中国石油大学高数22历年期末试题参考答案文档格式.docx
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所以切向量为：
，切线方程为：
；
法平面方程为：
，即.
15.（本题满分8分）求幂级数的和函数.
求得此幂级数的收敛域为，，
，设，则
即，
.
16.（本题满分6分）计算，其中为曲面被柱面所截下的有限部分.
（关于平面对称，被积函数是的奇函数）
17.（本题满分8分）计算积分，其中为曲线上从点到沿逆时针方向的一段有向弧.
，积分与路径无关，选折线+为积分路径，
其中，
18.（本题满分8分）计算，是由曲面
与平面围成的有界闭区域的表面外侧.
由高斯公式，
（利用柱面坐标变换则）
19.（本题满分8分）在第Ⅰ卦限内作椭球面的切平面，使切平面与三个坐标面所围成的四面体体积最小，求切点坐标.
设切点坐标为，则切平面的法向量为，
切平面方程为，即，
则切平面与三个坐标面所围成的四面体体积为，
令
解方程组，得，，，
故切点坐标为.
20.（本题满分6分）设均在上连续，试证明柯西不等式：
证：
设则
（关于对称）
2008—2009学年第二学期高等数学（2-2）期末试卷（A）参考答案
一．选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）.
1.设三向量满足关系式，则（）.
（A）必有;
（B）必有;
（C）当时，必有;
（D）必有（为常数）.
2.直线与平面的关系是（）.
（A）平行，但直线不在平面上;
（B）直线在平面上；
（C）垂直相交;
（D）相交但不垂直.
3.二元函数在点（0，0）处（）
（A）不连续，偏导数存在（B）连续，偏导数不存在
（C）连续，偏导数存在（D）不连续，偏导数不存在
4.已知为某二元函数的全微分，则（）.
（A）;
（B）;
（C）;
（D）.
5.设是连续函数，平面区域，则（）.
（C）;
6.设为常数，则级数（）.
（A）发散;
（B）绝对收敛;
（C）条件收敛;
（D）收敛性与的值有关.
二．填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分）.
1.设函数，向量，点，
则
2.若函数在点处取得极值，则常数
3.为圆的一周，则
4.设，级数的收敛半径为
5.设，则
6.设是以为周期的周期函数，它在区间上的定义为，
则的以为周期的傅里叶级数在处收敛于
三．解答下列各题（本题共7小题，满分44分）.
1.（本小题6分）设是可微函数，，求.
解题过程是：
令，则，，
2.（本小题6分）计算二重积分，其中.
关于轴对称，被积函数关于是奇函数，，
故
3.（本小题6分）设曲面是由方程所确定，求该曲面在点处的切平面方程及全微分.
令，，，，则
所求切平面的法向量为：
，切平面方程为：
，，
4.（本小题6分）计算三重积分，其中是由柱面及，所围成的空间区域.
利用柱面坐标变换，
5.（本小题6分）求，其中为曲面，方向取下侧.
补
与所围立体为
由高斯公式，得，
6.（本小题7分）求幂级数的收敛域及和函数.
因为，故收敛区间为；
时，极限，级数均是发散的；
于是收敛域为，
7.（本小题7分）例1计算，为立体的边界.
设，其中为锥面，为部分，
在面的投影为.，，
四．证明题（8分）.
设函数在内具有一阶连续导数，是上半平面内的有向分段光滑曲线，其起点为，终点为，记，
（1）证明曲线积分与路径无关;
（2）当时，求的值.
证明:
（1）记，，
成立，积分与路径无关.
（2）由于积分与路径无关，选取折线路径，由点起至点，再至终点，则
2009—2010学年第二学期高等数学（2-2）期末试卷（A）参考答案
一、填空题（）
1.若向量两两互相垂直，且，则
2．设函数，求
3.设函数为连续函数, 改变下列二次积分的积分顺序：
4.计算
5.幂级数的收敛域为：
6.设函数
的傅里叶级数为：
，
则其系数
二、选择题（）
1．直线与平面的位置关系是（）
（A）直线在平面内；
（B）垂直；
（C）平行；
（D）相交但不垂直.
2.设函数,则（）
（A）在原点有极小值；
（B）在原点有极大值；
（C）在点有极大值；
（D）无极值.
3.设是一条无重点、分段光滑，且把原点围在内部的平面闭曲线，的方向为逆时针方向，
则（）
（A）；
（B）；
（C）；
4.设为常数，则级数（）
（A）绝对收敛；
（B）发散；
（C）条件收敛；
（D）敛散性与值有关.
三、计算题（7+7+7+7+6+8=42分）
1.设讨论在原点处是否连续，并求出两个偏导数和.（7分）
令，随的取值不同，其极限值不同，
不存在，故在原点不连续；
2.计算其中是由上半球面和锥面
所围成的立体.（7分）
作球面坐标变换：
则
，
3.求锥面被柱面所割下部分的曲面面积.（7分）
锥面：
4.计算曲面积分，其中是由，，
围在第一卦限的立体的外侧表面.（7分）
设为所围立体，由Gauss公式，
作柱面坐标变换：
则
5.讨论级数的敛散性.（6分）
收敛.
6.把级数的和函数展成的幂级数.（8分）
设级数的和函数为，则
即
四、设曲线是逆时针方向圆周是连续的正函数，
证明：
.（8分）
设由Green公式，
（而关于对称）
即.
2010-1011学年第二学期高等数学（2-2）期末考试A卷参考答案
一.填空题（共4小题，每小题4分，共计16分）
1．.
2．设,则=.
3．设函数以为周期，为的的傅里叶级数的和函数，则.
4．设曲线为圆周,则曲线积分=.
二.选择题（共4小题，每小题4分，共计16分）
1.设直线为平面为,则（C）.
（A）平行于平面（B）在平面上
（C）垂直于平面（D）与相交，但不垂直
2．设有空间区域，则等于（B）.
（A）（B）（C）（D）
3．下列级数中，收敛的级数是（C）.
（A）（B）
（C）（D）
4.设是正项级数，则下列结论中错误的是（D）
（A）若收敛，则也收敛（B）若收敛，则也收敛
（C）若收敛，则部分和有界（D）若收敛，则
三．计算题（共8小题，每小题8分，共计64分）
1．设函数具有二阶连续偏导数，，求.
2．求函数在曲线上点（1,2）处，沿着曲线在该点偏向轴正向的切线方向的方向导数.
曲线在点（1,2）处的切向量，
函数在点（1,2）沿方向的方向导数为
3．计算其中.
解=
4.设立体由锥面及半球面围成.已知上任一点处的密度与该点到平面的距离成正比（比例系数为），试求立体的质量.
由题意知密度函数
法1：
质量=
.
法2：
法3：
5．计算曲线积分，其中是曲线沿逆时针方向一周.
.
6.计算第二类曲面积分，其中为球面的外侧．
利用高斯公式，
7．求幂级数的和函数.
解:
幂级数的收敛半径，收敛域为
时，=
时，，
四．证明题（本题4分）
证明下列不等式成立：
，其中.
因为积分区域关于直线对称，
=
五．应用题（本题8分）设有一小山，取它的底面所在平面为坐标面，其底部所占的区域为小山的高度函数为
（1）设为区域上一点，问在该点沿平面上什么方向的方向导数最大？
若记此方向导数的最大值为，试写出的表达式。
（2）现欲利用此小山举行攀岩活动，为此需要在山脚寻找一上山坡度最大的点作为攀登的起点，也就是说要在的边界线上找使
（1）中的达到最大值的点，试确定攀登起点的位置。
（1）由梯度的性质知，在点处
沿梯度方向的方向导数值最大，
最大值为
（2）令，则模型为
做函数，得
、式相加可得或
若，由，再由
若，由.
得个可能极值点：
由于
故或可作为攀登的起点.
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