03利用数形结合思想求面积解读Word格式文档下载.docx
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④利用相应的公式或定理计算。
3、本讲内容主要是数形结合思想在求面积的中的应用.
二、应用举例
类型一数形结合思想在平面图形中的应用——“数”中构“形”
【例题1】在一次数学活动中，小明为了求的值，他设计了如下图边长为1的正方形纸片，并用不同的标记标出了正方形面积的，，，...请你根据掌握的数形结合的思想，推出当为整数时，的结果（用表示）.
【答案】
【解析】
试题分析：
为了求出的值，如果直接去求，对于初中生来说是非常困难的，我们可以考虑用数形结合思想来解决.我们可以这样理解，用剪刀去剪这个正方形纸片，第一次减去正方形纸片的一半，正方形剩余面积是，第二次减去剩余图形的一半，得到图形面积是，第三次减去第二次剪剩的图形的一半，得到的图形面积是，即每次减去前一次剩余图形面积的一半，...那么第次剪后得到的图形面积是，把每次减下来的面积相加，即得到
试题解析：
解：
考点：
探究规律.
点评：
“数无形不直观，形无数难入微”.见到数量就要考虑它的几何意义，见到图形就应考虑它的代数关系，运用数形结合思想解决数学问题.
【难度】一般
【例题2】本市新建的滴水湖是圆形人工湖.为测量该湖的面积,小杰和小丽沿湖边选取A、B、C三根木柱,使得A、B之间的距离与A、C之间的距离相等,并测得BC长为240米,A到BC的距离为5米,如图所示.请你帮他们求出滴水湖的面积.（结果保留两位有效数字）
【答案】平方米
要解决这个实际问题就要借助勾股定理等几何图形的知识解决.
如图，设圆心为，连结，，交线段于点.
∵，
∴，
∴，且，
由题意知，
设米，
∴
∴滴水湖的面积为平方米
数形结合思想解决实际问题
解题的关键是正确将实际问题所反应的数量关系转化为几何图形语言，借助勾股定理、垂径定理、三角形相似的判定定理与性质定理等几何图形的知识，可以实现代数与几何之间的相互转化.
类型二数形结合思想在平面图形中的应用——“形”中觅“数”
【例题3】将如图的五个边长为1的正方形组成的十字形剪拼成一个正方形.
这是一类很常见的问题，如果单单从“形”的角度来思考，恐怕除了试验，没有其它更好的办法了，但是如果我们先不忙考虑怎样剪裁，而是从数的角度来算一下，我们不难利用面积算出剪拼出来的正方形边长应该是.现在我们只需在图中找出边长为的线段，以此为一边作一个正方形（如图），我们就不难设计出各种剪裁方法了.
1.正方形的性质，2.剪纸问题，3.图形的剪拼
有人把这种方法叫做“面积法”，其实“面积法”这个名字并没有揭示这类方法的本质，“面积”是剪拼中的一个“不变量”，几乎所有剪拼问题，都可以先抓住“面积”这个不变量来进行“数”的计算，另一方面，“面积”本身就是从“数”的角度来刻画“图形”的大小特征的一个概念，因此，所谓“面积法”，实际上就是“数形结合”这种数学思想的一种具体体现.
【例题4】如图，在直角三角形中，，点在斜边上,点分别在直角边上，且，四边形是正方形，则阴影部分面积为
设正方形的边长为，由四边形是正方形，，
得到，根据相似三角形对应边成比例，即可求得与的值，在中，利用勾股定理可得到，再利用三角形面积公式得，代入计算即可得到阴影部分面积.
设正方形的边长为，
∵四边形是正方形，，
在中，，即，
故答案为：
.
相似三角形的判定与性质，正方形的性质.
本题考查了三角形相似的判定和性质，勾股定理及三角形面积公式.此题难度较大，解题的关键是注意数形结合思想和方程思想的应用.
【难度】较难
类型三数形结合思想在函数中的应用——直击中考
【例题5】如图，两个反比例函数和的图象分别是和．设点P在上，轴，垂足为C，交于点A，轴，垂足为D，交于点B，则三角形PAB的面积为（）
A．3B．4C．D．5
【答案】C
设P的坐标是，推出A的坐标和B的坐标，求出PA、PB的值，根据三角形的面积公式求出即可.
∵点P在上，
∴设P的坐标是.
∵轴，∴A的横坐标是.
∵A在上，∴A的坐标是.
∵轴，∴B的纵坐标是.
∵B在上，
∴，解得：
∴B的坐标是
∴.
∴△PAB的面积是：
故选C
反比例函数系数的几何意义
本题考查了反比例函数和三角形面积公式的应用，关键是根据点P的坐标得出A、B
坐标，本题具有一定代表性，是一道较好的数形结合的题目.
【例题6】如图
（1），在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90º
，动点P从点B出发沿BC，CD运动至点D停止．设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，如果y关于x的函数图象如图
（2）所示，则△BCD的面积是（）
A．3B．4C．5D．6
【答案】A
动点P从直角梯形ABCD的直角顶点B出发，沿BC，CD的顺序运动，则△ABP面积y在AB段随x的增大而增大，在CD段，△ABP的底边不变，高不变，因而面积y不变化.由图2可以得到：
BC=2，CD=3，△BCD的面积是.故选A.
∵由图像可知:
BC=2，CD=3
动点问题的函数图像.
本题要求掌握动点问题的函数图像，理解问题的过程，能够通过图像得到函数是随自变量的增大，知道函数值是增大还是减小，是典型的数形结合思想的应用.
【难度】较易
【例题7】
（2016届定州）如图，在平面直角坐标系中，已知OA=12厘米，OB=6厘米．点P从点O开始沿OA边向点A以1厘米/秒的速度移动；
点Q从点B开始沿BO边向点O以1厘米/秒的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动的时间（0≤t≤6）．
设△POQ的面积为s，写出s关于t的函数关系式；
当t为何值时，△POQ的面积最大，这时面积是多少？
【答案】s=-t2+3t;
当t=3时，s有最大值．
根据P、Q的速度，用时间t表示出OQ和OP的长，即可通过三角形的面积公式得出s，t的函数关系式；
根据函数式求出s最大时即可；
由题意可知，s=（6-t）t=-t2+3t,（0≤t≤6）
配方得，s=-t2+3t=-（t-3）2+,
因为-＜0，所以，当t=3时，s有最大值．
二次函数综合题．
本题考查了二次函数，涉及到三角形的面积公式，解答时要注意t的范围.
【例题8】如图，抛物线与双曲线相交于点A，B，且抛物线经过坐标原点，点A的坐标为（﹣2，2），点B在第四象限内，过点B作直线BC∥x轴，点C为直线BC与抛物线的另一交点，已知直线BC与x轴之间的距离是点B到y轴的距离的4倍，记抛物线顶点为E．
（1）求双曲线和抛物线的解析式；
（2）计算△ABC与△ABE的面积；
（3）在抛物线上是否存在点D，使△ABD的面积等于△ABE的面积的8倍？
若存在，请求出点D的坐标；
若不存在，请说明理由．
（1），
（2）15，（3）D的坐标（3，﹣18）或（﹣4，﹣4）
（1）将点A的坐标代入双曲线方程即可得出k的值，设B点坐标为（m，﹣4m）（m＞0），根据双曲线方程可得出m的值，然后分别得出了A、B、O的坐标，利用待定系数法求解二次函数解析式即可。
（2）根据点B的坐标，结合抛物线方程可求出点C的坐标，从而可得出△ABC的面积。
先求出AB的解析式，然后求出点F的坐标，及EF的长，从而根据S△ABE=S△AEF+S△BEF可得△ABE的面积。
（3）先确定符合题意的△ABD的面积，从而可得出当点D与点C重合时，满足条件；
当点D与点C不重合时，过点C作AB的平行线CD，则可求出其解析式，求出其与抛物线的交点坐标即可得出点D的坐标。
（1）∵点A（﹣2，2）在双曲线上，
∴k=﹣4.
∴双曲线的解析式为.
∵BC与x轴之间的距离是点B到y轴距离的4倍，
∴设B点坐标为（m，﹣4m）（m＞0）代入双曲线解析式得m=1.
∴抛物线过点A（﹣2，2）、B（1，﹣4）、O（0，0）.
∴抛物线的解析式为.
（2）∵抛物线的解析式为，
∴顶点E（），对称轴为x=.
∵B（1，﹣4），
∴﹣x2﹣3x=﹣4，解得：
x1=1，x2=﹣4.
∴C（﹣4，﹣4）.
∴S△ABC=×
5×
6=15，
由A、B两点坐标为（﹣2，2），（1，﹣4）可求得直线AB的解析式为：
y=﹣2x﹣2.
设抛物线的对称轴与AB交于点F，则F点的坐标为（，1）.
∴EF=.
∴S△ABE=S△AEF+S△BEF=×
×
3=.
（3）S△ABE=，∴8S△ABE=15.
∴当点D与点C重合时，显然满足条件，
当点D与点C不重合时，过点C作AB的平行线CD，
其直线解析式为y=﹣2x﹣12。
令﹣2x﹣12=﹣x2﹣3x，解得x1=3，x2=﹣4（舍去）.
当x=3时，y=﹣18，故存在另一点D（3，﹣18）满足条件.
综上所述，可得点D的坐标为（3，﹣18）或（﹣4，﹣4）.
二次函数综合题
此题属于二次函数综合题目，第一问解答关键掌握待定系数法的运用，求解第二问需要我们会根据函数解析式求函数图像的交点坐标，此类题目难度较大，注意逐步分析
三、实战演练
（一）“数”中构“形”
1.已知，求以为边的三角形的面积.
构造长为宽为的矩形，分别看作由、、为长和宽的矩形的对角线长，面积可求.
运用运用数形结合法构图，如图所示：
由勾股定理得：
，，，
∴△ABC的面积
勾股定理
本题考查了勾股定理、数形结合法求三角形的面积，熟练掌握勾股定理，运用数形结合法求出三角形面积是解决问题的关键.
2.设均为正实数，且满足.求证：
【答案】证明：
由图可知：
＜
即
所以
由题设想到构造边长为1的正方形，并在边上分别取点，使（如图）则，，，连结，于是，所求问题转化为比较的大小，
显然＜
证明：
利用数形结合思想证明不等式
此题构图的基本思想是部分
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