图的存储遍历及最小生成树Word格式.docx
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代表两条不同的弧。
【例】<
vi，vj>
表示一条有向边，vi是边的始点（起点），vj是边的终点。
注意:
<
和<
vj，vi>
是两条不同的有向边。
（2）有向图的表示
【例】上面7.1图中G2是一个有向图。
图中边的方向是用从始点指向终点的箭头表示的，该图的顶点集和边集分别为：
顶点集V={v1,v2,v3}
弧集E={<
v1,v2>
<
v1,v3>
v2,v3>
v3,v2>
}。
<
与<
表示两条不同的边。
2．无向图
如图7.1G1中所示的每条边都是没有方向的，则称G为无向图（Undigraph）。
（1）无向边的表示
通常用圆括号表示无向边，（v,w）表示顶点v和w间相连的边。
在无向图中（v,w）和（w,v）表示同一条边，如果顶点v,w之间有边（v,w），则v,w互称为邻接点。
【例】无序对（vi，vj）和（vj，vi）表示同一条边。
（2）无向图的表示
【例】上面7.1图中的G1是无向图，它们的顶点集和边集分别为：
顶点集：
V={v1,v2,v3,v4}
边集：
E={（v1,v2）,（v1,v3）,（v1,v4）,（v2,v3）,（v3,v4）}
（v2,v1）与（v1,v2）表示同一条边，（v2,v3）与（v3,v2）也表示同一条边，等等。
3．图G的顶点数n和边数e的关系
（1）若G是无向图，则0≤e≤n（n-1）/2
恰有n（n-1）/2条边的无向图称无向完全图（Undireet-edCompleteGraph）
（2）若G是有向图，则0≤e≤n（n-1）。
恰有n（n-1）条边的有向图称为有向完全图（DirectedCompleteGraph）。
注意：
完全图具有最多的边数。
任意一对顶点间均有边相连。
4.对图的讨论中我们对图作一些限制：
第一，图中不能有从顶点自身到自身的边（即自身环），就是说不应有形如（vx,vx）的边或<
vx,vx>
的弧。
第二，两个顶点vt和vu之相关联的边不能多于一条。
图的邻接矩阵
1．图的邻接矩阵表示法
在图的邻接矩阵表示法中：
①用邻接矩阵表示顶点间的相邻关系
②用一个顺序表来存储顶点信息
2．图的邻接矩阵（AdacencyMatrix）
设G=（V，E）是具有n个顶点的图，则G的邻接矩阵是具有如下性质的n阶方阵：
【例】下图中无向图G5和有向图G6的邻接矩阵分别为Al和A2。
从图的邻接矩阵表示法中可以得到如下结论：
（1）对于n个顶点的无向图，有A（i，i）=0，1≤i≤n。
（2）无向图的邻接矩阵是对称的，即A（i，j）=A（j，i），1≤i≤n，1≤j≤n。
（3）有向图的邻接矩阵不一定对称的。
因此用邻接矩阵来表示一个具有n个顶点的有向图时需要n2个单位来存储邻接矩阵；
对有n个顶点的无向图则需存入上（下）三角形，故只需n（n+1）/2个单位。
（4）无向图的邻接矩阵的第i行（或第i列）非零元素的个数正好是第i个顶点的度TD（vi）。
（5）有向图的邻接矩阵的第i行（或第i列）非零元素的个数正好是第i个顶点的出度OD（vi）[或入度ID（vi）]。
3．网（带权值的图）的邻接矩阵
若G是网络，则邻接矩阵可定义为：
wij表示边上的权值；
∞表示一个计算机允许的、大于所有边上权值的数。
【例】下面（a）是一个带权图，（b）是对应的邻接矩阵的存储结构
（a）带权图
（b）邻接矩阵
4．邻接矩阵的图类
constintMaxVertices=10;
constintMaxWeight=32767;
classAdjMWGraph
{private:
intVertices[10];
//顶点信息的数组
intEdge[MaxVertices][MaxVertices];
//边的权值信息的矩阵
intnumE;
//当前的边数
intnumV;
//当前的顶点数
public:
………;
//公有函数
private:
//私有函数
}
①在简单应用中，可直接用二维数组作为图的邻接矩阵（顶点表及顶点数等均可省略）。
②当邻接矩阵中的元素仅表示相应的边是否存在时，EdgeTyPe可定义为值为0和1的枚举类型。
③无向图的邻接矩阵是对称矩阵，对规模特大的邻接矩阵可压缩存储。
④邻接矩阵表示法的空间复杂度S（n）=0（n2）。
图的邻接链表
邻接链表（AdjacencyList）是图的一种链式存储结构，与树型结构中的孩子链表相似。
通常邻接链表也称邻接表。
1．邻接表的结点结构
边结点结构
邻接表中每个表结点均有两个域:
①邻接点域adjvex
存放与vi相邻接的顶点vj的序号j。
②链域next
将邻接表的所有表结点链在一起。
如果带权图，则在表结点中还应增加一个保存权值等相关信息info。
2．邻接表的表示
对于无向图，vi的邻接表中每个表结点都对应于与vi相关联的一条边。
因此，将邻接表的表头向量称为顶点表。
将无向图的邻接表称为边表。
n个顶点e条边的无向图的邻接表表示中有n个顶点表结点和2e个边表结点。
对于有向图，vi的邻接表中每个表结点都对应于以vi为始点射出的一条边。
因此，将有向图的邻接表称为出边表。
n个顶点e条边的有向图，它的邻接表表示中有n个顶点表结点和e个边表结点。
4．有向图的逆邻接表
在有向图中，为图中每个顶点vi建立一个入边表的方法称逆邻接表表示法。
入边表中的每个表结点均对应一条以vi为终点（即射入vi）的边。
【例】
n个顶点e条边的有向图，它的接表表示中有n个顶点表结点和e个边表结点。
图的遍历
从图中某一顶点出发，按某种搜索方法访遍其余顶点，且使每一顶点仅被访问一次。
这一过程称为图的遍历。
遍历图的基本搜索方法有两种：
深度优先搜索DFS（DepthFirstSearch）和广度优先搜索BFS（BroadFirstSearch）。
这两种方法都适用于有向图和无向图。
图的遍历算法设计需要考虑3个问题：
（1）图的特点没有首尾之分，所以算法的参考要指定访问的第一个顶点。
（2）对图的遍历路径有可能构成一个回路，从而造成死循环，所以算法设计要考虑遍历路径可能的回路问题。
（3）一个顶点可能和若干个顶点都是想邻顶点，要使一个顶点的所有想邻顶点按照某种次序被访问。
对于连通图，从初始顶点出发一定存在路径和图中的所有其他顶点相连，所以对于连通图从初始顶点出发一定可以遍历该图。
图的深度优先遍历
图的深度优先遍历DFS算法是每次在访问完当前顶点后，首先访问当前顶点的一个未被访问过的邻接顶点，然后去访问这个邻接点的一个未被访问过的邻接点，这样的算法是一个递归算法。
1.连通图的深度优先遍历算法思想。
（1）访问初始顶点v并标记顶点v已访问。
（2）查找顶点v的第一个邻接顶点w。
（3）若顶点v的邻接顶点w存在，则继续执行；
否则回溯到v，再找v的另外一个未访问过的邻接点。
（4）若顶点w尚未被访问，则访问顶点w并标记顶点w为已访问。
（5）继续查找顶点w的下一个邻接顶点wi，如果v取值wi转到步骤（3）。
直到连通图中所有顶点全部访问过为止。
【例】现以图7.9（a）为例说明深度过优先搜索过程。
假定v1是出发点，首先访问v1。
因v1有两个邻接点v2、v3均未被访问过，可以选择v2作为新的出发点，访问v2之后，再找v2的未访问过的邻接点。
同v2邻接的有v1、v4、v5，其中v1已被访问过，而v4、v5尚未被访问过，可以v4选择作为新的出发点。
重复上述搜索过程，继续依次访问v8、v5。
访问v5之后，由于与v5相邻的顶点均已被访问过，搜索退回到v8。
由于v8、v4、v2都是已被访问的邻接点，所以搜索过程连续地从v8退回到v4，再退回到v2，最后退回到v1。
这时选择v1的未被访问过的邻接点v3，继续往下搜索，依次访问v3、v6、v7，从而遍历了图中全部顶点。
在这个过程中得到的顶点的访问序列为：
具体算法演示请点击查看
2.深度优先遍历算法
（1）邻接矩阵的深度优先遍历算法：
【算法7.1】
voidAdjMWGraph:
:
Depth（intv,intvisited[]）
{cout<
"
\n顶点"
v+1"
权值：
Vertices[v];
visited[v]=1;
for（intcol=0;
col<
numV;
col++）
{if（Edge[v][col]==0||Edge[v][col]==MaxWeight）continue;
if（!
visited[col]）Delpth（col,visited）;
}
故用邻接矩阵表示图时，搜索一个顶点的所有邻接点需花费O（n）时间，则从n个顶点出发搜索的时间应为O（n2），即DFS算法的时间复杂度是（n2）。
（2）邻接链表的深度优先遍历算法：
【算法7.2】
VoidAdjTWGraph:
DepthFirst（intv,intvisited[]）
{intvj;
Edge*p;
cout<
Vertices[v].data<
"
;
p=Vertices[v].adj;
//取v的邻接边结点
while（p!
=NULL）
{vj=p->
dest;
//取v的邻接点编号
if（visited[vj]==0）DepthFirst（vj,visited）;
p=p->
next;
//取下一个邻接边结点
使用邻接链表来表示图时，其DFS算法的时间复杂度为O（n+e），此处e为无向图中边的数目或有向图中弧的数目。
图的广度优先遍历
图的广度优先遍历BFS算法是一个分层搜索的过程，和树的层序遍历算法类同，它也需要一个队列以保持遍历过的顶
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