数学分析课程教学大纲文档格式.doc
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第一单元实数集与函数
基本内容:
1、实数:
实数的概念,实数的性质,绝对值与不等式;
2、数集、确界原理:
区间与邻域,有界集与无界集,上确界与下确界,确界原理;
3、函数概念:
函数的定义,函数的表示法(解析法、列表法和图象法),分段函数;
4、具有某些特征的函数:
有界函数,单调函数,奇函数与偶函数,周期函数。
要求:
了解数学的发展史与实数的概念,理解绝对值不等式的性质,会解绝对值不等式;
弄清区间和邻域的概念,理解确界概念、确界原理,会利用定义证明一些简单数集的确界;
掌握函数的定义及函数的表示法,了解函数的运算;
理解和掌握一些特殊类型的函数。
第二单元数列极限
1、极限概念
2、收敛数列的性质:
唯一性,有界性,保号性,单调性;
3、数列极限存在的条件:
单调有界准则,迫敛性法则,柯西准则;
逐步透彻理解和掌握数列极限的概念;
掌握并能运用e-N语言处理极限问题;
掌握收敛数列的基本性质和数列极限的存在条件(单调有界函数和迫敛性定理),并能运用;
了解数列极限柯西准则,了解子列的概念及其与数列极限的关系;
了解无穷小数列的概念及其与数列极限的关系.
第三单元函数极限
1、函数极限的概念,单侧极限的概念;
2、函数极限的性质:
唯一性,局部有界性,局部保号性,不等式性,迫敛性;
3、函数极限存在的条件:
归结原则(Heine定理),柯西准则;
4、两个重要极限;
5、无穷小量与无穷大量,阶的比较。
理解和掌握函数极限的概念;
掌握并能应用e-d,e-X语言处理极限问题;
了解函数的单侧极限,函数极限的柯西准则;
掌握函数极限的性质和归结原则;
熟练掌握两个重要极限来处理极限问题。
第四单元函数连续
1、函数连续的概念:
一点连续的定义,区间连续的定义,单侧连续的定义,间断点及其分类;
2、连续函数的性质:
局部性质及运算,闭区间上连续函数的性质(最大最小值性、有界性、介值性、一致连续性),复合函数的连续性,反函数的连续性;
3、初等函数的连续性。
理解与掌握一元函数连续性的定义(点,区间),间断点及其分类,连续函数的局部性质;
理解单侧连续的概念;
能正确叙述和简单应用闭区间上连续函数的性质;
了解反函数的连续性,理解复合函数的连续性,初等函数的连续性。
第五单元导数与微分
1、导数概念:
导数的定义、单侧导数、导函数、导数的几何意义;
2、求导法则:
导数公式、导数的运算(四则运算)、求导法则(反函数的求导法则,复合函数的求导法则,隐函数的求导法则,参数方程的求导法则);
3、微分:
微分的定义,微分的运算法则,微分的应用;
4、高阶导数与高阶微分
理解和掌握导数与微分概念,了解它的几何意义;
能熟练地运用导数的运算性质和求导法则求函数的导数(特别是复合函数);
理解单侧导数、可导性与连续性的关系,高阶导数的求法;
了解导数的几何应用,微分在近似计算中的应用。
第六单元微分学基本定理
1、中值定理:
罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理
2、几种特殊类型的不定式极限与罗比塔法则
3、泰勒公式
掌握中值定理的内容、证明及其应用;
了解泰勒公式及在近似计算中的应用,能够把某些函数按泰勒公式展开;
能熟练地运用罗必达法则求不定式的极限;
第七单元导数的应用
1、函数的单调性与极值
2、函数凹凸性与拐点
3、函数作图
4、方程的近似解
了解函数的某些特性(单调性、极值与最值、凹凸性、拐点)能较正确地作出某些函数的图象。
第八单元实数完备性定理及应用
1、实数完备性六个等价定理:
闭区间套定理、单调有界定理、柯西收敛准则、确界存在定理、聚点定理、有限覆盖定理
2、闭区间上连续函数整体性质的证明:
有界性定理的证明,最大小值性定理的证明,介值性定理的证明,一致连续性定理的证明
3、上、下极限
了解实数连续性的几个定理和闭区间上连续函数的性质的证明;
理解聚点的概念,上、下极限的概念。
第九单元不定积分
1、不定积分概念与基本积分公式
2、换元积分法与分部积分法
3、几类可化为有理函数的积分
理解原函数和不定积分概念;
熟练掌握换元积分法、分部积分法、有理式积分法和三角有理式积分法;
会计算简单的无理函数的积分。
第十单元定积分
1、定积分的概念:
概念的引入、黎曼积分定义,函数可积的必要条件,可积函数类(连续函数,只有有限个间断点的有界函数,单调函数);
2、可积性条件:
可积的必要条件和充要条件,达布上和与达布下和,可积函数类;
3、微积分学基本定理:
可变上限积分,牛顿-莱布尼兹公式;
4、非正常积分:
无穷积分收敛与发散的概念,审敛法(柯西准则,比较法,狄利克雷与阿贝尔判别法);
瑕积分的收敛与发散的概念,收敛判别法;
理解定积分概念及函数可积的条件;
熟悉一些可积分函数类,会一些较简单的可积性证明;
掌握定积分与可变上限积分的性质;
能较好地运用牛顿-莱布尼兹公式,换元积分法,分部积分法计算一些定积分。
掌握广义积分的收敛、发散、绝对收敛与条件收敛等概念;
能用收敛性判别法判断某些广义积分的收敛性。
第十一单元定积分的应用
1、定积分的几何应用:
平面图形的面积,微元法,已知截面面积函数的立体体积,旋转体的体积平面曲线的弧长与微分,曲率;
2、定积分在物理上的应用:
功、液体压力、引力。
重点掌握定积分的几何应用;
掌握定积分在物理上的应用;
在应用中逐步掌握"
微元法"
。
第十二单元数项级数
1、级数的敛散性:
无穷级数收敛,发散等概念,柯西准则,收敛级数的基本性质;
2、正项级数:
比较原理,达朗贝尔判别法,柯西判别法,积分判别法;
3、一般项级数:
交错级数与莱布尼兹判别法,绝对收敛级数与条件收敛级数及其性质,阿贝尔判别法与狄利克雷判别法。
理解无穷级数的收敛,发散,绝对收敛与条件收敛等概念;
能正确叙述收敛级数的性质;
能够应用正项级数与任意项级数的敛散性判别法判断级数的敛散性;
熟悉几何级数调和级数与p级数。
第十三单元函数项级数
1、一致收敛性及一致收敛判别法(柯西准则,优级数判别法,狄利克雷与阿贝尔判别法);
2、一致收敛的函数列与函数项级数的性质(连续性,可积性,可微性)。
掌握收敛域、极限函数与和函数一致敛等概念;
掌握极限函数与和函数的分析性质(会证明);
能够比较熟练地判断一些函数项级数与函数列的一致收敛。
第十四单元幂级数)
1、幂级数:
阿贝尔定理,收敛半径与收敛区间,幂级数的一致收敛性,幂级数和函数的分析性质
2、几种常见初等函数的幂级数展开与泰勒定理
了解幂级数,函数的幂级数及函数的可展成幂级数等概念;
掌握幂级数的性质;
会求幂级数的收敛半径与一些幂级数的收敛域;
会把一些函数展开成幂级数,包括会用间接展开法求函数的泰勒展开式
第十五单元付里叶级数
1、付里叶级数:
三角函数与正交函数系,付里叶级数与傅里叶系数,以2为周期函数的付里叶级数,收敛定理;
2、以2L为周期的付里叶级数;
3、收敛定理的证明。
理解三角函数系的正交性与函数的傅里叶级数的概念;
掌握傅里叶级数收敛性判别法;
能将一些函数展开成傅里叶级数;
了解收敛定理的证明。
第十六单元多元函数极限与连续
1、平面点集与多元函数的概念
2、二元函数的极限、累次极限
3、二元函数的连续性:
二元函数的连续性概念、连续函数的局部性质及初等函数连续性。
理解平面点集、多元函数的基本概念;
理解二元函数的极限、累次极限、连续性概念,会计算一些简单的二元函数极限;
了解闭区间套定理,有限覆盖定理,多元连续函数的性质。
第十七单元多元函数的微分学
1、可微性:
偏导数的概念,偏导数的几何意义,偏导数与连续性;
全微分概念;
连续性与可微性,偏导数与可微性;
2、多元复合函数微分法及求导公式
3、方向导数与梯度
4、泰勒定理与极值
理解并掌握偏导数、全微分、方向导数、高阶偏导数及极值等概念及其计算;
弄清全微分、偏导数、连续之间的关系;
了解泰勒公式;
会求函数的极值、最值。
第十八单元隐函数定理及其应用
1、隐函数:
隐函数的概念,隐函数的定理,隐函数求导举例;
2、隐函数组:
隐函数组存在定理,反函数组与坐标变换,雅可比行列式;
3、几何应用:
平面曲线的切线与法线,空间曲线的切线与法平面,曲面的切平面和法线;
条件极值:
条件极值的概念,条件极值的必要条件。
了解隐函数的概念及隐函数的存在定理,会求隐函数的导数;
了解隐函数组的概念及隐函数组定理,会求隐函数组的偏导数;
会求曲线的切线方程,法平面方程,曲面的切平面方程和法线方程;
了解条件极值概念及求法。
第十九单元重积分
1、二重积分概念:
二重积分的概念,可积条件,可积函数,二重积分的性质;
2、二重积分的计算:
化二重积分为累次积分,换元法(极坐标变换,一般变换);
3、含参变量的导数:
4、三重积分计算:
化三重积分为累次积分,换元法(一般变换,柱面坐标变换,球坐标变换);
5、重积分应用:
立体体积,曲面的面积,物体的重心,转动惯量。
了解含参变量定积分的概念与性质;
熟练掌握二重、三重积分的概念、性质及计算;
会求曲面的面积、立体体积、物体的重心、转动惯量。
第二十单元重积分(续)与含参量非正常积分
1、二重积分中一些问题的讨论:
可积性问题,变量变换问题
2、含参量非正常积分概念及其一致敛性:
含参变量非正常积分及其一致收敛性概念,一致收敛的判别法(柯西准则,与函数项级数一致收敛性的关系,一致收敛的M判别法),含参变量非正常积分的分析性质;
3、欧拉积分:
格马函数及其性质,贝塔函数及其性质。
进一步了解二重积分的可积性问题,变量变换问题;
了解含参变量非正常积分的收敛与一致收敛的概念;
理解含参变量非正常积分一致收敛的判别定理,并掌握它们的应用;
熟练应用欧拉公式。
第二十一单元曲线积分与曲面积分
1、第一型曲线积分的概念、性质与计算,第一型曲面积分的的概念、性质与计算;
2、第二型曲线积分的概念、性质与计算,变力作功,两类曲线积分的联系;
3、格林公式,曲线积分与路线的无关性,全函数;
4、曲面的侧,第二型曲面积分概念及性质与计