武汉大学2003年数学分析硕士学位研究生入学考试试题解答Word格式文档下载.doc

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一、判断下列命题是否正确（共5小题，每小题6分，共30分）：

1）单调序列中有一子列收敛，则序列收敛。

正确。

不妨设收敛于a，利用单调性那么不难证明也收敛于a

2）子列的子序列和收敛，则序列也收敛

不正确。

只要和收敛于不同的极限，A、B那么不收敛

3）序列收敛，则序列收敛，其命题也成立

序列收敛=〉序列收敛，但反之命题不成立如

4）收敛，则.

可以找到莱布尼兹级数

5）函数序列，，满足对任意的自然数p和任意，有以下性质：

，则一致收敛。

不妨设，，

。

显然并非一致收敛。

二、计算题（每小题8分，共32分）

1）设

（应用L’Hospital法则）

2）求极限：

（应用Taylor展开）

3）

4）计算曲面积分，S为球面的外侧

三、判断级数与反常积分的敛散性（共4小题，每小题9分，共36分）

1） 2）

3）4）

四、设a>

0,求曲线上的点到xy-平面的最大最小距离

解1：

解2：

（初等数学的不等式方法）当z取到最值，即xy取到最值

五、设0<

c<

1,。

证明收敛，并求其极限

分析：

只须满足即可。

证明：

六、设f（t）在R上连续，证明：

（考虑在（0，1）趋近于0）

七、证明含参量非正常积分：

，对任意一致收敛，而在上不是一致收敛的

证明：

1）

2）

做得可能比较粗糙，如有错误尽请指出，感激不尽。

谢谢大家对bossh的支持！