高中数学必修二北师大版渝皖琼学案讲义第一章立体几何初步章末复习Word版含答案.docx

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高中数学必修二北师大版渝皖琼学案讲义第一章立体几何初步章末复习Word版含答案

章末复习

学习目标　1.整合知识结构，梳理知识网络，进一步巩固、深化所学知识.2.熟练掌握平行关系与垂直关系，能自主解决一些实际问题.3.掌握几何体的直观图，能计算几何体的表面积与体积．

1．空间几何体的结构特征及其侧面积和体积

名称

定义

图形

侧面积

体积

多

面

体

棱柱

有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行

S直棱柱侧＝Ch，C为底面的周长，h为高

V＝Sh

棱锥

有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形

S正棱锥侧＝Ch′，C为底面的周长，h′为斜高

V＝Sh，h为高

棱台

用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分

S正棱台侧＝（C＋C′）h′，C，C′为底面的周长，h′为斜高

V＝（S上＋S下＋）h，h为高

旋转体

圆柱

以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体

S侧＝2πrh，

r为底面半径，h为高

V＝Sh＝πr2h

圆锥

以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体

S侧＝πrl，

r为底面半径，

h为高，l为母线

V＝Sh＝πr2h

圆台

用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分

S侧＝π（r1＋r2）l，

r1，r2为底面半径，l为母线

V＝（S上＋S下＋）h＝π（r＋r＋r1r2）h

球

以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体

S球面＝4πR2，

R为球的半径

V＝πR3

2．空间几何体的直观图

（1）斜二测画法：

主要用于水平放置的平面图形或立体图形的画法．它的主要步骤：

①画轴；②画平行于x、y、z轴的线段分别为平行于x′、y′、z′轴的线段；③截线段：

平行于x、z轴的线段的长度不变，平行于y轴的线段的长度变为原来的一半．

（2）转化思想在本章应用较多，主要体现在以下几个方面

①曲面化平面，如几何体的侧面展开，把曲线（折线）化为线段．

②等积变换，如三棱锥转移顶点等．

③复杂化简单，把不规则几何体通过分割，补体化为规则的几何体等．

3．四个公理

公理1：

如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.

公理2：

过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．

公理3：

如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．

公理4：

平行于同一条直线的两条直线互相平行．

4．直线与直线的位置关系

5．平行的判定与性质

（1）直线与平面平行的判定与性质

判定

性质

定义

定理

图形

条件

a∩α＝∅

aα，

b⊈α，

a∥b

a∥α

a∥α，aβ，

α∩β＝b

结论

a∥α

b∥α

a∩α＝∅

a∥b

（2）面面平行的判定与性质

判定

性质

定义

定理

图形

条件

α∩β＝∅

aβ，bβ，

a∩b＝P，

a∥α，b∥α

α∥β，

α∩γ＝a，

β∩γ＝b

α∥β，aβ

结论

α∥β

α∥β

a∥b

a∥α

（3）空间中的平行关系的内在联系

6．垂直的判定与性质

（1）直线与平面垂直

图形

条件

结论

判定

a⊥b，bα

（b为α内的任意直线）

a⊥α

a⊥m，a⊥n，m，nα，

m∩n＝O

a⊥α

a∥b，a⊥α

b⊥α

性质

a⊥α，bα

a⊥b

a⊥α，b⊥α

a∥b

（2）平面与平面垂直的判定与性质定理

文字语言

图形语言

符号语言

判定定理

如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直

⇒α⊥β

性质定理

如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面

⇒l⊥α

（3）空间中的垂直关系的内在联系

7．空间角

（1）异面直线所成的角

①定义：

设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角（或直角）叫作异面直线a，b所成的角（或夹角）．

②范围：

设两异面直线所成角为θ，则0°<θ≤90°.

（2）二面角的有关概念

①二面角：

从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角．

②二面角的平面角：

以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫作二面角的平面角．

1．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，若m∥α，n∥β，α∥β，则m∥n.（　×　）

2．已知a，b是两异面直线，a⊥b，点P∉a且P∉b，一定存在平面α，使P∈α，a∥α且b∥α.（　√　）

3．平面α∥平面β，直线a∥α，直线b⊥β，那么直线a与直线b的位置关系一定是垂直．（　√　）

4．球的任意两个大圆的交点的连线是球的直径．（　√　）

5．若m，n在平面α内的射影依次是一个点和一条直线，且m⊥n，则nα或n∥α.（　√　）

类型一　平行问题

例1　如图所示，四边形ABCD是平行四边形，PB⊥平面ABCD，MA∥PB，PB＝2MA.在线段PB上是否存在一点F，使平面AFC∥平面PMD？

若存在，请确定点F的位置；若不存在，请说明理由．

考点　线、面平行、垂直的综合应用

题点　平行与垂直的计算与探索性问题

解　当点F是PB的中点时，平面AFC∥平面PMD，证明如下：

如图连接AC和BD交于点O，连接FO，则PF＝PB.

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴O是BD的中点．∴OF∥PD.

又OF⊈平面PMD，PD平面PMD，

∴OF∥平面PMD.又MA∥PB，MA＝PB，

∴PF∥MA，PF＝MA.

∴四边形AFPM是平行四边形．

∴AF∥PM.又AF⊈平面PMD，PM平面PMD.

∴AF∥平面PMD.

又AF∩OF＝F，AF平面AFC，OF平面AFC.

∴平面AFC∥平面PMD.

反思与感悟　

（1）证明线线平行的依据

①平面几何法（常用的有三角形中位线、平行四边形对边平行）；②公理4；③线面平行的性质定理；④面面平行的性质定理；⑤线面垂直的性质定理．

（2）证明线面平行的依据

①定义；②线面平行的判定定理；③面面平行的性质．

（3）证明面面平行的依据

①定义；②面面平行的判定定理；③线面垂直的性质；④面面平行的传递性．

跟踪训练1　如图所示，四棱锥P－ABCD的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为2.点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面GEFH⊥平面ABCD，BC∥平面GEFH.

（1）证明：

GH∥EF；

（2）若EB＝2，求四边形GEFH的面积．

考点　线、面平行、垂直的综合应用

题点　平行与垂直的计算与探索性问题

（1）证明　因为BC∥平面GEFH，BC平面PBC，

且平面PBC∩平面GEFH＝GH，所以GH∥BC.

同理可证EF∥BC，

因此GH∥EF.

（2）解　连接AC，BD交于点O，BD交EF于点K，连接OP，GK.

因为PA＝PC，O是AC的中点，所以PO⊥AC，同理可得PO⊥BD.

又BD∩AC＝O，且AC，BD平面ABCD，

所以PO⊥平面ABCD.

又因为平面GEFH⊥平面ABCD，

所以平面GEFH必过平面ABCD的一条垂线，

所以PO平行于这条垂线，

且PO⊈平面GEFH，所以PO∥平面GEFH.

又因为平面PBD∩平面GEFH＝GK，PO平面PBD，

所以PO∥GK，所以GK⊥平面ABCD.

又EF平面ABCD，所以GK⊥EF，所以GK是梯形GEFH的高．

由AB＝8，EB＝2，得EB∶AB＝KB∶DB＝1∶4，

从而KB＝BD＝OB，即K是OB的中点．

再由PO∥GK得GK＝PO，

所以G是PB的中点，且GH＝BC＝4.

由已知可得OB＝4，PO＝＝＝6，

所以GK＝3，

故四边形GEFH的面积S＝·GK＝×3＝18.

类型二　垂直问题

例2　如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．

证明：

（1）CD⊥AE；

（2）PD⊥平面ABE.

考点　直线与平面垂直的判定

题点　直线与平面垂直的证明

证明　

（1）在四棱锥P－ABCD中，

∵PA⊥底面ABCD，CD平面ABCD，

∴PA⊥CD.

∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，PA，AC平面PAC，

∴CD⊥平面PAC.

而AE平面PAC，∴CD⊥AE.

（2）由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.

∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.

由

（1）知，AE⊥CD，

且PC∩CD＝C，PC，CD平面PCD，

∴AE⊥平面PCD.

而PD平面PCD，∴AE⊥PD.

∵PA⊥底面ABCD，AB底面ABCD，∴PA⊥AB.

又∵AB⊥AD且PA∩AD＝A，PA，AD平面PAD，

∴AB⊥平面PAD，而PD平面PAD，

∴AB⊥PD.又∵AB∩AE＝A，AB，AE平面ABE，

∴PD⊥平面ABE.

反思与感悟　

（1）两条异面直线相互垂直的证明方法

①定义；

②线面垂直的性质．

（2）直线和平面垂直的证明方法

①线面垂直的判定定理；

②面面垂直的性质定理．

（3）平面和平面相互垂直的证明方法

①定义；

②面面垂直的判定定理．

跟踪训练2　如图，斜三棱柱ABC－A1B1C1的底面是直角三角形，∠ACB＝90°，点B1在底面ABC上的射影恰好是BC的中点，且BC＝CA＝AA1.

（1）求证：

平面ACC1A1⊥平面B1C1CB；

（2）求证：

BC1⊥AB1.

考点　平面与平面垂直的判定

题点　利用判定定理证明两平面垂直

证明　

（1）设BC的中点为M，

∵点B1在底面ABC上的射影恰好是点M，∴B1M⊥平面ABC.

∵AC平面ABC，∴B1M⊥AC.

又∵BC⊥AC，B1M∩BC＝M，B1M，BC平面B1C1CB，

∴AC⊥平面B1C1CB.

又∵AC平面ACC1A1，

∴平面ACC1A1⊥平面B1C1CB.

（2）连接B1C.∵AC⊥平面B1C1CB，∴AC⊥BC1.

在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∵BC＝CC1.

∴四边形B1C1CB是菱形，∴B1C⊥BC1.

又∵B1C∩AC＝C，∴BC1⊥平面ACB1，∴BC1⊥AB1.

类型三　空间角问题

例3　如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，M，N分别是A1B1，BC，C1D1和B1C1的中点．

（1）求证：

平面MNF⊥平面ENF；

（2）求二面角M－EF－N的正切值．

考点　平面与平面垂直的判定

题点　利用判定定理证明两平面垂直

（1）证明　连接MN，∵N，F均为所在棱的中点，

∴NF⊥平面A1B1C1D1.

而MN平面A1B1C1D1，

∴NF⊥MN.

又∵M，E均为所在棱的中点，

∴△C1MN和△B1NE均为等腰直角三角形．

∴∠MNC1＝∠B1NE＝45°，

∴∠MNE＝90°，

∴MN⊥NE，又NE∩NF＝N，

∴MN⊥平面NEF.

而MN平面MNF，∴平面MNF⊥平面ENF.

（2）解　在平面NEF中，过点N作NG⊥EF于点G，连接MG.

由

（1）知MN⊥平面NEF，

又EF平面NEF，∴MN⊥EF.又MN∩NG＝N，

∴EF⊥平面MNG，∴EF⊥MG.

∴∠MGN为二面角M－EF－N的平面角．