工程电磁场教案国家精品课华北电力学院崔翔第2章第二部分文档格式.docx
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所以（a<
<
b）
由因为
则
得（a<
（2）最大场强位于内导体表面（=a），其值为
3．边界条件
介质分界面上的边界条件：
跨越分界面的一狭小的矩形回路l如图所示，且令l2→0而l1足够地短。
求电场强度在l上的环量，有
即E1t=E2t或en（E2-E1）=0
上式表明，在介质分界面上电场强度的切向分量是连续的。
跨越分界面的一个扁平圆柱体S如图所示，令两个底面S足够小且平行于分界面，圆柱面高度l→0。
求电位移矢量在圆柱面的通量，有
式中分界面上法线方向单位矢量en规定为由介质1指向介质2，是分界面上可能存在的自由电荷面密度。
从而得
D2n-D1n=或en（D2-D1）=
一般两种介质分界面上不存在自由电荷（=0），此时有
D1n=D2n或en（D2-D1）=0
上式表明，在介质分界面上电位移矢量的法向分量是连续的。
对于两种线性且各向同性介质，应用上述边界条件，得
E1sin1=E2sin2，1E1cos1=2E2cos2
两式相除，得
上式综合表述了场量在介质分界面上遵循的物理规律，称为静电场的折射定律。
导体表面上的边界条件：
设导体为媒质1、导体外介质为媒质2，并考虑到导体内部电场强度和电位移矢量均为零且其电荷只能分布在导体表面，得
E1t=E2t=0，D2n-D1n=D2n=
式中，是导体表面的电荷面密度。
上式说明在导体表面相邻处的电场强度E和电位移D都垂直于导体表面，且电位移的量值等于该点的电荷面密度（需注意en是导体表面的外法线单位矢量）。
一般写为
Et=0或enE=0；
Dn=或enD=
4．边界条件的电位表达
介质分界面：
由于介质分界面上E1t=E2t，显然可以得出
1=2
即电位连续在介质分界面上是连续的。
又由于D2n-D1n=和
最后可以得出，边界条件的电位表示为
1=2，
=C，
式中，C是由所论静电场导体系统决定的常数。
例2：
图示平行板电容器，其极板间介质由两种绝缘材料组成，介质的分界面与极板平行。
设电容器外施电压为U0，试求：
（1）两绝缘材料中的电场强度；
（2）极板上的电荷面密度。
[解]：
（1）在电压U0下，并应用分界面的边界条件，得
，
（2）极板A上的电荷面密度为
极板B上的电荷面密度为=-D2n=-2E2=-
讨论：
本例中，设r2r1，则E1E2。
在实际中，如果因制造工艺上的不完善性，使极板与绝缘材料间留有一空气层，设绝缘材料的相对介电常数为r2，则空气层中电场强度E1将为绝缘材料中电场强度E2的r2倍，这很容易由于空气层被击穿而导致电容器的损坏。
2．5边值问题
1．泛定方程
由D=、D=E和E=-，得
D=E=-==〉=-
对于均匀介质为常数，得
2=-/
上式称为电位的泊松方程，式中，称为拉普拉斯算子，在直角坐标系中2
对于场中无自由电荷分布（=0）的区域，泊松方程退化为拉普拉斯方程，即
2=0
2．边界条件
第一类边界条件（狄利赫莱条件）：
场域边界S上的电位分布已知，即
式中rb为相应边界点的位置矢量。
它与泛定方程构成第一类边值问题。
第二类边界条件（纽曼条件）：
场域边界S上电位的法向导数分布已知，即
当f2（rb）取零时，称为第二类齐次边界条件。
它与泛定方程构成第二类边值问题。
第三类边界条件（混合条件）：
场域边界S上电位及其法向导数的线性组合已知，即
它与泛定方程构成第三类边值问题。
无限远边界条件：
对于电荷分布在有限域的无边界电场问题，在无限远处有
即电位在无限远处趋于零，（r）|r→=0
介质分界面条件：
当场域中存在多种媒质时，还必须引入不同介质分界面上的边界条件，常称为辅助的边界条件。
静电场边值问题：
就是在给定的边界条件下，求解满足泊松方程或拉普拉斯方程的电位函数。
3．直接积分法
对于一些具有对称结构的静电场问题，电位函数仅是一个坐标变量的函数。
静电场边值问题可归结为常微分方程的定解问题。
这时可以直接积分求解电位函数。
图示二块半无限大导电平板构成夹角为的电极系统。
设板间电压为U0，试求导电平板间电场。
本例为平行平面场问题，选极坐标系进行分析。
显然电位仅是变量的函数，可以写出如下的第一类边值问题：
将泛定方程直接积分二次，得通解为
=C1+C2
由给定的两个边界条件，得
，C2=0
所以
求真空中球状分布电荷所产生的空间电场强度和电位分布，设电荷体密度为
设球状电荷分布内、外的电位分别为1和2，显然，1满足泊松方程，2满足拉普拉斯方程。
由于电荷分布的球对称性，选球坐标系，有
（0<
ra）
（ra）
边界条件为
；
；
可解得1和2的通解为
代入边界条件，得
C1=0，C4=0，C2=，C3=
最终得电位函数的解为
利用球坐标系中的梯度表达式，求得
可见，以上结果与应用高斯定理求得的结果完全一致。
4．分离变量法
基本思路：
当待求电位函数是二个或三个坐标变量的函数时，分离变量法是直接求解偏微分方程定解问题的一种经典方法。
对于拉普拉斯方程对应的边值问题，其步骤是：
首先，结合场域边界形状，选用适当的坐标系；
其次，设待求电位函数由两个或三个各自仅含一个坐标变量的函数乘积组成，并代入拉普拉斯方程，借助于“分离”常数，将拉普拉斯方程转换为两个或三个常微分方程；
第三，解这些常微分方程并以给定的定解条件决定其中的待定常数和函数后，即可解得待求的电位函数。
一般而言，当场域边界和某一正交曲线坐标系的坐标面相吻合时，分离变量法往往是一种简便而有效的方法。
直角坐标系中的平行平面场问题：
设电位函数为（x，y），满足拉普拉斯方程：
设电位函数有分离变量形式，即
（x，y）=X（x）Y（y）
代入拉普拉斯方程，整理得
显然，上式两边在x和y取任意值时恒成立，即等式两边应该恒为同一常数。
记该常数（常称为分离常数）为，这样，上式即转化为两个常微分方程
，
式中，分离常数可取0、mn2>
0和-mn2<
0，可分别得出如下三种形式的解，即
当=0时X（x）=A10+A20x；
Y（y）=B10+B20y
当=mn2>
0时X（x）=A1nchmnx+A2nshmnx；
Y（y）=B1ncosmny+B2nsinmny
当=-mn2<
0时X（x）=A1ncosmnx+A2nsinmnx；
Y（y）=B1nchmny+B2nshmny
当mn取不同值时，上述解的线性组合便构成了拉普拉斯方程的通解，即
最后，可根据给定的定解条件，通过傅里叶级数展开方法，确定各个待定常数。
例3：
长直接地金属槽的横截面如图所示，其侧壁与底面电位均为零，顶盖电位为0。
求槽内电位分布。
依题意，本问题为第一类边值问题，即
由于电位函数在x方向具有周期性、在y方向具有单调性，得A1n=0和A2n=0。
通解为
由边界条件，当x=0和y=0时，=0，得
A10=0，A1n=0，B10=0，B1n=0
即
又因为当x=a时，=0，得
C0=0，,（n=1,2,3,）
故得
最后，当y=b时，=0，代入上式，有
作傅里叶正弦级数展开，
积分，得
又上式，得
本问题的电位函数解答为
本问题的等位线的分布如图虚线所示。
圆柱坐标系中的平行平面场问题：
设电位函数为（，），满足拉普拉斯方程：
令电位函数为（，）=R（）Q（），代入上式，并理得
式中n2为分离常数，上式转化为下列两个常微分方程：
当n＝0时R（）=A10+A20ln；
Q（）=B10+B20
当n0时R（）=A1nn+A2n-n；
Q（）=B1ncosn+B2nsinn
得电位函数的通解为
由给定的边界条件，即可确定上式中的各个待定常数，最终得到待求的电位函数。
例4：
一个横截面半径为a，介电常数为1的长直介质圆柱体放置在均匀的外电中（场强为E0，方向与介质圆柱的轴线相垂直），介质外的介电常数为2，如图所示。
求圆柱体放入后，场域中的电位和电场强度。
采用圆柱坐标系，且令z轴与圆柱轴重合，外电场方向与x轴同向，如图所示。
分别以1和2表示圆柱内外的电位函数。
首先，确定定解条件。
选坐标原点为电位参考点，即1=0，=0
因而，均匀外电场E0=E0i对应的电位函数为
0=-xE0=-E0cos
显然，当时介质圆柱体产生的极化电场应当消失，在处的电位应与均匀外电场对应的电位0相一致，即
2=0=-E0cos，
在圆柱表面=a处，介质分界面的边界条件为
1=2
由本例图示可以看出，电场分布关于x轴对称，即1，2（,）=1，2（,-），这意味着特解Q（）是偶函数，所以，B20=B2n=0。
另外，根据场的对称性可以推知，y轴是电位等于零的等位线，即（，/2）＝0，也就是
A10=A20=0,B1ncos（n/2）=0
可知n取奇整数。
然而，对的电位分析可知，B1n=0（n=3，5，…）。
综上讨论，得
1=（C1+D1-1）cos，a
2=（C2+D2-1）cos，a
由=0，1=0可得D1=0。
又由，2=-E0cos得C2=-E0。
最后利用介质分界面的边界条件，有
C1acos=（-E0a+D2/a）cos
1C1cos=2（-E0-D2/a2）cos
解得
，
电位函数的解答为
，a
，a
圆柱介质内外的电场强度为
可见，圆柱体内为均匀电场，且与外加均匀电场方向一致，如
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