福建省高一数学竞赛试题参考答案及评分标准文档版Word格式.docx

福建省高一数学竞赛试题参考答案及评分标准文档版Word格式.docx

《福建省高一数学竞赛试题参考答案及评分标准文档版Word格式.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《福建省高一数学竞赛试题参考答案及评分标准文档版Word格式.docx（14页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

∴方程为，即；

方程为：

，即。

由，得。

因此，，线段长为。

3．如图，在三棱锥中，，均为等边三角形，且。

则二面角的余弦值为（）

A．B．C．D．

【答案】B

【解答】如图，取中点，中点，连结，，，。

不妨设，则由条件知，，。

∴，。

∴。

又，故是二面角的平面角。

在中，由，，，

得，。

∴二面角的余弦值为。

4．若函数（，且）的值域为，则实数的取值范围为（）

A．B．C．D．

【答案】A

【解答】∵时，函数的值域为，

∴时，，即时，。

∴，且时，恒成立。

∴，的取值范围为。

5．如图，在四面体中，已知、、两两互相垂直，且。

则在该四面体表面上与点距离为的点形成的曲线段的总长度为（）

【解答】如图，设（在上，在上，在上）。

由，，，，知，，。

∴在面内与点距离为的点形成的曲线段（图中弧）长为。

同理，在面内与点距离为的点形成的曲线段长为。

又在面内与点距离为的点形成的曲线段长为。

在面内与点距离为的点形成的曲线段（图中弧）长为。

∴四面体表面上与点距离为的点形成的曲线段的总长度为

。

6．是定义在上的函数，若，且对任意，满足，，则（）

A．2013B．2015C．2017D．2019

【答案】C

【解答】∵对任意，满足，

又。

因此，，。

二、填空题（每小题6分，共36分）

7．已知实数，满足，记的最大值为，最小值为，则。

【答案】72

【解答】设，由知，。

因此，点在以为圆心，3为半径的圆上。

又，设，则。

∵，。

∴，，。

注：

本题也可以三角换元法。

由，设，，代入后求最值。

8．过直线上一点作圆：

的切线、，、为切点。

若直线、关于直线对称，则线段的长为。

【答案】

【解答】由切线、关于直线关于对称，以及切线、关于直线对称知，直线与直线与重合或垂直。

由点不在直线上知，与直线垂直。

设，则，。

9．已知正四棱锥的底面边长为6，侧棱长为5，为侧面的内心，则四棱锥的体积为。

【解答】如图，取中点，连结，由条件知在中，，。

∴在线段上，且。

10．已知是偶函数，时，（符号表示不超过的最大整数），若关于的方程（）恰有三个不相等的实根，则实数的取值范围为。

【解答】作出函数与的草图（如图所示）。

易知直线恒过点，是方程的一个根。

从图像可知，

当，即时，两个函数的图像恰有三个不同的交点。

∴的取值范围为。

11．方程（）的正整数解为。

（写出所有可能的情况）

【答案】，

【解答】依题意，。

由，知，因此，。

∴，，2，3。

若，则，，。

将，代入题中方程，得，。

若，则，。

由知，不存在。

若，则。

所以，，又，因此，，5，6，7。

经验证只有符合。

∴符合条件的正整数解有或。

12．已知，，，则的最小值为。

【答案】6

【解答】设，，，则，，。

且，，。

∴

当且仅当，，，即，，，即，时等号成立。

（如，，即，，时等号成立）。

∴的最小值为6。

三、解答题（第13、14、15、16题每题16分，第17题14分，满分78分）

13．已知，。

（1）若函数在区间上为单调函数，求实数的取值范围；

（2）若函数在区间上的最小值为，求实数的值。

【答案】

（1）依题意，。

由在区间上为单调函数，知在区间上是单调函数，且。

∴或。

…………4分

∴实数的取值范围是。

………………………8分

（2）。

设，………………………12分

则时，的最小值为。

由，得，符合要求。

时，的最小值为。

由，得，不符合要求，舍去。

综合，得或。

……………………………16分

14．已知（）。

（1）若在区间内有两个不同的实数根，求实数的取值范围；

（2）若时，恒成立，求实数的取值范围。

（1）依题意，有。

……………4分

解得。

（2）∵时，恒成立，

∴时，，即恒成立。

∴时，恒成立。

………………………12分

由在上为增函数，知的值域为。

∴，即的取值范围为。

………………………16分

另解：

由

（1）知，，总有两个不相等的实根。

设方程的两根为，（）。

…………………12分

解得，。

…………………………16分

15．如图，圆的圆心在坐标原点，过点的动直线与圆相交于，两点。

当直线平行于轴时，直线被圆截得的线段长为。

（1）求圆的方程；

（2）在平面直角坐标系内，是否存在与点不同的定点，使得恒成立？

若存在，求出点的坐标；

若不存在，请说明理由。

（1）设圆半径为，依题意有。

∴，圆方程为。

……………4分

（2）设符合条件的点存在。

当直线平行于轴时，，由此可得。

又此时、关于轴对称，因此，点在轴上。

设。

当轴时，，。

由，得，或（舍去）。

（当，时，同理可得）

因此，若点存在，则点只能为。

………8分

下面证明点符合要求。

当直线斜率不存在或为0时，由前面讨论可知点符合要求。

当直线斜率存在且不为0时，设方程为。

设，，则，。

……………………………12分

∴平分，由角平分线性质定理知，。

综上可知，符合条件的点存在，其坐标为。

16．如图，、分别为的外心、内心，连结并延长交的外接圆于点。

、分别在的边、上，且满足。

（1）求证：

；

（2）求证：

【证明】

（1）依题意，为弧的中点，。

连结，由为的内心知，，

………………4分

（第16题）

（2）设与的交点为，则由以及平分，知为中点，且。

设与的交点为，则为中点，且。

∴、、、四点共圆，。

…………………8分

连结，由为弧的中点知，。

又，。

结合，。

因此，。

………………16分

17．已知集合，求最大的正整数，使得存在集合的元子集，满足集合中任何一个数都不等于其余任意两个不同数的积。

【解答】设为集合的一个元子集。

考虑集合的下列43个子集（每个子集中恰有3个数）：

，，，…，，。

若，则由知，集合一定包含上述43个子集中的某一个。

由此可知，集合中存在互不相同的三个数，，（），使得。

因此，集合不满足：

集合中任何一个数都不等于其余任意两个不同数的积。

所以，当集合元素个数多于1973，即时，集合不满足题意要求。

所以，。

……………………………5分

另一方面，令（从集合删去2，3，4，…，44这43个数）。

设，（）是中任意两个不同的数。

若，则，不可能等于中第3个不同于1和的数。

……………10分

若，则，，显然它不在集合中。

因此，集合满足：

可见，存在集合的一个1973元子集，满足集合中任何一个数都不等于其余任意两个不同数的积。

所以，正整数的最大值为1973。

………………………………14分