广西大学自动控制原理习题解答本科第4章Word文件下载.docx
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注意:
涉及相角的计算时,可以
(1)逐个计算基本环节的相角,然后叠加起来。
(2)将频率特性展开为实部和虚部,然后计算相角。
计算幅值一般将各个基本环节的幅值相乘。
4-2试由幅相频率计算式
确定最小相位系统的传递函数。
由相频计算式可得出传递函数的形式为
由幅频计算式
有
求得,所求最小相位系统的传递函数为
4-3已知单位反馈系统开环传递函数
若希望系统闭环极点都具有小于-1的实部,试用Nyquist判据确定增益K的最大值。
解:
令,则“平面所有极点均处于负平面”等价于“平面所有闭环极点均具有小于-1的实部”,并且
可见并无右半平面的开环极点,所以的Nyquist轨线不能包围点。
只要满足:
轨线与负实轴的交点在-1点右侧(大于-1)即可,令的相频为,得到
求得的相角交越频率
即若希望系统闭环极点都具有小于-1的实部,增益K的最大值为。
作变量替换时,尝试选一些点验证一下。
4-4设某系统结构图如下图所示,其中K>
0。
(1)试求系统稳态误差;
(2)若ω=1时,要求稳态误差幅值,试选择K值。
(1)求系统稳态误差,系统开环传递函数为,
闭环系统的误差传递函数为
其幅值与相位为
因输入,系统的稳态误差为
(2)因,令
解得
(舍去).
故满足题意要求的K值范围为
4-5已知系统
型次(含有个积分环节),Nyquist曲线起始于实轴(),试问什么情况下起始于负实轴,什么情况下起始于正实轴。
答:
当开环增益时,起始点位于正实轴;
当开环增益时,起始点位于负实轴。
4-6设系统的开环传递函数为
其中。
(1)已知,试概略绘制该系统的Nyquist图。
(2)若,请概略绘制该系统的Nyquist图。
(1),而且对于小正数,有
,概略绘制的Nyquist图如下
(2),而且对于小正数,有
,概略绘制的Nyquist图如下
一般情况下Nyquist图的起点总是在正实轴。
4-7设系统的开环频率特性函数的极坐标图如图所示。
试用Nyquist稳定性判据判定闭环系统的稳定性。
开环系统稳定开环系统稳定开环系统有2个RHP极点
(1)P=0,2,N=P+=2,闭环系统不稳定,有2个RHP极点。
(2)P=0,1,故N=P+=1,闭环系统不稳定,有1个RHP极点。
(3)P=2,-2,故N=P+=0,闭环系统稳定。
4-8已知系统开环传递函数
把虚轴上的开环极点视为不稳定的开环极点,重新确定Nyquist路径,并绘制L(s)的Nyquist图,据此判定闭环系统的稳定性。
s平面小圆弧顺时针的路径映射为L(s)平面逆时针的大圆弧。
Nyquist路径L(s)的Nyquist图
wn=-1(逆时针),P=1,N=0,闭环系统稳定。
4-9已知最小相位(单位反馈)开环系统的渐近对数幅频特性如图所示。
(1)试求取系统的开环传递函数;
(2)要求系统具有的稳定裕度,求开环放大倍数应改变的倍数。
(1)由图可得出系统开环传递函数的基本形式为
将点(0.1,40)代入上式,因低频段幅值仅由比例环节和积分环节决定,即
求得K=10,所求系统开环传递函数为
(2)由相角裕度的定义
导出
解出
由交越频率的定义有
解出K=0.335。
即开环放大倍数衰减30倍。
4-10已知系统的开环传递函数为
(1)用渐近线法绘制系统的开环Bode图;
(2)由Bode图判断闭环系统的稳定性;
(3)求出交越频率以及相角裕度的近似值;
(4)由MATTAB作Bode图,求出交越频率和相角裕度,并与渐近线图解比较。
(1)首先将化为尾1标准形式
=
知该系统为典型Ⅱ型系统,各环节转折频率为0.2、0.6、12、50rad/s,20lgK=20lg10=20,过=1,|G(iω)|dB=20的点,作斜率为-40的直线,遇到转折频率0.2、0.6、12、50时,相应地直线斜率变化,如下图所示。
(2)P=0,故N=P+=0,闭环系统稳定。
(3)由=1,解得5.56,
(4)MATTAB程序校验
>
num=400/3*[25159];
den=conv([10.200],[162600]);
bode(num,den);
gridon
>
[Gm,Pm,Wcg,Wcp]=margin(num,den)
Gm=10.7036;
Pm=56.7919;
Wcg=23.9829;
Wcp=5.0533
交越频率为5.05rad/s,相角裕度为,这与近似计算值非常接近。
4-11已知各最小相位系统的开环对数幅频特性曲线如图所示,
(1)试确定各系统的开环传递函数;
(2)求相角裕度;
(3)概略画出对应的相频特性曲线;
(4)分析闭环系统的稳定性。
.针对(a)图:
(1)如图,转折频率为2、10、20。
该系统为典型Ⅱ型系统,其开环传递函数形式为
即20lgK=20,解得K=10。
该系统的开环传递函数为
(2)即20=20lg
(2),解得=5,由此
(3)
(4)P=0,,故N=P+=0,闭环系统稳定。
.针对(b)图:
(1)设未知转折频率从左至右依次为、、、,则其开环传递函数形式为
,解得K=10;
,解得=1=1;
,解得=82.54,=0.0121
,解得=46.42,=0.0215
解得=2.61=0.383
(2)=100,由此
(4)P=0,故N=P+=2,闭环系统不稳定,有2个RHP极点。
4-12针对正反馈系统,Nyquist给出ω=0→∞的幅相频率特性图如下,临界点为1,重新表述Nyquist稳定性定理。
正反馈系统的Nyquist图,临界点为1
若开环传递函数的RHP极点数为P,则闭环系统稳定的充分必要条件是L(s)的Nyquist图{L(iω),ω=−∞→∞}顺时针环绕临界点L=1的圈数为P。
4-13设系统的开环传递函数为,求交越频率和相角交越频率,并用MATLAB程序进行校核,你得到什么结论。
(1)起点:
(2)终点:
(3)=
与实轴的交点:
令虚部为即=0解得=0.2,=0.447,此时=-9。
与虚轴的交点:
令实部为即=0解得=9.57=3.09,此时=4.43。
使用理论计算值与nyquist(sys)的计算结果基本没差别,但ω相差较大。
原因是ω变化范围为-∞~+∞。
若指定频率范围,采用命令nyquist(sys,w),w={wmin,wmax},可使之与理论计算值吻合。
num=[6-1830];
den=[12-3];
sys=tf(num,den);
w={0.1,100};
nyquist(sys,w)
margin(sys)