高等数学常用概念及公式Word格式文档下载.doc
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其中“”是不定积分的记号；
f（x）称为被积函数；
f（x）dx称为被积表达式；
x称为积分变量；
c为任意实数，称为积分常数。
l定积分的概念
设函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，用分点
a=x0<
x1<
x2<
…<
xi-1<
xi<
xn-1<
xn=b，把区间[a，b]任意分成n个小区间[xi-1，xi]（i=1,2,…,n）每个小区间的长度为Δxi=xi-xi-1（i=1,2,…,n），在每个小区间[xi-1，xi]上任取一点ξi，作和式
In=
当分点无限增加（n→∞）且所有小区间长度中的最大值λ=max{Δxi}→0时，和式In的极限，叫做函数f（x）在区间[a，b]上的定积分，记作，即
=
其中f（x）称为被积函数，b和a分别称为定积分的上限和下限，区间[a，b]叫积分区间，x为积分变量。
l极限的性质及运算法则
无穷小的概念：
若函数f（x）当x→x0（或x→∞）时的极限为零，则称f（x）当x→x0（或x→∞）时为无穷小量，简称无穷小。
须要注意的是，无穷小是变量，不能与一个很小的数混为一谈。
无穷小的性质：
性质1：
有限个无穷小的代数和也是无穷小。
性质2：
有界函数与无穷小的乘积也是无穷小。
推论1：
常数与无穷小的乘积也是无穷小。
推论2：
有限个无穷小的乘积也是无穷小。
无穷大的概念：
若当x→x0（或x→∞）时，函数f（x）的绝对值无限增大，则称函数f（x）当x→x0（或x→∞）时为无穷大量，简称无穷大。
注意无穷大是变量，不能与一个绝对值很大的数混为一谈；
另外，一个变量是无穷大，也不能脱离开自变量的变化过程。
无穷大与无穷小的关系：
定理：
在同一变化过程中，若f（x）为无穷大，则为无穷小；
反之，若f（x）为无穷小，且f（x）≠0，则就为无穷大。
极限运算法则：
法则1：
lim[f（x）±
g（x）]=limf（x）±
limg（x）=A+B
法则2：
lim[f（x）·
g（x）]=limf（x）·
limg（x）=A·
B
特别的：
limcf（x）=c·
limf（x）=c·
A（c为常数）
法则3：
lim==（其中B≠0）
注意用法则3求极限时：
如果分子、分母均为无穷大，可先将其变成无穷小；
如果均为无穷小，就用约分及分子分母有理化来解；
以上情况均可用导数的应用中的罗必塔法则求解。
两个重要极限：
重要极限1：
=1==》=1
重要极限2：
（1+）x=e=》（1+）（）=e或=e
等价无穷小（x→0）：
在求极限过程中经常使用等价无穷小互相代替
；
.
l导数的性质、求导法则及常用求导公式
连续的概念：
若函数f（x）在x0的某邻域内有定义，当x→x0时，函数的极限存在，且极限值等于函数在x0处的函数值f（x0）即f（x）=f（x0）则称函数在x0处是连续的。
连续与可导的关系：
若函数f（x）在点x0处可导，则函数在点x0处连续。
（连续是可导的必要条件，其逆命题不成立，即函数在某一点连续，但在该点不一定可导）
导数的计算步骤（按定义计算）：
第一步求增量，在x处给自变量增量Δx，计算函数增量Δy，即Δy=f（x+Δx）-f（x）；
第二步算比值，写出并化简比式：
=；
（化简比式的关键是使分式中仅分母或分子中含有Δx项，避免出现或）
第三步取极限，计算极限=f’（x）
常用基本初等函数的导数公式：
；
；
；
；
；
；
；
；
导数的四则运算法则：
设u=u（x），v=v（x），则
（u±
v）’=u’±
v’；
（cu）’=cu’；
（uv）’=u’v+uv’；
（）’=.
反函数的导数：
y=f（x）是x=φ（y）的反函数，则
y’=，即f’（x）=
复合函数求导法则:
设y=f（u）,u=φ（x）,则复合函数y=f[φ（x）]的导数为
=或y’x=f’u·
φ’x
隐函数求导方法：
隐函数的概念针对因变量y写成自变量x的明显表达式的函数y=f（x），这种函数叫显函数；
而两个变量x和y的对应关系是由一个方程F（x,y）=0所确定，函数关系隐含在这个方程中，这种函数称为由方程所确定的隐函数。
求隐函数的导数，并不需要先化为显函数（事实上也很难都显化），只需把y看成中间变量y=y（x），利用复合函数求导法则，即可求出隐函数y对x的导数。
例：
求方程x2+y2=1所确定的函数的导数。
解在方程的两端对x求导，并将y2看作x的复合函数，则
（x2+y2）’=
（1）’即2x+2yy’=0，yy’=-x
得y’=-
参数方程所表示函数的导数：
如下方程组，其中t为参数
x=φ（t）
y=ψ（t）
设函数φ（t）和ψ（t）都可导，且函数φ（t）存在连续反函数t=φ-1（t），当φ-1（t）≠0时，这个反函数也可导；
这时y是x的复合函数
y=ψ[φ-1（t）]=f（x）
它可导，由复合函数求导法则知
y’x====
罗必塔法则：
当x→x0（或x→∞）时，函数f（x），g（x）同时趋向于零或同时趋向于无穷大，这时分式的极限可能存在，也可能不存在。
我们称其为未定式，并记作型或，这类极限将无法用“商的极限等于极限的商”这一极限法则求出。
未定式（罗必塔法则一）：
==A（或无穷大）。
若其中x→∞时，结论仍然成立。
使用罗必塔法则时，分子分母分别求导之后，应该整理化简，如果化简后的分式还是未定式，可以继续使用这个法则。
未定式（罗必塔法则二）：
若其中x→∞时，结论也成立。
未定式0·
∞型及∞-∞型：
这两类未定式可转化为型或型。
未定式00,∞0,1∞型：
该类未定式可以通过对数转化为前面的未定式。
l微分的运算及法则
由微分的的概念dy=f’（x）dx可知，求一个函数的微分，只要求出导数f’（x）再乘以dx就得到微分dy，因此不难由导数公式做出相应的微分公式。
例，对于y=sinx，有y’=cosx，从而dy=cosxdx。
微分的法则：
d（cu）=cdu；
d（u±
v）=du±
dv；
d（uv）=udv+vdu；
d（）=
l不定积分的性质、基本公式及计算方法
由不定积分定义及微分知识，可直接推出不定积分的性质：
性质一：
[]’=f（x）或d[]=f（x）dx；
性质二：
=F（x）+c；
性质三：
=k（k是不为0的常数）；
性质四：
=±
。
不定积分的基本公式（均应加上常数C）：
=c；
；
；
；
；
；
。
第一换元积分法：
设函数u=φ（x），且f（u）有原函数F（u），
∴du=φ’（x）dx（即dx=du/φ’（x））《=参见微分概念及计算
∴==F（u）+c=F[φ（x）]+c
注意：
该公式有一个隐含的条件，即要求原积分公式中已含有φ’（x），方可在换元时代入dx=du/φ’（x）并约去φ’（x）。
提示：
该积分法的步骤是先找出适当的u=φ（x），将函数转化为关于u的积分公式，再求出关于u原函数，最后根据u与x的关系代入x。
第二换元积分法：
设函数x=φ（t）单调可微且φ’（t）≠0，
∴dx=φ’（t）dt《=参见微分概念及计算
∴==F（t）+c=F[φ-1（x）]+c
该积分法的步骤是先找出适当的x=φ（t），将函数转化为关于t的积分公式，再求出关于t原函数，最后根据x与t的关系代入x。
分部积分法：
设函数u=u（x），v=v（x）具有连续导数，则
=uv-《=解题时这个为u不行就换那个为u
提示：
运用此公式有时可以使难求的不定积分转化为易求的不定积分，从而得所求结果。
l定积分的性质及计算方法：
=k（k为常数）；
=b-a；
若把区间[a，b]分为两个区间[a，c]与[c，b]，则
=+
注意：
c有任意性，可在[a，b]之外；
性质五：
若f（x）与g（x）在[a,b]上有f（x）≤g（x），则
≤；
性质六：
若M，m分别是f（x）在[a，b]上的最大值和最小值，则
m（b-a）≤≤M（b-a）《=估值定理
性质七：
若f（x）在[a，b]上连续，则至少有一点ξ∈（a,b），使得
=f（ξ）（b-a）《=定积分中值定理，求平均值。
牛顿—莱布尼兹公式：
若f（x）在[a，b]上连续，F（x）是f（x）的一个原函数，则
=F（x）=F（b）-F（a）
可见，计算定积分，先用不定积分的方法求出一个原函数，然后把上、下限a，b代入原函数作减法运算。
换元积分法：
设函数x=φ（t），则dx=φ’（t）dt，若满足：
（1）、当t=α时，x=a；
当t=β时，x=b；
（2）、当t在[α,β]上取值时，φ（t）的变化单调且范围是[a,b]，则
==F（t）
运用此公式时，要同时换上下限，新的积分上、下限代入自变量t的原函数相减即可，不必再回到原来的积分变量x。
设函数u（x）,v（x）在[a,b]上有连续的导数u’（x）、v’（x），则
=[u（x）v（x）]-
即=uv-
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