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二、定积分的定义
设函数在上有界.
1、在中任意插入个分点
把区间分成个小区间
每个小区间的长度依次为
;
2、在每个小区间上任取一点，作乘积
;
3、作和式
;
4、记,作极限
如果对的任意分法，对在小区间上的任意取法，极限总趋近于同一个定数,那么我们就称在上可积,称这个极限值为在区间上的定积分，记作
其中叫做被积函数，叫做被积表达式，叫做积分变量，叫做积分下限，叫做积分上限，叫做积分区间。
定理1设在上连续，则在上可积。
定理2设在上有界，且只有有限个间断点，则在上可积。
定积分的几何意义：
当时，定积分表示由，以及围成的图像的面积。
课后作业或阅读书目、下次课预习内容
第六章第二节
掌握定积分的性质
定积分的性质
第二节定积分的性质
性质1函数的和（差）的定积分等于它们的定积分的和（差），即
性质2被积函数的常数因子可以提到积分号的外，即
性质3（积分区间的可分性）设，则
性质4如果在区间上，则
性质5如果在区间上，则
，
推论1如果在区间上，,则
推论2
性质6设分别是函数在区间上的最大值和最小值，则
性质7（定积分中值定理）如果函数在区间上连续，则在积分区间上至少存在一个点，使下式成立
这个公式叫做积分中值公式。
第六章第三节
1、掌握积分上限的函数及其导数的概念
2、掌握微积分的基本公式（牛顿-莱布尼兹公式）
3、能利用基本公式计算简单的定积分
积分上限的函数及其导数的概念；
牛顿-莱布尼兹公式
第三节微积分的基本公式
一、积分上限的函数及其导数
设函数在上连续，并且设为上的一点，则
称为积分上限的函数，这个函数有下面重要性质：
在上可导，并且它的导数是
定理2如果在上连续，则函数就是在上的一个原函数。
二、牛顿-莱布尼兹公式
定理3如果函数是连续函数在上的一个原函数，则
此公式称为微积分基本公式。
例1~例6
第六章第四节
熟练掌握定积分的换元积分法
定积分的换元积分法
第四节定积分的换元积分法
定理设函数在上连续，函数满足
（1）,;
（2）在或上具有连续导数且值域为，则有
此公式成为定积分的换元公式。
与不定积分的换元公式不同的是：
我们只要计算在新的积分变量下，新的被积函数在新的积分区间内的积分值，从而避免了积分后新变量要代回原变量的麻烦。
例1计算
解：
令，则，且当时，，当时，，所以
==
=
例2~~例6
第六章第五节
熟练掌握定积分的分部积分法
定积分的分部积分法
第五节定积分的分部积分法
设函数与在上有连续导数，则，即
等式两端取由到的积分，即得
这就是定积分的分部积分公式。
=
例2计算
解:
令，，，
==
==
第六章第七节
熟练掌握定积分的几何应用
定积分的几何应用—平面图形的面积
第七节定积分的几何应用
一、定积分的元素法
二、平面图形的面积
1.由所围成图形的面积。
此即为平面图形的面积计算公式.
2.由所围成图形的面积。
或
例6求由与所围成平面图形的面积。
解：
有解得两条曲线的交点纵坐标为.
2016年3月31日星期四第1-2节
7
第八章第一节
1、掌握区域及其相关概念
2、掌握多元函数的概念
教学重点：
区域及其相关概念.
教学难点：
多元函数的概念.
讲授法
一、区域
1.邻域
设,为某一正数，在中与点的距离小于的点的全体，称为点的邻域，记作,即
.
在几何上，就是平面上以点为中心，以为半径的圆盘（不包括圆周）.
中除去点后所剩部分，成为点的去心邻域，记作.
2.内点、边界点和聚点
设集合,点,如果存在，使得,则称是的内点.
若在点的任一邻域内，都既有集合的点，又有余集的点，则称是的边界点，的边界点的全体成为的边界，记作.如果对任意给定的，的去心邻域中总有中的点，则称是的聚点.
3.开集与闭集
设集合，如果中每一点都是的内点，则称是中的开集；
如果的余集是中的开集，则称是中的闭集.
4.有界集与无界集；
5.区域、闭区域
二、多元函数的概念
定义1设是的一个非空子集，从到实数集的任一映射称为定义在上的一个元（实值）函数，记作:
或
其中称为自变量，称为因变量，称为函数的定义域，称为函数的值域，并且称中的子集
为函数的图形.
作业P3021
（1）
（2）
下次课预习：
多元函数的极限与连续性
1、掌握多元函数的极限
2、掌握多元函数的连续性
多元函数的极限.
元函数的连续性.
三.多元函数的极限
定义2设二元函数的定义域为，是的聚点，如果存在常数，使得对于任意给定的正数，总存在正数，只要点，就有
则称为函数当趋于时的极限，记作:
我们把二元函数的极限叫做二重极限.
例1——例3
四.多元函数的连续性
定义3设二元函数的定义域为，是的聚点，且,如果
则称在点处连续.如果在的每一点处都连续，则称函数在上连续，或称是上的连续函数.
如果在点不连续，则称为函数的间断点.
偏导数
第八章第二节
1、掌握偏导数的定义及其计算方法
2、掌握偏导数的几何意义
偏导数的定义及其计算方法；
偏导数的几何意义.
偏导数的定义及其计算方法.
一.偏导数的定义及其计算方法
定义设函数的在点的某邻域内有定义，当固定在，而在处取得增量时，函数相应地取得增量，如果
存在，则称此极限为函数在点对的偏导数,记作
，，，
类似地，如果
当函数的在点同时存在对与对的偏导数时，简称在点可偏导.
例1求函数在点处的偏导数.
将视为常数，对求导得
所以
，.
例2——例3见P304
二.偏导数的几何意义
表示曲线在点处的切线对轴的斜率；
同样表示曲线在点处的切线对轴的斜率.
例4设，求的偏导数并讨论在的连续性.
当时，
.
当时,
由例2可知，不存在，故在处不连续.
此例说明，函数在一点偏导数存在时不一定连续.
作业P3111
（1）
（2）（3）（4）
高阶偏导数和全微分
第八章第二节、第三节
1、掌握高阶偏导数的概念
2、熟练掌握全微分的概念，并会计算多元函数的全微分
1.高阶偏导数的概念；
2.全微分的概念.
1.高阶偏导数的计算；
2.全微分的概念与计算.
三.高阶偏导数
设函数在平面区域内处处存在偏导数与，如果这两个偏导函数仍可求偏导，则称它们的偏导数为函数的二阶偏导数，按照次序的不同，我们有下列四种不同的二阶偏导数.
函数关于的二阶偏导数，记作，，等.由下式定义：
类似地，可以定义其他三种形式的二阶偏导数，其记号与定义分别为;
例5.求函数的四个二阶偏导数及三阶偏导数.
因为
，,
，，，，.
定理如果函数的两个二阶混合偏导数与在区域内连续，那么在该区域内
第三节全微分及其应用
一、全微分
定义设函数在点的某邻域内有定义.如果函数在点的全增量
可以表示为
其中不依赖于，而仅与有关，，则称函数在点可微分，而称为函数在点的全微分，记作，即
习惯上，自变量的增量与常写成与，并分别为称自变量的微分.于是，函数的全微分也可写为
当函数在区域内各点处都可微时，那么称在区域内可微分.
下面给出函数在点可微分的条件.
定理（必要条件）若函数在点可微分，则
（1）在点处连续;
（2）在点处可偏导，且有，即在点的全微分为
由此可知偏导数存在是可微分的必要条件而不是充分条件.
若三元函数可微分，则有
例1求函数的全微分.
，，
例2求函数在点处的全微分.
二、全微分在近似计算中的应用
当二元函数在点的两个偏导数,连续，并且，都较小时，就有近似等式
上式也可以写成
例4计算的近似值.
设函数
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