最新113静电场的高斯定理汇总Word文档格式.docx
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）
2、静电场中电场线性质
⑴不闭合、不中断、起自正电荷，止于负电荷。
⑵任意两条电场线不能相交，这是某一点只有一个场强方向的要求。
二、电通量
定义：
通过电场中某一面的电力线数叫做通过该面的电场强度通量，用«
表示。
下面分几种情况讨论。
1、匀强电场
⑴平面S与«
垂直。
如图所示，由«
的
大小描述可知：
⑵平面S与«
夹角为«
，如图所示，由«
的大小描述知：
«
式中«
为«
的单位法线向量。
2、在任意电场中通过任意曲面S的电通量
如图所示，在S上取面元«
，«
可看成平面，«
上
可视为均匀，设«
单位法向向量，«
与该处«
夹角«
，则通过«
电场强度通量为：
通过曲面S的电场强度通量为：
在任意电场中通过封闭曲面的电场强度通量
注意：
通常取面元外法向为正。
三、高斯定理
高斯定理是关于通过电场中任一闭合曲面电通量
的定理，现在从一简单例子讲起。
1、如图所示，«
为正点电荷，«
为以«
为中心以任
意«
为半径的球面，«
上任一点«
处«
为：
2、通过闭合曲面«
的电场强度通量为：
（«
、«
同向）
结论：
与«
无关，仅与«
有关«
2、点电荷电场中任意闭合曲面S的电场强度通量
⑴«
在S内情形
如图所示，在S内做一个以«
为中心，
任意半径«
的闭合球面S1，由1知，通过S1
的电场强度通量为«
。
∵通过S1的电力线
必通过S，即此时«
，∴通过S的
电场强度通量为«
⑵«
在S外情形。
此时，进入S面内的电力线必穿出S面，即
穿入与穿出S面的电力线数相等，
∴«
S外电荷对«
无贡献
在S内
0«
在S外
3、点电荷系情况
在点电荷«
电场中，任一点场强为
通过某一闭合曲面电场强度通量为：
即«
上式表示：
在真空中通过任意闭合曲面的电通量等于该曲面所包围的一切电荷的代数和除以«
这就是真空中的高斯定理。
上式为高斯定理数学表达式，高斯定理中闭合曲面称为高斯面。
说明：
⑴以上是通过用闭合曲面的电通量概念来说明高斯定理，仅是为了便于理解而用的一种形象解释，不是高斯定理的证明
⑵高斯定理是在库仑定律基础上得到的，但是前者适用范围比后者更广泛。
后者只适用于真空中的静电场，而前者适用于静电场和随时间变化的场，高斯定理是电磁理论的基本方程之一。
⑶高斯定理表明，通过闭合曲面的电通量只与闭合面内的自由电荷代数和有关，而与闭合曲面外的电荷无关。
>
0时，不能说S内只有正电荷
当«
<
0时，不能说S内只有负电荷
=0时，不能说S内无电荷
这些都是S内电荷代数和的结果和表现。
⑷高斯定理说明«
与S内电荷有关而与S外电荷无关，这并不是说«
只与S内电荷有关而与S外电荷无关。
实际上，«
是由S内、外所有电荷产生的结果。
⑸高斯面可由我们任选。
四、应用高斯定理求场强
下面介绍应用高斯定理计算几种简单而又有对称性的场强方法。
可以看到，应用高斯定理求场强比前面介绍的方法更为简单。
1.一均匀带电球面，半径为«
，电荷为«
，求：
球面内外任一点场强。
解：
由题意知，电荷分布是球对称的，产生的电场是球对称的，场强方向沿半径向外，以O为球心任意球面上的各点«
值相等。
⑴球面内任一点«
的场强
以O为圆心，通过P1点做半径为«
的球面«
为高斯面，高斯定理为：
∵«
同向，且«
上«
值不变
即均匀带电球面内任一点P1场强为零。
1）不是每个面元上电荷在球面内产生的场强为零，而是所有面元上电荷在球面内产生场强的矢量和=0。
2）非均匀带电球面在球面内任一点产生的场强不可能都为零。
（在个别点有可能为零）
⑵球面外任一点的场强
以O为圆心，通过P2点以半径«
做一球面«
作为高斯面，由高斯定理有：
方向：
沿«
方向（若«
，则沿«
方向）
均匀带电球面外任一点的场强，如图电荷全部集中在球心处的点电荷在该点产生的场强一样。
0«
2．有均匀带电的球体，半径为«
，电量为«
，求球内外场强（8-13）。
由题意知，电荷分布具有球对称性，∴电场也具有对称性，场强方向由球心向外辐射，在以O为圆心的任意球面上各点的«
相同。
（1）球内任一点P«
的«
以O为球心，过P«
点做半径为«
的高斯球面S1，高斯定理为：
同向，且S1上各点«
值相等，
沿«
方向。
（若«
，则«
不要认为S1外任一电荷元在P1处产生的场强为0，而是S1外所有电荷元在P1点产生的场强的叠加为0。
（2）球外任一点P2的«
以O为球心，过P2点做半径为«
的球形高斯面S2，高斯定理为：
由此有：
方向
均匀带电球体外任一点的场强，如同电荷
全部集中在球心处的点电荷产生的场强一样。
曲线如左图。
3．无限长均匀带电圆柱面，半径为«
，电荷面密度为«
，求柱面内外任一点场强。
由题意知，柱面产生的电场具有轴对称性，场强方向由柱面轴线向外辐射，并且任意以柱面轴线为轴的圆柱面上各点«
1）带电圆柱面内任一点P1的«
以OO’为轴，过P1点做以«
为半径高为«
的圆柱高斯面，上底为S1，下底为S2，侧面为S3。
高斯定理为：
在此，有：
∵在S1、S2上各面元«
，∴上式前二项积分=0，
又在S3上«
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