大学线性代数必过复习资料Word文件下载.doc
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1.向量组的线性表示
2.向量组的线性相关性
3.向量组的秩
第五部分方阵的特征值及特征向量
1.施密特正交化过程
2.特征值、特征向量的性质及计算(P.120例8、9、10;
P.135第7至13题)
3.矩阵的相似对角化,尤其是对称阵的相似对角化(P.135第15、16、19、23题)
要注意的知识点:
线性代数
1、行列式
1.行列式共有个元素,展开后有项,可分解为行列式;
2.代数余子式的性质:
①、和的大小无关;
②、某行(列)的元素乘以其它行(列)元素的代数余子式为0;
③、某行(列)的元素乘以该行(列)元素的代数余子式为;
3.代数余子式和余子式的关系:
4.行列式的重要公式:
①、主对角行列式:
主对角元素的乘积;
②、副对角行列式:
副对角元素的乘积;
③、上、下三角行列式():
④、和:
⑤、拉普拉斯展开式:
、
⑥、范德蒙行列式:
大指标减小指标的连乘积;
⑦、特征值
5.证明的方法:
①、;
②、反证法;
③、构造齐次方程组,证明其有非零解;
④、利用秩,证明;
⑤、证明0是其特征值;
2、矩阵
1.是阶可逆矩阵:
(是非奇异矩阵);
(是满秩矩阵)
的行(列)向量组线性无关;
齐次方程组有非零解;
,总有唯一解;
与等价;
可表示成若干个初等矩阵的乘积;
的特征值全不为0;
是正定矩阵;
的行(列)向量组是的一组基;
是中某两组基的过渡矩阵;
2.对于阶矩阵:
无条件恒成立;
3.
4.矩阵是表格,推导符号为波浪号或箭头;
行列式是数值,可求代数和;
5.关于分块矩阵的重要结论,其中均、可逆:
若,则:
Ⅰ、;
Ⅱ、;
②、
③、
④、
⑤、
3、矩阵的初等变换与线性方程组
1.一个矩阵,总可经过初等变换化为标准形,其标准形是唯一确定的:
;
等价类:
所有与等价的矩阵组成的一个集合,称为一个等价类;
标准形为其形状最简单的矩阵;
对于同型矩阵、,若;
2.行最简形矩阵:
①、只能通过初等行变换获得;
②、每行首个非0元素必须为1;
③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0;
3.初等行变换的应用:
(初等列变换类似,或转置后采用初等行变换)
①、若,则可逆,且;
②、对矩阵做初等行变化,当变为时,就变成,即:
③、求解线形方程组:
对于个未知数个方程,如果,则可逆,且;
4.初等矩阵和对角矩阵的概念:
①、初等矩阵是行变换还是列变换,由其位置决定:
左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵;
②、,左乘矩阵,乘的各行元素;
右乘,乘的各列元素;
③、对调两行或两列,符号,且,例如:
④、倍乘某行或某列,符号,且,例如:
⑤、倍加某行或某列,符号,且,如:
5.矩阵秩的基本性质:
②、;
③、若,则;
④、若、可逆,则;
(可逆矩阵不影响矩阵的秩)
⑤、;
(※)
⑥、;
⑦、;
⑧、如果是矩阵,是矩阵,且,则:
Ⅰ、的列向量全部是齐次方程组解(转置运算后的结论);
Ⅱ、
⑨、若、均为阶方阵,则;
6.三种特殊矩阵的方幂:
①、秩为1的矩阵:
一定可以分解为列矩阵(向量)行矩阵(向量)的形式,再采用结合律;
②、型如的矩阵:
利用二项展开式
③、利用特征值和相似对角化:
7.伴随矩阵:
①、伴随矩阵的秩:
②、伴随矩阵的特征值:
③、、
8.关于矩阵秩的描述:
①、,中有阶子式不为0,阶子式全部为0;
(两句话)
②、,中有阶子式全部为0;
③、,中有阶子式不为0;
9.线性方程组:
,其中为矩阵,则:
①、与方程的个数相同,即方程组有个方程;
②、与方程组得未知数个数相同,方程组为元方程;
10.线性方程组的求解:
①、对增广矩阵进行初等行变换(只能使用初等行变换);
②、齐次解为对应齐次方程组的解;
③、特解:
自由变量赋初值后求得;
11.由个未知数个方程的方程组构成元线性方程:
②、(向量方程,为矩阵,个方程,个未知数)
③、(全部按列分块,其中);
④、(线性表出)
⑤、有解的充要条件:
(为未知数的个数或维数)
4、向量组的线性相关性
1.个维列向量所组成的向量组:
构成矩阵;
个维行向量所组成的向量组:
含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应;
2.①、向量组的线性相关、无关 有、无非零解;
(齐次线性方程组)
②、向量的线性表出 是否有解;
(线性方程组)
③、向量组的相互线性表示 是否有解;
(矩阵方程)
3.矩阵与行向量组等价的充分必要条件是:
齐次方程组和同解;
(例14)
4.;
(例15)
5.维向量线性相关的几何意义:
①、线性相关 ;
②、线性相关 坐标成比例或共线(平行);
③、线性相关 共面;
6.线性相关与无关的两套定理:
若线性相关,则必线性相关;
若线性无关,则必线性无关;
(向量的个数加加减减,二者为对偶)
若维向量组的每个向量上添上个分量,构成维向量组:
若线性无关,则也线性无关;
反之若线性相关,则也线性相关;
(向量组的维数加加减减)
简言之:
无关组延长后仍无关,反之,不确定;
7.向量组(个数为)能由向量组(个数为)线性表示,且线性无关,则;
向量组能由向量组线性表示,则;
向量组能由向量组线性表示
有解;
向量组能由向量组等价
8.方阵可逆存在有限个初等矩阵,使;
①、矩阵行等价:
(左乘,可逆)与同解
②、矩阵列等价:
(右乘,可逆);
③、矩阵等价:
(、可逆);
9.对于矩阵与:
①、若与行等价,则与的行秩相等;
②、若与行等价,则与同解,且与的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性;
③、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩;
④、矩阵的行秩等于列秩;
10.若,则:
①、的列向量组能由的列向量组线性表示,为系数矩阵;
②、的行向量组能由的行向量组线性表示,为系数矩阵;
(转置)
11.齐次方程组的解一定是的解,考试中可以直接作为定理使用,而无需证明;
①、 只有零解只有零解;
②、 有非零解一定存在非零解;
12.设向量组可由向量组线性表示为:
()
其中为,且线性无关,则组线性无关;
(与的列向量组具有相同线性相关性)
(必要性:
充分性:
反证法)
注:
当时,为方阵,可当作定理使用;
13.①、对矩阵,存在, 、的列向量线性无关;
②、对矩阵,存在, 、的行向量线性无关;
14.线性相关
存在一组不全为0的数,使得成立;
(定义)
有非零解,即有非零解;
,系数矩阵的秩小于未知数的个数;
15.设的矩阵的秩为,则元齐次线性方程组的解集的秩为:
16.若为的一个解,为的一个基础解系,则线性无关;
5、相似矩阵
1.正交矩阵或(定义),性质:
①、的列向量都是单位向量,且两两正交,即;
②、若为正交矩阵,则也为正交阵,且;
③、若、正交阵,则也是正交阵;
注意:
求解正交阵,千万不要忘记施密特正交化和单位化;
2.施密特正交化:
;
3.对于普通方阵,不同特征值对应的特征向量线性无关;
对于实对称阵,不同特征值对应的特征向量正交;