王红娟论文Word格式文档下载.doc
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1.1定义 1
1.2凸函数的几种等价定义 1
1.3凸函数的性质及判定 3
2.关于凸函数的四个不等式 4
2.1琴森不等式1 4
2.2琴森不等式2 4
2.3Holder不等式1 5
2.4Holder不等式2 6
3.凸函数在不等式证明中的应用 7
3.1利用琴森不等式1和凸函数性质证明不等式 7
3.2利用琴森不等式2和凸函数性质证明不等式 9
3.3凸函数在积分不等式中的应用. 10
4.凸函数的推广 12
4.1凸函数的定义推广：
12
4.2凸函数的性质及定理推广 12
4.2.1凸函数的性质推广 12
4.2.2凸函数的定理推广 12
结束语 14
参考文献:
14
凸函数及其在不等式证明中的应用
王红娟
（天水师院数学与统计学院甘肃天水741000）
摘要:
凸函数是一类重要的函数，在数学许多问题中都有广泛的应用。
本文论述了凸函数的定义、性质及其判别方法，讨论了凸函数在不等式证明中的重要应用并对凸函数进行了推广。
关键词:
凸函数;
性质;
不等式;
二元凸函数
ConvexFunctionanditsApplicationintheproofInequality
Wanghongjuan
（TianshuiNormalUniversity,AcademicofMathematicsandStatistics,Tianshui741000,China）
Abstract:
ConvexFunctionisakindofimportantFunction,ithasafar-rangingapplicationinalotofmathematicalproblems.Thepaperrelatedandanalyzedthedeflection,propertiesanddisdinguishesoftheconvexFunction.Atthe
KeyWords
引言
在很多数学问题的分析与证明中,我们都需要用到凸函数,例如在数学分
析、函数论泛函分析、最优化理论等当中.大家都熟悉函数f（x）=的图像,它的特点是:
曲线y=上任意两点间的弧总在这两点连线下方,我们可以下这样一个定义:
设f（x）在上有定义,若曲线y=f（x）上任意两点间的弧总位于直线的下方,则称函数f（x）是凸函数
上面的定义只是几何描述性的,为了便于函数的应用,用严格的分式来定义是非常必要的.
1.凸函数的定义及判定定理
1.1定义
设函数f（x）在区间上有定义,若对上任意两点,和正数,总有
f（x）为区间上的凸函数.
常见的凹凸函数有:
均为（0,+）内的严格凸函数;
（ii）均为（0,+）内的严格凸函数
（iii）均为（0,+）内的严格凸函数
1.2凸函数的几种等价定义
设函数f（x）在区间上有定义,
若对上任意两点,∈,恒有
（2）
证明：
记,则
从而有
所以有
同理可证
综上所述
（4）f（x）在区间上有定义,当且仅当曲线y=f（x）的切线恒保持在曲线以下,则称f（x）为凸函数.
1.3凸函数的性质及判定
（3）设都是单调非负凸函数,则也是上的凸函数
[1]
（6） 如果是上的凸函数,则在的任一闭子区间上有界.
（7）如果是内的凸函数,则在内连续.
定理:
若在内二阶可导,且f″（x）≥0,则是内的凸函数.若上面的不等号变为严格不等号,则是内的严格凸函数.
2.关于凸函数的四个不等式
2.1琴森不等式1
设在区间I上有定义
证明如下,只是
2.2琴森不等式2
设则
证明:
应用数学归纳法,当时,由凸函数的定义知命题成立.
设当是命题成立.即对任意…及
都有
现设及,…
令则,有数学归纳假设可推得
这就证明了对任何正整数,凸函数总有不等式成立.
2.3Holder不等式1
对任给定的证明:
;
令
2.4Holder不等式2
定义如前,在上可积,证明:
范数形式为
用定积分定义证明,将等分,设,由
（1）得
两边同时乘以,由得:
当时,由的可积性得
3.凸函数在不等式证明中的应用
3.1利用琴森不等式1和凸函数性质证明不等式
例:
在中,求证:
（1）
（2）（3）若为锐角三角形,则
证明:
（1）令则所以在是凸函数,
所以由琴由森不等式1得:
即得:
故
（2）,由,则为上的凸函数.所以由琴森不等式1得:
又由
（1）知:
所以有:
则有
=
=
所以:
（3）而在上恒大于零.所以在是凸的.所以由琴森不等式得:
又
所以
即
又
证明如下:
=
=
=
=
=
所以
3.2利用琴森不等式2和凸函数性质证明不等式
用凸函数的方法证明代数平均数与几何平均数在条件并且有,设证明:
设=,有,根据定理1知:
=在上是严格凸函数,
根据琴森不等式,
其中,,并且有取,=,
则有
等价于式子
即
即不等式的后半部分成立
只需证明不等式
成立即可
同理有
于是,,有
3.3凸函数在积分不等式中的应用.
例:
设是区间上的凸函数,则
由的凸性保证了有意义,当,,有
因此
令得=
因此,又
另外令
得,
有
总是所述不等式成立.
4.凸函数的推广
4.1凸函数的定义推广
定义1:
若区域满足:
其中任意两点的连线仍属于D,
即,
则称D为凸区域.
定义2:
设D为凸区域,
若有
则称为D上的凸函数.
4.2凸函数的性质及定理推广
4.2.1凸函数的性质推广
（ⅰ）为凸区域上凸函数的充要条件是,有
4.2.2凸函数的定理推广
定理1（Jensen不等式）是凸区域D上凸函数的充要条件是及（i=1,2,,n）有
充分性:
当n=2时有定义知命题成立.假设当n=k时命题成立,即:
（i=1,2,,k）有
当n=k+1时,及且,
令则且,
即当n=k+1时成立,根据数学归纳法知命题成立.
必要性显然.证毕.
定理2设在凸区域D上有连续的一阶偏导.则为D上的凸函数的充分必要条件是有
利用函数的凸性来证明不等式,是一种重要的方法,通常需要构造适当的凸函数,再运用函数的凸性的定义及几个等价论断,可将一些初等不等式,积分不等式转化为研究函数的性态,从而使不等式简化进而得到证明.
结束语
[1]华东师大数学系.数学分析[M].北京:
高等教育出版社,1999.
[2]徐利治,王兴华.数学分析的方法及例题选讲[M]北京:
高等教育出版社,2000..
[3]翟连林,姚正安.数学分析方法论[M].北京:
北京农业大学出版社,2000.
[4]孙本旺,汪浩.数学分析中的典型例题和解题方法
[5]林源渠,方企勒.数学分析习题集[M].北京:
高等教
育出版社,2002.
[6]刘玉琏.数学分析讲义[M].北京:
高等教育出版社,1997.
[7]徐利治.数学分析中的方法及例题选解[M].北京:
高等教育出版社,1984.
[8]华东师范大学数学系.数学分析（上册）[M].北京：
高等教育出版社，2001.75）86
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