后的二次函数的解析式为：

y＝x2－1.故选A.

例2．将二次函数y=x2的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是

A．y=（x–1）2+2B．y=（x+1）2+2

C．y=（x–1）2–2D．y=（x+1）2–2

【答案】A．

原抛物线的顶点为（0，0），向右平移1个单位，再向上平移2个单位，那么新抛物线的顶点为（1，2）．可设新抛物线的解析式为y=（x﹣h）2+k，代入得y=（x﹣1）2+2．

故选A．

二次函数图象与几何变换．

例3．将二次函数的图象如何平移可得到的图象（）

A．向右平移2个单位，向上平移一个单位

B．向右平移2个单位，向下平移一个单位

C．向左平移2个单位，向下平移一个单位

D．向左平移2个单位，向上平移一个单位

【答案】C

【解析】，根据二次函数的平移性质得：

向左平移2个单位，向下平移一个单位.故选C.

例4．已知点P（﹣1，m）在二次函数y=x2﹣1的图象上，则m的值为；

平移此二次函数的图象，使点P与坐标原点重合，则平移后的函数图象所对应的解析式为．

【答案】0，y=x2﹣2x．

∵点P（﹣1，m）在二次函数y=x2﹣1的图象上，

∴（﹣1）2﹣1=m，

解得m=0，

平移方法为向右平移1个单位，

平移后的抛物线的二次函数的顶点坐标为（1，﹣1），

平移后的函数图象所对应的解析式为y=（x﹣1）2﹣1=x2﹣2x，

即y=x2﹣2x．

故答案为：

0，y=x2﹣2x．

2、二次函数与的比较

从解析式上看，与是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即，其中．

3、二次函数图象的画法

五点绘图法：

利用配方法将二次函数化为顶点式，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：

顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点、与轴的交点，（若与轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.

画草图时应抓住以下几点：

开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点.

4、二次函数的性质

1.当时，抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为．

当时，随的增大而减小；

当时，随的增大而增大；

当时，有最小值．

2.当时，抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为．当时，随的增大而增大；

当时，有最大值．

例1．当a<

0时，方程ax2+bx+c=0无实数根，则二次函数y=ax2+bx+c的图像一定在（）

A、x轴上方B、x轴下方C、y轴右侧D、y轴左侧

【答案】B

∵方程ax2+bx+c=0无实数根，∴b2+4ac<

0，即函数图形与x轴没有交点

又∵a<

0，∴二次函数y=ax2+bx+c的图像一定在x轴下方

故选B．

二次函数的性质

例2．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，则a、b、c满足（）

A、a＜0，b＜0，c＞0B、a＜0，b＜0，c＜0

C、a＜0，b＞0，c＞0D、a＞0，b＜0，c＞0

由于开口向下可以判断a＜0，由与y轴交于正半轴得到c＞0，又由于对称轴x=-＜0，可以得到b＜0，所以可以找到结果．

根据二次函数图象的性质，

∵开口向下，

∴a＜0，

∵与y轴交于正半轴，

∴c＞0，

又∵对称轴x=-＜0，

∴b＜0，

所以A正确．

二次函数图象与系数的关系．

例3．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，其对称轴x=﹣1，给出下列结果：

①b2＞4ac；

②abc＞0；

③2a+b=0；

④a+b+c＞0；

⑤a﹣b+c＜0，

则正确的结论是（）

A.①②③④B.②④⑤C.②③④D.①④⑤

【答案】D

根据抛物线与x轴有两个交点，可得△=b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，故①正确；

根据抛物线对称轴为x=﹣＜0，与y轴交于负半轴，因此可知ab＞0，c＜0，abc＜0，故②错误；

根据抛物线对称轴为x=﹣=﹣1，∴2a﹣b=0，故③错误；

当x=1时，y＞0，即a+b+c＞0，故④正确；

当x=﹣1时，y＜0，即a﹣b+c＜0，故⑤正确；

正确的是①④⑤．

二次函数图象与系数的关系

例4．如果二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，那么（）

A．a＜0，b＞0，c＞0

B．a＞0，b＜0，c＞0

C．a＞0，b＞0，c＜0

D．a＞0，b＜0，c＜0

因为抛物线开口向上，所以a＞0，又对称轴在y轴右侧，所以＞0，所以b＜0，又因为抛物线与y轴的交点在x轴下方，所以c＜0