大学离散数学期末重点知识点总结(考试专用)文档格式.doc
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（x）（Ax）→B<
A→（x）（Bx）<
（x）（A→（Bx））
A→（x）（Bx）<
（x）（Ax）∨（x）（Bx）=>
（x）（（Ax）∨（Bx））
（x）（（Ax）∧（Bx））=>
（x）（Ax）→（x）（Bx）=>
（x）（（Ax）→（Bx））
2.命题逻辑
1.→，前键为真，后键为假才为假；
<
—>
，相同为真，不同为假；
2.主析取范式：
极小项（m）之和；
主合取范式：
极大项（M）之积；
3.求极小项时，命题变元的肯定为1，否定为0，求极大项时相反；
4.求极大极小项时，每个变元或变元的否定只能出现一次，求极小项时变元不够合取真，求极大项时变元不够析取假；
5.求范式时，为保证编码不错，命题变元最好按P,Q,R的顺序依次写；
6.真值表中值为1的项为极小项，值为0的项为极大项；
7.n个变元共有个极小项或极大项，这为（0~-1）刚好为化简完后的主析取加主合取；
8.永真式没有主合取范式，永假式没有主析取范式；
9.推证蕴含式的方法（=>
）：
真值表法；
分析法（假定前键为真推出后键为真，假定前键为假推出后键也为假）
10.命题逻辑的推理演算方法：
P规则，T规则
①真值表法；
②直接证法；
③归谬法；
④附加前提法；
3.谓词逻辑
1.一元谓词：
谓词只有一个个体，一元谓词描述命题的性质；
多元谓词：
谓词有n个个体，多元谓词描述个体之间的关系；
2.全称量词用蕴含→，存在量词用合取^;
3.既有存在又有全称量词时，先消存在量词，再消全称量词；
4.集合
1.N，表示自然数集，1,2,3……，不包括0；
2.基：
集合A中不同元素的个数，|A|；
3.幂集：
给定集合A，以集合A的所有子集为元素组成的集合，P（A）；
4.若集合A有n个元素，幂集P（A）有个元素，|P（A）|==；
5.集合的分划：
（等价关系）
①每一个分划都是由集合A的几个子集构成的集合；
②这几个子集相交为空，相并为全（A）；
6.集合的分划与覆盖的比较：
分划：
每个元素均应出现且仅出现一次在子集中；
覆盖：
只要求每个元素都出现，没有要求只出现一次；
5.关系
1.若集合A有m个元素，集合B有n个元素，则笛卡尔A×
B的基数为mn，A到B上可以定义种不同的关系；
2.若集合A有n个元素，则|A×
A|=，A上有个不同的关系；
3.全关系的性质：
自反性，对称性，传递性；
空关系的性质：
反自反性，反对称性，传递性；
全封闭环的性质：
自反性，对称性，反对称性，传递性；
4.前域（domR）：
所有元素x组成的集合；
后域（ranR）：
所有元素y组成的集合；
5.自反闭包：
r（R）=RU;
对称闭包：
s（R）=RU;
传递闭包：
t（R）=RUUU……
6.等价关系：
集合A上的二元关系R满足自反性，对称性和传递性，则R称为等价关系；
7.偏序关系：
集合A上的关系R满足自反性，反对称性和传递性，则称R是A上的一个偏序关系；
8.covA={<
x,y>
|x,y属于A，y盖住x}；
9.极小元：
集合A中没有比它更小的元素（若存在可能不唯一）；
极大元：
集合A中没有比它更大的元素（若存在可能不唯一）；
最小元：
比集合A中任何其他元素都小（若存在就一定唯一）；
最大元：
比集合A中任何其他元素都大（若存在就一定唯一）；
10.前提：
B是A的子集
上界：
A中的某个元素比B中任意元素都大，称这个元素是B的上界（若存在，可能不唯一）；
下界：
A中的某个元素比B中任意元素都小，称这个元素是B的下界（若存在，可能不唯一）；
上确界：
最小的上界（若存在就一定唯一）；
下确界：
最大的下界（若存在就一定唯一）；
6.函数
1.若|X|=m,|Y|=n,则从X到Y有种不同的关系，有种不同的函数；
2.在一个有n个元素的集合上，可以有2n2种不同的关系，有nn种不同的函数，有n!
种不同的双射；
3.若|X|=m,|Y|=n，且m<
=n，则从X到Y有种不同的单射；
4.单射：
f:
X-Y，对任意,属于X,且≠，若f（）≠f（）；
满射：
X-Y，对值域中任意一个元素y在前域中都有一个或多个元素对应；
双射：
X-Y，若f既是单射又是满射，则f是双射；
5.复合函数：
fº
g=g（f（x））;
5.设函数f:
A-B，g:
B-C，那么
①如果f,g都是单射，则fº
g也是单射；
②如果f,g都是满射，则fº
g也是满射；
③如果f,g都是双射，则fº
g也是双射；
④如果fº
g是双射，则f是单射，g是满射；
7.代数系统
1.二元运算：
集合A上的二元运算就是到A的映射；
2.集合A上可定义的二元运算个数就是从A×
A到A上的映射的个数，即从从A×
A到A上函数的个数，若|A|=2,则集合A上的二元运算的个数为==16种；
3.判断二元运算的性质方法：
①封闭性：
运算表内只有所给元素；
②交换律：
主对角线两边元素对称相等；
③幂等律：
主对角线上每个元素与所在行列表头元素相同；
④有幺元：
元素所对应的行和列的元素依次与运算表的行和列相同；
⑤有零元：
元素所对应的行和列的元素都与该元素相同；
4.同态映射：
A,*>
<
B,^>
满足f（a*b）=f（a）^f（b）,则f为由<
到<
的同态映射；
若f是双射，则称为同构；
8.群
广群的性质：
封闭性；
半群的性质：
封闭性，结合律；
含幺半群（独异点）：
封闭性，结合律，有幺元；
群的性质：
封闭性，结合律，有幺元，有逆元；
2.群没有零元；
3.阿贝尔群（交换群）：
封闭性，结合律，有幺元，有逆元，交换律；
4.循环群中幺元不能是生成元；
5.任何一个循环群必定是阿贝尔群；
10.格与布尔代数
1.格：
偏序集合A中任意两个元素都有上、下确界；
2.格的基本性质：
1）自反性a≤a对偶:
a≥a
2）反对称性a≤b^b≥a=>
a=b
对偶:
a≥b^b≤a=>
3）传递性a≤b^b≤c=>
a≤c
a≥b^b≥c=>
a≥c
4）最大下界描述之一a^b≤a对偶avb≥a
A^b≤b对偶avb≥b
5）最大下界描述之二c≤a,c≤b=>
c≤a^b
对偶c≥a,c≥b=>
Þ
c≥avb
6）结合律a^（b^c）=（a^b）^c
对偶av（bvc）=（avb）vc
7）
等幂律a^a=a对偶ava=a
8）吸收律a^（avb）=a对偶av（a^b）=a
9）
a≤b<
a^b=aavb=b
10）a≤c,b≤d=>
a^b≤c^davb≤cvd
11）保序性b≤c=>
a^b≤a^cavb≤avc
12）分配不等式av（b^c）≤（avb）^（avc）
对偶a^（bvc）≥（a^b）v（a^c）
13）模不等式a≤c<
Û
av（b^c）≤（avb）^c
3.分配格：
满足a^（bvc）=（a^b）v（a^c）和av（b^c）=（avb）^（avc）；
4.分配格的充要条件：
该格没有任何子格与钻石格或五环格同构；
5.链格一定是分配格，分配格必定是模格；
6.全上界：
集合A中的某个元素a大于等于该集合中的任何元素，则称a为格<
A,<
的全上界，记为1；
（若存在则唯一）
全下界：
集合A中的某个元素b小于等于该集合中的任何元素，则称b为格<
的全下界，记为0；
7.有界格：
有全上界和全下界的格称为有界格，即有0和1的格；
8.补元：
在有界格内，如果a^b=0,avb=1，则a和b互为补元；
9.有补格：
在有界格内，每个元素都至少有一个补元；
10.有补分配格（布尔格）：
既是有补格，又是分配格；
布尔代数：
一个有补分配格称为布尔代数；
11.图论
1.邻接：
两点之间有边连接，则点与点邻接；
2.关联：
两点之间有边连接，则这两点与边关联；
3.平凡图：
只有一个孤立点构成的图；
4.简单图：
不含平行边和环的图；
5.无向完全图：
n个节点任意两个节点之间都有边相连的简单无向图；
有向完全图:
n个节点任意两个节点之间都有边相连的简单有向图；
6.无向完全图有n（n-1）/2条边，有向完全图有n（n-1）条边；
7.r-正则图：
每个节点度数均为r的图；
8.握手定理：
节点度数的总和等于边的两倍；
9.任何图中，度数为奇数的节点个数必定是偶数个；
10.任何有向图中，所有节点入度之和等于所有节点的出度之和；
11.每个节点的度数至少为2的图必定包含一条回路；
12.可达：
对于图中的两个节点,，若存在连接到的路，则称与相互可达，也称与是连通的；
在有向图中，若存在到的路，则称到可达；
13.强连通：
有向图章任意两节点相互可达；
单向连通：
图中两节点至少有一个方向可达；
弱连通：
无向图的连通；
（弱连通必定是单向连通）
14.点割集：
删去图中的某些点后所得的子图不连通了，如果删去其他几个点后子图之间仍是连通的，则这些点组成的集合称为点割集；
割点：
如果一个点构成点割集，即删去图中的一个点后所得子图是不连通的，则该点称为割点；
15.关联矩阵：
M（G），mij是vi与ej关联的次数，节点为行，边为列；
无向图：
点与边无关系关联数为0，有关系为1，有环为2；
有向图：
点与边无关系关联数为0，有关系起点为1终点为-1，
关联矩阵的特点：
无向图：
①行：
每个节点关联的边，即节点的度；
②列：
每条边关联的节点；
有向图：
③所有的入度
（1）=所有的出度（0）;
16.邻接矩阵：
A（G），aij是vi邻接到vj的边的数目，点为行，点为列；
17.可达矩阵：
P（G
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