专训2+构造全等三角形的五种常用方法Word文档格式.doc

专训2+构造全等三角形的五种常用方法Word文档格式.doc

《专训2+构造全等三角形的五种常用方法Word文档格式.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《专训2+构造全等三角形的五种常用方法Word文档格式.doc（6页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

旋转法

3．如图，在正方形ABCD中，E为BC边上一点，F为CD边上一点，BE＋DF＝EF，求∠EAF的度数．21教育网

倍长中线法

4．如图，在△ABC中，D为BC的中点．

（1）求证：

AB＋AC>

2AD；

（2）若AB＝5，AC＝3，求AD的取值范围．

截长（补短）法

5．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°

，∠B＝∠ADC＝90°

.E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°

.探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系并证明．

答案

1．证明：

如图，延长AD交BC于点F.（相当于将AB边向下翻折，与BC边重合，A点落在F点处，折痕为BE）21世纪教育网版权所有

∵BE平分∠ABC，

∴∠ABE＝∠CBE.

∵BD⊥AD，

∴∠ADB＝∠BDF＝90°

.

在△ABD和△FBD中，

∴△ABD≌△FBD（ASA）．

∴∠2＝∠DFB.

又∵∠DFB＝∠1＋∠C，

∴∠2＝∠1＋∠C.

（第1题）

2．证明：

如图，过点B作BG⊥BC交CF的延长线于点G.

∵∠ACB＝90°

，∴∠2＋∠ACF＝90°

∵CE⊥AD，

∴∠AEC＝90°

，∴∠1＋∠ACF＝180°

－∠AEC＝180°

－90°

＝90°

∴∠1＝∠2.

在△ACD和△CBG中，

∴△ACD≌△CBG（ASA）．

∴∠ADC＝∠G，CD＝BG.

∵点D为BC的中点，

∴CD＝BD.∴BD＝BG.

又∵∠DBG＝90°

，∠DBF＝45°

，

∴∠GBF＝∠DBG－∠DBF＝90°

－45°

＝45°

.∴∠DBF＝∠GBF.

在△BDF和△BGF中，

∴△BDF≌△BGF（SAS）．

∴∠BDF＝∠G.∴∠ADC＝∠BDF.

（第2题）

点拨：

本题运用了构造法，通过作辅助线构造△CBG，△BGF是解题的关键．

3．解：

如图，延长CB到点H，使得BH＝DF，连接AH.

∵∠ABE＝90°

，∠D＝90°

∴∠D＝∠ABH＝90°

在△ABH和△ADF中，

∴△ABH≌△ADF.

∴AH＝AF，∠BAH＝∠DAF.

∴∠BAH＋∠BAF＝∠DAF＋∠BAF，即∠HAF＝∠BAD＝90°

∵BE＋DF＝EF，

∴BE＋BH＝EF，即HE＝EF.

在△AEH和△AEF中，

∴△AEH≌△AEF.

∴∠EAH＝∠EAF.

∴∠EAF＝∠HAF＝45°

　（第3题）

图中所作辅助线，相当于将△ADF绕点A顺时针旋转90°

，使AD边与AB边重合，得到△ABH.

4．

（1）证明：

延长AD至点E，使DE＝AD，连接BE.

∵D为BC的中点，

∴CD＝BD.

又∵AD＝ED，∠ADC＝∠EDB，

∴△ADC≌△EDB.

∴AC＝EB.

∵AB＋BE>

AE，

∴AB＋AC>

2AD.

（2）解：

∵AB－BE<

AE<

AB＋BE，

∴AB－AC<

2AD<

AB＋AC.

∵AB＝5，AC＝3，

∴2<

8.

∴1<

AD<

4.

本题运用了倍长中线法构造全等三角形，将证明不等关系和求线段取值范围的问题通过证全等，转化到一个三角形中，利用三角形的三边关系来解决．

5．解：

EF＝BE＋FD.

证明：

如图，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG.

（第5题）

∵∠B＝∠ADC＝90°

∴∠B＝∠ADG＝90°

在△ABE与△ADG中，

∴△ABE≌△ADG.

∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG.

又∵∠BAD＝120°

，∠EAF＝60°

∴∠BAE＋∠FAD＝60°

∴∠DAG＋∠FAD＝60°

即∠GAF＝60°

，∴∠EAF＝∠GAF＝60°

在△EAF与△GAF中，

∴△EAF≌△GAF.∴EF＝GF＝FD＋DG.

∴EF＝FD＋BE.

证明一条线段等于两条线段的和的方法：

“截长法”或“补短法”．“截长法”的基本思路是在长线段上取一段，使之等于其中一短线段，然后证明剩下的线段等于另一短线段；

“补短法”的基本思路是延长短线段，使之延长部分等于另一短线段，再证明延长后的线段等于长线段．21·