人教版高一数学必修2空间直线的垂直关系练习题含答案详解.docx

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人教版高一数学必修2空间直线的垂直关系练习题含答案详解

必修2空间中的垂直关系

基础知识点

一、选择题：

1.若斜线段AB是它在平面α上的射影的长的2倍，则AB与平面α所成的角是

（）.

C.30°D.120

2.直线l⊥平面α，直线m?

α，则（）.

A.l⊥mB.l∥mC.l，m异面D.l，m相交而不垂直

3.如图所示，PO⊥平面ABC，BO⊥AC，在图中与AC垂直的线段有（）.

4.若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则（）.

D.以上都有可能

（）.

可能

6.如图，设P是正方形ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，则平面PAB与平面PBC、平面PAD的位置关系是（）.

A.平面PAB与平面PBC、平面PAD都垂直B.它们两两垂直

C.平面PAB与平面PBC垂直，与平面PAD不垂直D.平面PAB与平面PBC、

平面PAD都不垂直

二、填空题：

7.在正方体A1B1C1D1ABCD中，E，F分别是棱AB，BC的中点，O是底面ABCD的中心（如图），则EF与平面BB1O的关系是.

8.若a，b表示直线，α表示平面，下列命题中正确的有个.

①a⊥α，b∥α?

a⊥b;②a⊥α，a⊥b?

b∥α；

③a∥α，a⊥b?

b⊥α；④a⊥α，b⊥α?

a∥b.

9.α、β是两个不同的平面，m、n是平面α及β外的两条不同的直线，给出四个论断：

①m⊥n；②α⊥β；③m⊥α；④n⊥β.以其中三个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题.

10.如图，正方体ABCD1AB1C1D1中，截面C1D1AB与底面ABCD所成二面角C1ABC的

三、解答题：

π

11.如图所示，在Rt△AOB中，∠ABO=6，斜边AB=4，Rt△AOC可以通过Rt△AOB以直线AO为轴旋转得到，且二面角BAOC是直二面角，D是AB的中点.

求证：

平面COD⊥平面AOB.

12.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=D，CE是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F.

（1）求证：

PA∥平面EDB；

（2）求证：

PB⊥平面EFD.

综合提高

1.已知l，m，n为两两垂直的三条异面直线，过l作平面α与直线m垂直，则直线n与平面α的关系是（）.

A.n∥αB.n∥α或n?

αC.n?

α或n与α不平行D.n?

α

2.已知平面α⊥平面β，α∩β=l，点A∈α，A?

l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是（）.

A.AB∥mB.AC⊥mC.AB∥βD.AC⊥β

3.一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，那么这两个二面角（）.

A.相等B.互补C.相等或互补D.关系无法确定

4.如图，正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2，G2G3的中点，现在沿SE，SF，EF把这个正方形折成一个四面体，使G1、G2、G3重合，重合后的点记为G.

给出下列关系：

①SG⊥平面EFG；②SE⊥平面EFG；③GF⊥SE；④EF⊥平面SEG.其中成立的有（）.

A.①②B.①③C.②③D.③④

5.如果三棱锥的三个侧面两两相互垂直，则顶点在底面的正投影是底面三角形的心.

6.已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面边长都相等，若A1在底面ABC内的射影为△ABC的中心，则AB1与ABC底面所成的角的正弦值等于.

7.将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角ABDC，有如下四个结论：

①AC⊥BD；②△ACD是等边三角形；③AB与平面BCD成60°的角；④AB与CD所成的角为60°.

其中真命题的编号是（写出所有真命题的编号）.

8.如图，A、B、C、D为空间四点，在△ABC中，AB=2，AC=BC=2，等边三角形ADB以AB为轴运动，当平面ADB⊥平面ABC时，则CD=.

9.如图所示，四边形ABCD为正方形，SA垂直于四边形ABCD所在的平面，过点A且垂直于SC的平面分别交SB，SC，SD于点E，F，G.

求证：

AE⊥SB，AG⊥SD.

10.如图，在四棱锥P－ABCD中，PO⊥面ABCD，PD=DC=BC，=1AB=2，AB∥DC，∠BCD=9°0.

（1）求证：

PC⊥BC.

（2）求点A到平面PBC的距离.

11.如图，已知平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC，E为垂足.

（1）求证：

PA⊥平面ABC；

（2）当E为△PBC的垂心时，求证：

△ABC是直角三角形.

12.（创新拓展）已知△BCD中，∠BCD=9°0，BC=CD=，1AB⊥平面BCD，∠ADB=60°，

AEAF

E，F分别是AC，AD上的动点，且AAEC=AAFD=λ（0<λ<1）.

（1）求证：

不论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC；

（2）当λ为何值时，平面BEF⊥平面ACD?

参考答案

基础篇

1.答案A；解析斜线段、垂线段以及射影构成直角三角形.如图所示，∠ABOOB1

即是斜线AB与平面α所成的角，又AB=2BO，所以cos∠ABO=AB=2.所以∠ABO=60°.故选A.

2.答案A；解析无论l与m是异面，还是相交，都有l⊥m，考查线面垂直的定义，故选A.

3.答案D；解析∵PO⊥平面ABC，∴PO⊥AC，又∵AC⊥BO，∴AC⊥平面PBD，∴平面PBD中的4条线段PB，PD，PO，BD与AC垂直.

4.答案D；解析以正方体为模型：

相邻两侧面都与底面垂直；相对的两侧面都与底面垂直；一侧面和一对角面都与底面垂直，故选D.

5.答案A；解析由于ME?

平面AB1，平面AB1∩平面AC=AB，且平面AB1⊥平

面AC，ME⊥AB，则ME⊥平面AC.

6.答案A；解析∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC.

又BC⊥AB，PA∩AB=A，∴BC⊥平面PAB，∵BC?

平面PBC，∴平面PBC⊥平面PAB.由AD⊥PA，AD⊥AB，PA∩AB=A，得AD⊥平面PAB.∵AD?

平面PAD，∴平面PAD⊥平面PAB.

由已知易得平面PBC与平面PAD不垂直，故选A.

7.答案垂直；解析由正方体性质知AC⊥BD，BB1⊥AC，∵E，F是棱AB，BC的中点，

∴EF∥AC，∴EF⊥BD，EF⊥BB1，∴EF⊥平面BB1O.

8.答案2；解析由线面垂直的性质定理知①④正确.

9.答案①③④?

②或②③④?

①；解析如图，PA⊥α，PB⊥β，垂足分别为A、B，α∩β=l，l∩平面PAB=O，连接OA、OB，可证明∠AOB为二面角αlβ的平面角，则∠AOB=9°0?

PA⊥PB.

10.答案45°；解析∵AB⊥BC，AB⊥BC1，∴∠C1BC为二面角C1ABC的平面角，大小为45°.

11.证明：

由题意：

CO⊥AO，BO⊥AO，∴∠BOC是二面角BAOC的平面角，又∵二面角BAOC是直二面角，∴CO⊥BO，又∵AO∩BO=O，∴CO⊥平面AOB，∵CO?

平面COD，∴平面COD⊥平面AOB.

12.证明：

（1）连接AC，AC交BD于点O.连接EO，如图.

∵底面ABCD是正方形，∴点O是AC的中点.在△PAC中，EO是中位线，∴PA∥EO.

而EO?

平面EDB且PA?

平面EDB.所以PA∥平面EDB.

（2）∵PD⊥底面ABCD且DC?

底面ABCD∴.PD⊥DC.

∵PD=DC，可知△PDC是等腰直角三角形，而DE是斜边PC的中线，∴DE⊥PC.①

同样由PD⊥底面ABCD，得PD⊥BC.∵底面ABCD是正方形，有DC⊥BC，

∴BC⊥平面PDC.而DE?

平面PDC，∴BC⊥DE.②

由①和②推得DE⊥平面PBC.而PB?

平面PBC，∴DE⊥PB.

又EF⊥PB且DE∩EF=E，∴PB⊥平面EFD.

综合提高

1.答案A；解析∵l?

α，且l与n异面，∴n?

α，又∵m⊥α，n⊥m，∴n∥α.

2.答案D；解析如图，AB∥l∥m，AC⊥l，m∥l?

AC⊥m，AB∥l?

AB∥β.故选D.

3.答案D；解析如图所示，平面EFDG⊥平面ABC，当平面HDG绕DG转动时，平面HDG始终与平面BCD垂直，所以两个二面角的大小关系不确定，因为二面角HDGF的大小不确定.

4.答案B；解析由SG⊥GE，SG⊥GF，得SG⊥平面EFG，排除C、D；若SE⊥平面EFG，则SG∥SE，这与SG∩SE=S矛盾，排除A，故选B.

5.答案垂；解析三棱锥的三个侧面两两相互垂直，则三条交线两两互相垂直，可证投影是底面三角形的垂心.

6.答案：

32；解析由题意知，三棱锥A1ABC为正四面体（各棱长都相等的三棱锥），设棱长为a，则AB1=3a，棱柱的高A1O=36a（即点B1到底面ABC的距离），故AB1与底面ABC所成的角的正弦值为AABO=32.'

7.答案①②④；解析本题主要考查了空间直线与直线、直线与平面的夹角.

8.答案2；解析取AB的中点E，连接DE，CE，

因为△ADB是等边三角形，所以DE⊥AB.当平面ADB⊥平面ABC时，因为平面ADB∩平面ABC=A，B所以DE⊥平面ABC.又CE?

平面ABC可知DE⊥CE.由已知可得DE=3，EC=1，在Rt△DEC中，CD=DE2＋CE2=2.

9.证明因为SA⊥平面ABCD，所以SA⊥BC.又BC⊥AB，SA∩AB=A，所以BC⊥平面SAB，

又AE?

平面SAB，所以BC⊥AE.因为SC⊥平面AEFG，所以SC⊥AE.

又BC∩SC=C，所以AE⊥平面SBC，所以AE⊥SB.同理可证AG⊥SD.

10.

（1）证明因为PD⊥平面ABCD，BC?

平面ABCD，所以PD⊥BC.因为∠BCD=9°0，所以BC⊥CD.又PD∩CD=D，所以BC⊥平面PCD.

而PC?

平面PCD，所以PC⊥BC.

（2）解如图，过点A作BC的平行线交CD的延长线于E，过点E作PC的垂线，垂足为F，则有AE∥平面PBC，所以点A到平面PBC的距离等于点E到平面PBC的距离.

又EF⊥PC，BC⊥平面PCD，则EF⊥BC.BC∩PC=C，所以EF⊥平面PBC.

EF即为E到平面PBC的距离.

又因为AE∥BC，AB∥CD，所以四边形ABCE为平行四边形.所以CE=AB=2.又PD=CD=，1P